一元二次方程全章学案学生讲解.docx
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一元二次方程全章学案学生讲解
一元二次方程
1.一元二次方程的概念
一元二次方程必须同时满足三个条件:
①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是____________,_____是二次项系数;bx是__________,_____是一次项系数;_____是常数项。
注意:
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
二次项系数0a≠是一个重要条件,不能漏掉。
3.典型例题分析
题型1一元二次方程的识别
例1.下列方程是一元二次方程的是（只填序号
例2.已知关于x的方程（
21mx
-+（m-3x-1=0是一元二次方程,则m的值为
题型2.将一元二次方程化为一般形式
例3.将方程（8-2x（5-2x=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
例4.一元二次方程a（x+12+b（x+1-c=0化成一般形式为4x2+3x+1=0,试求（2a+b3c的值.
试一试
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、及常数项:
⑴5x2-1=4x⑵4x2=81⑶4x（x+2=25⑷（3x-2（x+1=8x-3
22222（110（323x10xx（5（3（3xx-==+=-22 x （22（x-1=3y12 x---=0 （69x=5-4x
题型3.建立一元二次方程模型
例5.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
⑵一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;
⑶把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x。
直接开平方法解一元二次方程
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方程叫做直接开平方法.一般地,对于
形如x2=n（n0的方程,根据平方根的定义,可解得x1
2
注意:
（1用直接开平方法解一元二次方程必须把方程化成等号左边是一个含未知数的一次式的平方,右边是一个非负数的形式才能解;
（2用直接开平方法解一元二次方程就是将二次方程通过开平方转化为一次方程.
（3用直接开平方法解一元二次方程,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根.
典型例题分析
例1.用直接开平方法解下列方程:
（1x2=8（2（2x-12=5（3x2+6x+9=2
【课堂练习】:
1、用直接开平方法解下列方程:
（13（x-12-6=0（2x2-4x+4=5（39x2+6x+1=4（436x2-1=0（54x2=81（6（x+52=25
一、选择题
1.若x2-4x+p=（x+q2,那么p、q的值分别是（.
A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-22.方程3x2+9=0的根为（.
A.3B.-3C.±3
D.无实数根
二、填空题
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2（x-32=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
4.用直接开平方法解下列方程:
（1（2-x2=4（2（2-x2-81=0
5、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙（墙长25m,•另三边用木栏围成,木栏长40m.（1鸡场的面积能达到180m2吗?
能达到200m吗?
（2鸡场的面积能达到210m2吗?
7.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,•并说明你制作的理由吗?
配方法解一元二次方程
对于一般形式的一元二次方程,若二次项系数为1,在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫做配方,配方、整理后,可以直接根据平方根的意义来解,这种解一元二次方程的方法叫作配方法。
例1.用配方法解下列关于x的方程
（1x2-4x+2=0（22x2-4x-8=0
例2.填空:
（1x2+6x+______=（x+______2;（2x2-x+_____=（x-_____2
（34x2+4x+_____=（2x+______2.（4x2-x+_____=（x-_____2
练习:
（1x2+10x+9=0（33x2+6x-4=0
（34x2-6x-3=0（4x（x+4=8x+12
【课后巩固】
一、选择题
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得（.
A.（x-22+3B.（x-22-3C.（x+22+3D.（x+22-3
2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是（.
A.x2-8x+（-42=31B.x2-8x+（-42=1
C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11
3.如果mx2+2（3-2mx+3m-2=0（m≠0的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于（.
A.1B.-1C.1或9D.-1或9
二、填空题
1.（1x2-8x+______=（x-______2;（29x2+12x+_____=（3x+_____2
（3x2+px+_____=（x+______2.
2、方程x2+4x-5=0的解是________.
三、解方程:
（1x2+10x+16=0（23x2+6x-5=0（34x2-x-9=0
四、综合提高题
1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.
2.如果x2-4x+y2
求（xyz的值.
用公式法解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
（1解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、
c代入式子
b2-4ac<0,方程没有实数根。
（2
ax2+bx+c=0（a≠0的求根公式.
（3利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
（4由求根公式可知,一元二次方程最多有实数根,也可能有实根或者实根。
（5一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0的根的判别式,通常用希腊字Δ表示它,即Δ=b2-4ac
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解的方法,叫作公式法
例1、用公式法解下列方程.
（1x2-4x-7=0（22x2-2
2x+1=0（35x2-3x=x+1（4x2+17=8x
课堂练习:
1、在什么情况下,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0有两个不相等的实数根?
有两个相等
的实数根?
2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,b2-4ac≥0的求根公式。
3、利用判别式判定下列方程的根的情况:
（12x2-3x-2
3=0（216x2-24x+9=0（3x2-24x+9=0（43x2+10x=2x2+8x
4、用公式法解下列方程.
（12x2-4x-1=0（25x+2=3x2
（3x2-3x-41
=0（44x2-6=0
【课后巩固】
一、选择题
1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到（.
A.
B.
C.
D.
2
2
的根是（.
A.x1
x2
B.x1=6,x2
C.x1
x2
D.x1=x2
3.（m2-n2（m2-n2-2-8=0,则m2-n2的值是（.
A.4B.-2C.4或-2D.-4或2
二、填空题
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0的求根公式是________,条件是________.
2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.
3.若关于x的一元二次方程（m-1x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.
三、综合提高题
1.用公式法解关于x的方程:
x2-2ax-b2+a2=0.
因式分解法
1.当一元二次方程的一边为0,而另一边易于时,我们就可将原方程降次为两个一元一次方程,从而求出方程的根,这种方法叫作一元二次方程的因式分解法。
2.用因式分解法解方程的步骤:
（1将方程右边化为0;
（2将方程左边分解为两个一次因式的乘积
（3令每个因式都等于0,得到两个一元二次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解。
3.一元二次方程的解法有、、、,其中法和公式法适合任意一元二次方程,公式法是最常用的方法
4.典型例题分析
例1、用因式分解法解下列方程
（1
（3（2x-12=（3-x2（42（5315xx+=+
随堂训练
1、用因式分解法解下列方程
（1x2+x=0（2（x-42=（5-2x2
（44x2-121=0（53x（2x+1=4x+2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。
2540
xx-=（220xxx-+-=
【课后巩固】
1.方程（30xx+=的根是
2.方程22（11xx+=+的根是________________
3.方程2x（x-2=3（x-2的解是_________
4.方程（x-1（x-2=0的两根为x1、x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于___
5.若（2x+3y2+4（2x+3y+4=0,则2x+3y的值为_________.
6.已知y=x2-6x+9,当x=______时,y的值为0;当x=_____时,y的值等于9.
7.方程x（x+1（x-2=0的根是（
A.-1,2B.1,-2C.0,-1,2D.0,1,2
8.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为（
A.（x+5（x-7=0B.（x-5（x+7=0
C.（x+5（x+7=0D.（x-5（x-7=0
9.方程（x+4（x-5=1的根为（
A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程:
（1（41（570xx-+=
（22x=
（33（12（1xxx-=-（42216（29（3xx-=+
选择合适的方法解一元二次方程
一、梳理知识
1、解一元二次方程的基本思路是:
将二次方程化为一次方程,即降次,其本质是把ax2+bx+c=0（a≠0的左端的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积,即ax2+bx+c=a（x-x1（x-x2,其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根。
2
3、一般考虑选择方法的顺序是:
直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法
二、用适当的方法解下列方程:
1.270xx-=2.
21227xx+=
3.X（x-2+X-2=04.224xx+-=
5.
224（29（21xx+=-6.8142=x
7.
（1652=+x8.（（025422=---xx
9.012142=-x10.04
32=--xx
11.0942=--xx12.0122
=-+xx
13.0182=+-xx14.（24123+=+xxx
15.4122=++xx
16.（1292=-x
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
知识点概括
1、一元二次方程根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0的根的判别式△=b2-4ac,△>0时,方程有________实数根,当△=0时,方程有__________实数根,当△<0时,方程有_________实数根.以上结论反过来也成立。
2、一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0的两个实数根分别为x1,x2,则有x1+x2,x1x2=上述结论叫作一元二次方程根与系数的关系,这个关系通常被称为韦达定理。
典型例题分析
例1.不解方程,判别下列方程根的情况:
（12x2+3x-4=0（2x2+9=6x（3x2+2x+3=0
例2.当m为何值时,关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等的实数根?
此时这两个实数根是多少?
11
例3:
不解方程,求下列方程的两根和与两根积:
（1x2-6x-15=0（23x2+7x-9=0（35x-1=4x2
例4:
已知方程2290xkx+-=的一个根是-3,求另一根及K的值。
例5:
已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
随堂训练
不解方程,求下列方程的两根和与两根积
（1x2-3x=15（2（2x-12=（3-x2
（3x2-3x+2=10（44x2-144=0
【课后巩固】
一、填空
1.若方程20axbxc++=（a≠0的两根为1x,2x则12xx+=12.xx=__
2.方程22310xx--=则12xx+=,12.xx=__
3.若方程220xpx++=的一个根2,则它的另一个根为____p=____
4.已知方程230xxm-+=的一个根1,则它的另一根是____m=____
2
21
（2（3αβαβ
++-1
12
5.若0和-3是方程的20xpxq++=两根,则p+q=____
6.在解方程x2+px+q=0时,甲同学看错了p,解得方程根为x=1与x=-3;乙同学看错了q,解得方程的根为x=4与x=-2,你认为方程中的p=,q=。
7.若两个不等实数m,n满足条件:
m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,m2+n2的值是。
8.已知方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根,则二、选择
1.两根均为负数的一元二次方程是（
A271250xx-+=B261350xx--=C242150xx++=D21580xx+-=
2.若方程2
0xpxq++=的两根中只有一个为0,那么（
Ap=q=0BP=0,q≠0Cp≠0,q=0Dp≠0,q≠0
3.设x1,x2是方程2330xx+-=的两个实数根,则2112xxxx+的值为（
A.5B.-5C.1D.-1
4.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有实数根,则实数m的取值范围是（
A.m<1B.m>-1C.m>1D.m<-1
5.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是（
A.14k>-
B.14k>-且0k≠C.14k<-D.14k≥-且0k≠三、不解方程,求下列方程的两根和与两根积:
（1x2-5x-10=0（23x2-2x=2
（33x2-1=2x+5（4x（x-1=3x+7
13一元二次方程的应用
增长率问题与经济问题
基础知识概括
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
（1“设”,即设_____________,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;
（2“列”,即根据题中关系列方程;
（3“解”,即求出所列方程的_________;
（4“检验”,即验证是否符合题意;
（5“答”,即回答题目中要解决的问题。
2.增长率=（实际数-基数/基数。
平均增长率公式:
2
（1Qax=±其中a是增长（或降低的基础量,x是平均增长（或降低率,2是增长（或降低的次数。
例1:
某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?
例2:
青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg,2003年平均每公顷产8460kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.
【课后巩固】
1.某次会议中,参加的人员每两人握一次手,共握手190次,求参加会议共有多少人?
2.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,那么根据题意列出的方程是（
A.x（x+1=182B.x（x-1=182
C.2x（x+1=182D.x（1-x=182×2
3.一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共（.
A.12人B.18人C.9人D.10人
4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛,共进行了15场比赛,那么有几个球队参加了这次比赛?
5.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛,共要比赛90场,共有多少个队参加比赛?
6.两个连续偶数的积为168,求这两个偶数.
7.某商品原来单价96元,厂家对该商品进行了两次降价,每次降低的百分数相同,现单价为54元,求平均每次降价的百分数?
精确到0.01﹪
9.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2,求两条直角边的长。
10.一个菱形两条对角线长的和是10cm,面积是12cm2,求菱形的周长。
14
15图形面积问题
基础知识概括
利用一元二次方程解决图形问题,解决图形问题一要善于把不规则图形化成规则图形;二要善于根据图形的面积公式或体积公式或勾股定理等,列出方程。
例1.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度应是多少厘米?
例2.如图,某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是1442m,求马路的宽.
例3.用一根长cm40的铁丝围成一个长方形,要求长方形的面积为275cm.
⑴求此长方形的宽是多少?
⑵能围成一个面积为1012cm的长方形吗?
如能,说明围法。
⑵若设围成一个长方形的面积为S（2cm,长方形的宽为（cmx,求S与x的函数关系式,并求出当x为何值时,S的值最大?
最大面积为多少?
【课后巩固】
1.在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少?
32m
20m
2.解下列方程⑴X2+10X+21=0⑷3X（X+1=3X+3⑸4X2-4X+1=X2+6X+9⑹7X2-6X-5=03．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地.4．一个直角梯形的下底比上底大2cm，高比上底小1cm，面积等于8cm2，求这个梯形的上底.5．一个长方体的长与宽的比为5:
2，高为5cm，表面积为40cm2，求这个长方体的体积.7．一个矩形的两条邻边相差3cm，面积为4cm2，求对角线的长。
16
8.一个小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．（1小球滚动了多少距离?
（2平均每秒小球的运动速度减少多少?
（3小球滚动到5m时用了多少时间？
（提示：
匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v（初速度与末速度的算术平均数与路程s、时间t的关系为s=vt__9．如图，把长为40cm，宽为30cm的长方形铁片的四角截去一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无盖的盒子，使它的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，求盒子的高.17
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