公务员考试数量关系公式讲解.docx

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公务员考试数量关系公式讲解

数量关系基础知识

一、数列

1.等差数列：

中项求和公式①n为奇数时：

②n为偶数时：

2.等比数列：

3.某些数列的前n项和

①奇数项和：

1+3+5+…+（2n-1）=n2【项数为时，奇数项和减偶数项和为数列中项】

②偶数项和：

2+4+6+…+（2n）=n（n+1）

③平方数列求和：

12+22+32+…+n2=

n（n+1）（2n+1）

④立方数列求和：

13+23+33+…+n3=

[n（n+1）]2

二、数学基础公式

1.乘法公式

立方和：

a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）立方差：

a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）

完全立方和/差：

（a±b）³=a³±3a²b+3ab²±b³裂项公式：

加权平均数：

　调和平均数：

二项式定理：

二项展开式的通项公式：

分期付款（按揭贷款）：

每次还款

元（贷款a元，n次还清，每期利率为b）

2.几何公式

①扇形：

周长L=（nπr/180）+2r面积S=nπr2/360

②圆柱：

表面积S=2πrh+2πr2体积V=πr2h

③球体：

表面积S=4πr2体积V=

πr3

④圆锥：

表面积S=πr2+½πr2R【R为母线】体积V=⅓πr2h

③正四面体：

表面积

体积

3.几何问题其他结论：

①所有表面积相等的立体图形中，球的体积最大，越接近球体，体积越大。

②n条直线最多可以将平面分为1+½n（n+1）个区域。

③n个圆相交最多可以有n（n-1）个交点。

③一个正方形被分割成若干小正方形，除了不能分为2个、3个、5个，其他数量都可完成。

④满足勾股定理的三边有：

【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】

⑤已知三角形最长边为n，三边均为整数，这样的三角形有多少个?

n=2k-1时，为k2个三角形；

n=2k时，为（k+1）k个三角形。

⑥已知边长为a、b、c的长方体由边长为1的小立方体组成。

则一共有abc个小立方体；内部看不见的立方有：

（a-2）（b-2）（c-2）；露在外面的小立方体有：

abc-（a-2）（b-2）（c-2）

⑦欧拉定理：

V＋F－E=2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）

E=各面多边形边数和的一半。

若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：

；若每个顶点引出的棱数为

，则顶点数V与棱数E的关系：

⑧立体涂色问题：

一个边长为n的正方体，由n³个边长为1的小正方体构成。

最外层涂色，则：

3面被涂色的小正方体有8个

2面被涂色的小正方体有（n-2）×12个

1面被涂色的小正方体有（n-2）²×6个

0面被涂色的小正方体有（n-2）³个

总共被涂色的有n³－（n-2）³个

3、数字特性

1.倍数关系

若a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数；a±b是m±n的倍数。

　若x=mny（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

2.两个数的最小公倍数与最大公约数的关系：

最大公约数×最小公倍数=两数的积

3.奇偶运算法则

①加减规律：

奇±奇=偶±偶=偶；奇±偶=奇；

②乘法规律：

奇×偶=偶×偶=偶；奇×奇=奇；【有奇为偶，无偶为奇】

4.基本幂数周期

①2n的尾数周期为4，分别为2，4，6，8…

②3n的尾数周期为4，分别为3，9，7，1…

③4n的尾数周期为2，分别为4，6…

④5n，6n的尾数不变；

⑤7n的尾数周期为4，分别为7，9，3，1…

⑥8n的尾数周期为4，分别为8，4，2，6…

⑦9n的尾数周期为2，分别为9，1…

⑧nn（n≥10）的尾数为n末位的幂的尾数。

4.整除判定法则

　①能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

　　能被2（或5）整除的数，末一位数能被2（或5）整除；

　　能被4（或25）整除的数，末两位数能被4（或25）整除；

　　能被8（或125）整除的数，末三位数能被8（或125）整除；

　　一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数；

　　一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数；

　　一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。

　②能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除；

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

③能被7整除的数，其末一位数的2倍与剩下数之差，能被7整除；其末三位数与剩下数之差，能被7整除。

如362，末一位的2倍为4，与剩下数36之差为32——不能被7整除

如12047，末三位047与剩下数12之差为35——能被7整除

　③能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

当且仅当其末三位数与剩下数之差，能被11整除。

如7394，奇数位和7+9=16，偶数位和3+4=7，16-7=9——不能被11整除

如15235，末三位235与剩下数15之差为220——能被11整除111

④能被7（11或13）整除的数，其末三位数与剩下数之差，能被7（11或13）整除。

将一个多位数从后往前三位一组分段，奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差能被7（11或13）整除。

5.剩余定理

①余同加余：

一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，因为余数都是1，则取1，公倍数做周期，则这个数为60n+1

②和同加和：

一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，因为4+3=5+2=6+1，则取7，公倍数做周期，则这个数为60n+7

③差同减差：

一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，因为4-1=5-2=6-3，则取3，公倍数做周期，则这个数为60n-3

【例题】：

三位的自然数N满足：

除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数n有几个?

A.8B.9C.15D.16

【解析】4、5、6的最小公倍数是60，可以算出这个数为60n+3，已知的条件n是一个三位数，所以n可以取2到16的所有整数，共15个。

6.余数定理

定理1：

两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和

（1）7÷3=…1，5÷3=…2，则（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0

（2）8÷3=…2，5÷3=…2，2+2=4>3，4÷3…1，则（8+5）÷3的余数就等于1

【例题】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。

A.29个B.33个C.36个D.38个

【解析】小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。

因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。

用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个除分别余2、余4、余4、余3、余0、余1、余3、余4。

2+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1，总数量除以5余1，因此小赵除以5也余1。

选C

定理2：

两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积

（1）7÷3余1，5÷3余2，则（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2

（2）8÷3=…2，5÷3=…2，2+2=4>3，4÷3…1，则（8×5）÷3的余数就等于1

【例题】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。

A.20B.31C.40D.52

【解析】设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773，19y显然能被19整除，而1773÷19=93…6，因此41x÷19一定也余6，又41÷19余3，根据定理2，x÷19只能余2，选项中只有C选项满足此条件，应选C

数量关系经典题型

1、日期问题

1.每个世纪前99年，能被4整除的是闰年；每个世纪最后一年，能被400整除的是闰年。

2.平年有52个星期零1天，一年后的这一天星期数变化加1；闰年有52个星期零二天。

3.月历分析：

七月前单月为大月，双月为小月【1，3，5，7，8，10，12】

           八月后单月为小月，双月为大月【4，6，9，11】

①每月1，2，3日对应的星期数可能出现5次。

②大月当月1，2，3日对应的星期数出现5次；小月当月1，2日对应的星期数出现5次；闰年2月有29天，当月1日对应的星期出现5次。

二、年龄问题：

利用年龄差不变，可列方程求解。

三、植树问题

1.不封闭路线①两端植树：

颗树=全长/间距－1②两端不植树：

颗数=全长/间距－1　　

2.封闭路线：

颗数=全长/间距

4、方阵问题

1.从内向外：

每层人数依次增加8每层总人数=每边人数×4－4

2.空心方阵总人数=层数×中间层人数=每边最外层人数2－（最内层每边人数－2）2

5、钟表问题

1.分针每分钟走360°÷60=6°，时钟每分钟走60°÷60=0.5°，每分钟两者角度差为5.5°

2.时针每分钟走5/60=1/12格，时针每分钟走1格，每分钟两者路程差为11/12格。

3.分针追击时针问题：

追及时间=在初始时刻需追赶的格数÷（1－1/12）

时针速度是分钟的1/12，分钟每走60÷（1－1/12）=

（分）与时钟重合一次。

3.坏钟问题：

坏钟每小时比标准时间快n分钟，则坏钟/标准时间=（60+n）/60。

当坏钟显示过了x分钟，标准时间相当于过了60x/（60+n）分钟。

4.时针成角度问题

①把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。

用α表示此时两指针夹的度数，则α=30（m+n/60）-6n

则α=|30（m+n/60）-6n|=|30m-5.5n|。

【例如】求5时40分两指针所夹的角。

【解析】把m=5，n=40代入上式，得α=|150-220|=70°

②此公式也可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。

时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

【例如】求3时多少分两指针重合。

【解析】把α=0，m=3代入公式得：

0=|30×3-5.5n|，解得n=180/11，即3时180/11分时两针重合。

6、浓度问题

1.基本公式：

m溶液=m溶质+m溶剂c=m溶质/m溶液

2.等溶质递减溶剂问题公式：

〔ci为第i次的溶液浓度，i=1，2，3…〕

3.溶液混合普通问题m1c1+m2c2=（m1+m2+）c混〔m为溶液质量，c为溶液浓度〕

①有某溶液质量为m，每次先倒出该溶液m0，再倒入清水m0，经过n次操作后，溶液浓度由c0变为cn。

则cn=c0[（m-m0）/m]n

②有某溶液质量为m，每次先倒入清水m0，再倒出该溶液m0，经过n次操作后，溶液浓度由c0变为cn。

则cn=c0[m/（m+m0）]n

【例题】从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入纯酒精将瓶加满。

这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？

【解析】将题中酒精视为溶剂，清水视为溶质，则杯中原有清水浓度为1-50%=50%，根据多次混合公式，可得到多次混合之后清水的浓度为50%[（1000-200）/1000]3=25.6%，所以多次混合后酒精的浓度为1-25.6%=74.4%。

3.十字交叉法与浓度问题

浓度问题中的混合问题，一般主要采用十字交叉法来实现多的量和少的量保持平衡。

已知一瓶溶液的浓度为a%，另外一瓶的溶液浓度为b%，分别取m和n份进行混合，求混合溶液的浓度？

（m＞n）

第一部分a%x-b%——m

x则

第二部分b%a%-x——n

十字交叉法：

A/B=（r-b）/（a-r）还常用于增长率问题。

已知两个量的增长率，求两个量混合后的增长率。

【例题】某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是（）。

【解析】设男生平均分x，女生1.2x。

（75-1.2x）/（75-x）=1/1.8得x=70，则女生平均分为84

4.溶液交换浓度相等问题

设两个溶液的浓度分别为a%，b%，且a>b，设需要交换溶液为x。

则有：

（b-x）：

x=x：

（a-x）→x=ab/a+b

【例题】两瓶浓度不同得盐水混合液。

60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。

要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换（）克的溶液?

A.36B.32C.28D.24

【解析】设交换的溶液为x克，混和后的标准浓度c。

先对60%的溶液研究，采用十字交叉法来得：

40-x：

x=（c-40%）：

（60%-c）

再对40%的溶液进行研究，同理得：

60-x：

x=（60%-c）：

（c-40%）

由上面两式得40-x：

x=x：

60-x即推出x=（40×60）/（40+60）=24

七、盈亏问题：

核心思想即人数=盈亏差÷分配差

1.一次盈，一次亏：

（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

2.两次都有盈：

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

3.两次都是亏：

（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

4.一次亏，一次刚好：

亏÷（两次每人分配数的差）=人数

5.一次盈，一次刚好：

盈÷（两次每人分配数的差）=人数

【例题1】用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？

绳长多少米？

【解析】井深=（3×2+4×1）/（4-3）=10米，绳长=（10+2）×3=36米。

【例题2】有一个班的同学去划船。

他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。

那么这个班共有多少名同学？

【解析】增加一条和减少一条，前后相差2条，可理解为每条船坐6人正好，若坐9人则空出两条船。

这样就是一个盈亏问题的标准形式了。

解答：

增加一条船后的船数=9×2/（9-6）=6条，这个班共有6×6=36名同学。

或者也可以理解为每条船坐9人正好，若坐6人则还缺两条船。

增加一条船后的船数=6×2/（9-6）=4条，这个班共有4×9=36名同学。

8、鸡兔同笼问题

假设全是鸡，则兔子数=（总脚数-鸡脚数×总只数）÷（兔脚数-鸡脚数）

假设全是兔子，则鸡数=（兔脚数×总只数-总脚数-）÷（兔脚数-鸡脚数）

【例题】灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。

某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？

”

【解析】假设全部合格，则不合格的有（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）

　　假设全部不合格，不合格的有1000-（15×1000+3525）÷19=1000-18525÷19=25（个）

9、牛吃草问题：

草生长速度=总量差÷时间差=（吃草速度1×时间1－吃草速度2×时间2）÷时间差

原有草量=（牛数－每天长草量）×天数〔一般设每天长草量为x〕

草的总量=原有草量+新生草量

十、利润问题

利润率＝利润/成本＝（售价成本）/成本＝售价/成本－1　

售价＝成本×（１－利润率）成本＝售价/（１＋利润率）　　

【例题】一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为多少？

A.12%B.13%C.14%D.15%

【解析】本题中始终不变的是售价，根据售价＝成本×（１－利润率），设商品进价为100，上月利润率为x。

则有100×（1+x）=95×（1+x+6%）解得x=14%，选C

十一、抽屉原理：

①原理1：

把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

②原理2：

把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

③第二抽屉原理：

把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

注意：

抽屉原理类题也可用“最不利原则”来思考，答案为“最不利+1”。

【例题】体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

【解析】最多有同学拿球的配组方式共有C（1，3）+2C（2，3）=9种（足球、篮球、排球、足足、篮篮、排排、排篮、足排、足篮）。

以这9种配组方式制造9个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9＝5……5。

由抽屉原理2，k＝（m/n）＋1可得，至少有6人，他们所拿的球相同。

12、容斥问题

1.三者容斥问题问题的两个不同公式

①A∪B∪C=A+B+C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C

②A∪B∪C=A+B+C－重叠一次的－2×重叠两次的

A∪B∪C=K1+K2+K3〔K1为第一层，K2为第二层，K3为第三层〕

A+B+C=K1+2K2+3K3=A∪B∪C+K2+2K3

【例题】五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6人，则有（ ）人只参加了一种特长培训班。

A.45B.33C.29D.22

【解析】根据A+B+C=A∪B∪C+K2+2K3=55+K2+2×6=35+28+31解得K2=27,

根据A∪B∪C=K1+K2+K3解得K1=22。

K1即表示为只参加一种特长班的人数。

2.容斥问题其他类型

①求两个集合的交集的最小值：

A+B-I

②求三个集合的交集的最小值：

A+B+C-2I

【例题】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。

问三人都做对的题目至少有几题?

A.4题B.8题C.12题D.16题

【解析】解法一：

代入公式：

68+58+78-2×100=4，选择A。

解法二：

由题意知，小明、小刚，小红做错的题分别为32，42，22，三人做错的题共有32+42+22=96道，利用最不利原则，即三人最多做错96道，则至少做对100-96=4道

13、工程问题

1.基本工程问题：

（1）已知每个人完成工作的时间，设工作总量为工作效率的最大公倍数，求出每人的工作量。

（2）抓住单独工作效率或者合作工作效率为解题关键。

常见两种题型：

①合作过程中有人休息：

一般假设不休息来算。

②轮流工作时：

一般用周期来算。

计算每轮工作的效率，算出最后一轮的实际工作量，以及最后剩余工作量如何分配。

（3）某些题型，无论合作还是轮流，按照两人的工作效率，甲做的天数可以转化为相当于乙做了多少天。

【例题1】一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做9天完成。

按照甲先乙后的顺序每人每次1天轮流，完成需几天？

A.31/3B.32/3C.11D.10

【解析】设工作总量为36，则甲每天做3份，乙每天做4份，轮流2天可做7份。

36÷7＝5……1，即甲乙轮流工作10天余1份，第11天时，甲完成剩余的1/3即可，所以共需31/3天。

【例题2】一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

【解析】解法一：

甲乙合作30天可做完；现在甲做6天，乙做46天可做完，前后对比甲少做24天，乙多做16天，所以甲乙的效率之比为6：

4。

所以乙做30天相当于甲做了45天，所以乙独做需75天；甲做30天相当于乙做20天，所以乙独做需要50天。

解法二：

共同做了6天后，还成4/5的工作量，乙做4/5的工作量需要40天，所以乙独做需要50天，即乙每天做1/50，甲乙合作时乙做了30/50=3/5，甲做了2/5，甲做2/5的工作量需30天，所以甲独做需75天。

【例题3】一件工程，甲单独做10天完成，乙单独做30天完成.现在两队合作，其间甲休息了2天，乙休息了8天。

问开始到完工共用了多少天时间？

【解析】解法一：

设工作总量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。

在甲单独做8天，乙单独做2天后，还需两队合作（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1天，所以共需8+2+1=11天

【例题4】甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16天。

问乙队休息了多少天？

【解析】解法一：

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是16×（1/20+1/30）=4/3

则两队休息期间未做的工作量为1/3，乙队休息期间未做的工作量1/3-3×（1/20）=11/60，乙队休息的天数是11/60÷（1/30）=5.5天

解法二：

甲乙效率之比为3:

2，甲单独做需20天，现在甲休息了3天，即甲做了13天，甲若再做7天即可完成，转化为乙做了10.5天，所有乙休息了16-10.5=5.5天。

2.工程问题——水管问题

【例题3】甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池。

现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池。

已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

【解析】解法一：

甲每分钟注入水量是：

（1-1/9×3）÷10=1/15，乙每分钟注入水量是：

1/9-1/15=2/45。

因此水池容积是：

0.6÷（/15-2/45）=27m3

解法二：

甲管9分钟，乙管9分钟可注满；甲管13分钟，乙管3分钟注满。

前后对比甲管多进水4分钟，乙管少进水6分钟，即甲管和乙管的效率之比为4：

6。

已知甲管比乙管每分钟多注水0.6m3，所以两管每分钟共进水3m³，所以水池容积为3×9=27m3

十四、行程问题

（1）相遇问题：

路程和=速度和×时间（S1+S2）=（v1+v2）t

（2）追及问题：

路程差=速度差×时间（S1+S2）=（v1+v2）t

（3）直线多次相遇问题：

两人相向而行，第n次相遇时两人行走的总路程S总=（2n-1）S

（4）环形运动问题：

圆形跑道长为S，两人走的路程分别为S1、S2

同地异向而行，相邻两次相遇间所走的路程和为周长，第n次相遇时两人走的总路程为nS

同地同向而行，相邻两次相遇间所走的路程差为周长，第n次追上时两人走的路程差为nS

1.沿途数车问题

发车时间间隔T=（2t1t2）/（t1+t2）

车速/人速=（t1+t2）/（t2-t1）〔t1为迎面来一辆车所需时间，t2为从身后超过一辆车所需时间〕

【例题】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？

A.3B.4C.5D.6

【解析】车速/人速=（10+6）/（10-6）=4

2.公交车超骑车人和行人问题

【例题】一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人