专题4 第2讲 空间中的平行垂直及夹角.docx

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专题4第2讲空间中的平行垂直及夹角

第2讲　空间中的平行、垂直及夹角

（建议用时：

50分钟）

一、选择题

1．（2013·安徽卷）在下列命题中，不是公理的是（　　）．

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

解析　选项A是面面平行的性质定理．

答案　A

2．（2014·济南模拟）已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是（　　）．

①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.

A．①③B．②④

C．①④D．②③

解析　过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.

答案　A

3．（2014·辽宁卷）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（　　）．

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

解析　法一　若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；

若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；

若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；

若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错；

法二　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.

A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．

B项中，m⊥α，n⊂α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．

C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．

D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．

答案　B

4．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（　　）．

A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β

C．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β

解析　根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．

答案　B

5．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：

①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有（　　）．

A．1B．2

C．3D．4

解析　①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故选B.

答案　B

6．（2013·新课标全国Ⅱ卷）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）．

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析　假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.

答案　D

7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（　　）．

A．直线AB上　　B．直线BC上

C．直线AC上　　D．△ABC的内部

解析　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上，故选A.

答案　A

二、填空题

8．设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

其中为真命题的是________（写出所有真命题的序号）．

解析　由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题；

对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．

综上所述，真命题的序号为①②.

答案　①②

9．（2014·金丽衢十二校联考）下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________（写出所有符合要求的图形序号）．

解析　对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.

答案　①③

10．（2014·衡阳质检）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为______．

解析　如图．

连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案　平行

11．（2014·陕西师大附中模拟）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

解析　如图，连接FH，HN，FN，

由题意知HN∥面B1BDD1，

FH∥面B1BDD1.

且HN∩FH＝H，

∴面NHF∥面B1BDD1.

∴当M在线段HF上运动时，

有MN∥面B1BDD1.

答案　M∈线段HF

12．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

解析　如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.

容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，t＝AK＝＝1；当F运动到C点时，在Rt△ADF中，易得AF＝，且AG＝，GF＝，又易知Rt△AGK∽Rt△ABF，则＝，又AB＝2，AK＝t，则t＝.∴t的取值范围是.

答案　

三、解答题

13．（2013·山东卷）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

（1）求证：

CE∥平面PAD；

（2）求证：

平面EFG⊥平面EMN.

证明　

（1）法一　如图1，取PA的中点H，连接EH，DH.

图1

因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，EH＝AB.

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，EH＝CD.

所以四边形DCEH是平行四边形．

所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

法二　如图2，连接CF.

图2

因为F为AB的中点，

所以AF＝AB.

又CD＝AB，所以AF＝CD.

又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形．

所以CF∥AD.

又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.

（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.

同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，

因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC.

又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.

又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.

14．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝DA，E，F分别是AB，PD的中点．

（1）求证：

PC⊥BD；

（2）求证：

AF∥平面PEC；

（3）在线段BC上是否存在一点M，使AF⊥平面PDM？

若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由．

解　

（1）连接AC，则AC⊥BD.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD.

又AC与PA相交于点A，

∴BD⊥平面PAC.

∵PC⊂平面PAC，

∴PC⊥BD.

（2）取PC的中点K，连接FK，EK，则四边形AEKF是平行四边形，

∴AF∥EK，

∵EK⊂平面PEC，

AF⊄平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

（3）当M是BC的中点时，可使AF⊥平面PDM，证明如下：

∵PA＝DA，F是PD的中点，

∴AF⊥PD.

∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，

∴△BCD为等边三角形，∴DM⊥BC.

又AD∥BC，∴DM⊥AD.

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥DM，

∴DM⊥平面PAD，又AF⊂平面PAD，

∴DM⊥AF，

又PD∩DM＝D，

∴AF⊥平面PDM.

15.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．

（1）证明：

EF∥平面PAB；

（2）若二面角P－AD－B为60°，

①证明：

平面PBC⊥平面ABCD；

②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

（1）证明　如图，

取PB中点M，连接MF，AM.

因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.

（2）①证明　连接PE，BE.因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以，平面PBC⊥平面ABCD.

②解　连接BF.由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．

由PB＝及已知，得∠ABP为直角．而MB＝PB＝，

可得AM＝.故EF＝.又BE＝1，

故在直角三角形EBF中，sin∠EFB＝＝.

所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.