09考研农学数学真题标准答案及解析doc.docx

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09考研农学数学真题标准答案及解析doc

2009年全国硕士研究生入学统一考试

农学门类联考数学试题

一、选择题：

1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

X

（1）在（一4,4）内，函数y=——的可去间断点的个数为（）tanx

（A）.O（B）.1（C）.2（D）.3

【答案】（。

）

Y

x=±5为时去间断点.故共3个，选（。

）.

【解析】y=——tanx

x=0,hm

5tanx

71X

x=±—,lim=（）,

2I土乙tanx

2

（2）函数y=ln（l+f）的单调增加图形汐四的区间是（

（功.（-1,0）

【答案】（c）

【解析】

2%

y'=——>0=>x>0

'1+x2

取交集得：

券（0,1）,选（c）.

（3）函数/（x）=e'f2dt的极值点为》=（）

【答案】（A）

【解析】因f（工）=次可.（i2）=（1—2力次瑚）

令广⑴=0,得x=-f乂

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万学薮肓•福又者

*）=-2次％（1*次刁.[十一叫=_[2+2（1一2沪（「邛5

得/"［11^0,故X=-^J极值点，应选（A）.

<22

（4）设区域D=｛（尤,y）|x。

｝,则在极坐标下二重积分jjw/Az/y=（

）cos0

（A）f拍［qr~cos^sinOdr

/、Ep2cos〃）

（C）Ide］。

rcossinOdr

（D）Pcos0sin^/r

【答案】（幻

71

【解析】原积分=[2d0\

0

2cos0.

尸cos。

rsinQ・cos。

L「2COS。

.

rdr=2d0rcossinOdr.

JOJcos0

21、

（5）设矩阵*=2ab+42的供为2<则（）

*24a+2?

（A）.o=0,Z?

=0（8）.a=0,/?

0（^Cpa0,/?

=0（D）.q壬0,0壬0

<1

2

Ip

<1

0

0、

【解析】A=

2

ab+4

2

—>

2

ab

0

<2

4

tz+2.

/

（2

0

【答案】（C）

'100、

因为a=0时，r（A）=1,所议口工0,A-»0湖0

00a.

\/

因为/・（A）=2,所以b=。

综上。

。

0,。

=0.

（6）设0为3阶矩阵，4为A的伴随矩阵，0的行列式|A|=2，则—2#=（）

（A）.-25

【答案】A

【解析】v|A|=2

（8）.-23（c）.2‘

乂・.・A*=\A\1'1=\Af-1=\Af=22

一2A[=（一2沪.竹]=（一2沪»22=~25.

（7）设事件A与事件8互不相容,，则（）

（A）.F=（AB）=0（B）.P=（AB）=P（4）P0）

«■»

（C）.P（A）=1-P（B）（D）.P=（AuB）=1

【答案】（D）【解析】因为A,B互不相容，所以P（AB）=O

__—

（A）P（奇）=P（AU8）=1—P（AU3）TO^P（*UB）不一定等于1,所以（A）不正确

（B）当P（A）,P（B）不为。

时，（3）歹成立，故排除

（C）只有当A,B互为对立事件的时候才成立，故排除

（D）P（AU万）=ap）=1一P（AB）=1&.故（D）正确.

Y—1

（8）设随机变量网的分布函数F（x）=0.3O（x）+0.70（^-）,其中必（尤）为标准正铲布的分布函数,

EX=

（1）..I

（A）.O（B）.0.3（C）.0.7（D）.l

【答案】（C）

所以EX=^xF\x）dx=0.3b（X）+0.35叫亍"

「奶3）“x=o

-~=u2「（2〃+1）中，（时血=2

所以EX=0+0.35x2=0.7.

二、填空题：

9.14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

2

（9）lim（l+sin—）'=

XT。

3

【答案】

22x2x2sin：

籍2

X一.—ln（l+sin-）lini—ln（l+sin—）limlim—-一

【解析】lim（l+sin—）'=lime'33=x=ex^}x=e3

X->（）3XT。

（10）设/（x）=ln（4x+cos22x）,则f'（—）=

8

4

【答案】——

勿+1

【解析】由/（x）=ln（4x+cos22x）,f（x）=——[4+2cos•（-sin2x）-21

4x+cos~2x

1

22

24

——（4—2）=一

）+17T+1

2',（p（x）=Inx,则f[f（pCx））+^（/（x））}/x=

4

【答案】一相

3

【解析】

/（^（x））=ewUx2,

伊侦3））=1"=2工

所以原式=，（亍+2x）dx=（

）o=-+l=-.

*33

出

（12）设f（u"为二元可微函数，Z=/（sin（x+》）,e"）,则二=—dx

—+x3

【答案】/；cos（x+y）+yf2exy

【解析】根据夏合函数求导法得：

—=/；cos（x+y）+）/；^\

dx

（13）设向量组0=（1,0,1",0=（2,k,—\V,/=（-!

1,-4/线性相关,则3=

【答案】1

【解析】。

=（1,0,1）气/?

=（2/,—1）。

/=（—1,1,—4）丁

‘12-1、

令人=0k1

J-I-4>

若a、”、/线性相关，所以则|人|二一3&+3=0,.3=1

（14）设总体X的概率密度/（x,cr）=—e叽-co0）未知，若x^x0,.....xn2b

In是来a总体X的简单随机样本，6=——yix.l^（T的估计量，则E（a）=

n-lTr_

【答案】——b

【解析】

（15）（本题满分,

■4项sinx

【解析】令y[x=t,x=t2,dx=2tdt

原式=

fln（2+/）

—2tat=2

Jt2+2t（17）（本题满分10分）曲线匕过点（1,1）,匕上任一点M（i,），）（x>0）处法线斜率四，求乙方程.

万字薮肓•海又舂

【解析】

法线斜率为-」7

12ydx2y,c,—=n==>-xdx=2yay

yfxdyx*

=>--x2=y2+C.

21

3乂由巳知条件y（l）=l=>C]=—

12，3八

二一尸+）广--=0

2.2

.・.]=j3-2），2Iv

（18）（本题满分11分

讨论方程尸—4x+R=0实根的个数，其中上为参数.

【解析】令/（X）=x4-4x+k,丽f（x）=4x3-4=4（尤-1）（^2+"1）

.•.当工〉1时，/（a）>0；当xvl时，f（x）<0；当尤=1时，f（x）=0

即」（力在（-ooj）m调减，在（1,+时单调增，在」=1处取得极小值,且为最小值.从而

①/'

（1）=&一3>0时，方程无实根；

②/•

（1）=&_3=0时，、方程有两个相同的实根；®f（\）=k-3<0时，由于lim/（x）=+8,根据零点定理可得，方隔两个相异实根.

（19）（本题满分11分）计算二重积分

尸+）,2=2所围成的区域.

【解析】如图所示，则由题可知

-\）yj2-x2dnfx（\-x）dx

/5兀、1

=（）+—

646

（20）（本题满分10分）

‘121、

设A=1a+2a+l，若存在3阶非零矩阵B,使得AB=O.

1q—22。

—3/

（I）求a的值;

（II）求方程组AX=。

的通解.

【解析】

（I）根据题目条件，知存在3阶$零矩阵8,使48=0,即AX=0有非零解.

.••冈二0,即I

2

。

+2

0-2

112I

a+\=0aa=a（a-2）=0

2。

一30a2a-2

二。

=0或。

=2

'121_

（II）当。

=0时*,A=121，求AX=0的通解.

-1-2

-3」

_12n

■]21'

一120

4=

1211

->

000

->

000

一1-2-3

00—2

■■■一

_001

取自由未知量七=1,角§=[—2,1,0]',即AX=0的通解尤=幻&=灯—2,1,0]',（幻为任意常数）.

当1=2时，1

21

43,求AX=0的通解.

01

_121

12r

一022

一01「

4=

143

->

022

022

->

000

-101

-101

一101_

-101

取日由未知量想=1，得金=[1，一1，1「

即AX=0的通解x=^2=Z:

2[l,-l,l]r,Ck2^j任意常数）.

（21）（木题满分11分）

设3阶矩阵A的特征值为1,1,-2,对应的特征向量依次为％

‘0、

1

a、—Av

0

9a、=

0

<1>

（1）求矩阵人；

（II）求A2009

【解析】（I）令尸=（%,%，％），则P—MF=A=0

0

0

-2

，即A=PAP',利用初等行变换求尸一',有

（II）

01110

0

1000

10001

0

->

01-100

A

01-10

1

0001

0010'

1

1100

->

0

10-0

2

-2-101

1

0

01-0

—

2

01110

0-

1000

10001

o

—>

0111

01-10（）

1

01-10

1

0001

001o-

1

1100

->

0

10-0

2

-2-101

（P|E）

0

0

2

2

0

0

0

0

1

2

10

0

0

1

0

10

01

00

10

00

01

0

0

0I

2

j_

-2

010

P0厂

11

22

-0-

A=PAP'=

010

22

-0--

-0--

一22_

L22J

即pT

A=PAW

-011■

-100

100

010

01-1

00-220（）9_

A2009=pA2009pH=

2

]_

~2

上_2^0082~

0

1+22008

2

0

_L_220082-

1+22008

_2

（22）（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为/（%）=

2x,a

廿，且EX2=l.

0,其他

（1）求讣的值;

2x,a

0,其它

故费诚

「f=£2xdx=b2-a2=\

E（X。

）=f2x3dx—?

（/?

，_"，）=1

由①②得到

推得到.

bl

a2=—

2

由概率密度函数的非负性，知0〉（）力＞0则＜

b=——

2

皿

a=——

2

（V2lfV2

P-\

2

/

（23）（本题满分10分）

巳知随机变量X与Y的概率分布分别为

成功率趋近100%

万学薮肓•福又者

X

-1

1

1

1

P

2

2

Y

0

1

1

3

P

4

4

且P{X=Y}=!

匕

（I）求二维随机变量（X,Y）的概率分布;

（II）求X与Y的相关系^pXY.

【解析】

（1）p（x=y）二：

即p（x=i,y=i）=：

所以P（X=1,Y=O）=F（X=1）—P（X=1,K=1）=：

同理可得P（X=-l,Y=O）=F（X=-l,y旦O）」P（K=O）=：

得到p（x=-l,K=O）=O

P（X=—1,K=1）=1—P（X=1,K=O）-P（X=1,K=1）-P（X=-1,K=O）=—则二维随机变量（X,Y）的概率分布是

*

-1

Pl

0

0*

4二

—

^4

1

£2

£4

3

4

Pj

j_

2

j_

2

3

4

⑵由。

二S（X,F）E（XV）I（X）E（V）

由二维随机变量（X,丫）的概率分布得到

XY

-1

0

1

P

]_

2

]_

4

上

4

X的边缘分布

X

-1

1

P

2

\_

2

Y的边缘分布

Y

0

1

P

2

4”

3

4

则E（XY）=—P（XK=—1）+OP（XY=O）+1P（XY=1）=—：

E（X）=-P（X=-l）+1F（X=1）=0

3

E（y）=o-p（y=o）+i-p（y=i）=-

D（X）=E（X*（X）]2=i^^

D（y）=E（y9-[E（y）]24-lh

所以。

-°W）"以很一布

-厂』

33

16

（2）P（|X|