空间面面垂直的判定与性质.docx

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空间面面垂直的判定与性质

空间面面垂直的判定与性质

一、平面的斜线

1．斜线：

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．

2．斜线的射影：

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影．

说明：

直线与平面平行，直线在平面内的射影是一条直线,并且射线与直线平行．直线与平面垂直射影是点．斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上（需要去证明一下）．

3．斜线段射影的性质定理：

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

（1）射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长．（若OB等于OC，则AB与AC相等，反过来也一样。

射影长的斜线段也长，射影短的斜线段也短；斜线段长射影也长）

（2）相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长．

例1在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（性质三，又称三垂线定理）

例1′在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．（反过来也对，也称三垂线定理的逆定理）

二、二面角

1．二面角的概念：

从一条直线出发的两个半平面组成的图形．这条直线称为二面角的棱，两个半平面称为二面角的面．（二面角研究的是半平面的事，就不能把平面延展）

二面角的表示：

或

（也就是ABQ所在的平面和ABP所在的平面，Q在AB的哪面就是哪半面平面）

2．二面角的平面角：

在二面角

的棱

上任取一点O，过点O以O为垂足，在半平面

内分别作垂直于棱

的射线

，则射线

构成的角

叫作二面角的平面角．

说明：

二面角的平面角的取值范围是

三、面面垂直

1．定义：

一般地，如果两个平面相交所成二面角的平面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（定义线面垂直用的是线线垂直去定义，而定义线面垂直也是用线线垂直，只不过是找二面角的平面角的事情）

2．判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

说明：

①经过空间一条直线且与已知平面垂直的平面可能有无数个，也可能只有一个．（无数个是直线垂直于平面有无数个，一个是相交但不垂直或线在面内或线面平行的时候）

②面面垂直没有传递性．也就是说垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定，有可能平行，有可能是成任意大小的二面角．（门与所在的墙壁都与地面垂直，但若门绕着门轴转，夹角就不确定了）

3．性质定理：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．（面面垂直的性质定理得到的是线面垂直）

例1已知

是圆

的直径，

垂直于

所在的平面，

是圆周上不同于

、

的任一点．求证：

平面

平面

．（怎样证明面面垂直，只需要找一个平面经过另外一个平面的垂线）

解析：

例2已知：

，

，

．求证：

．

证明：

三、小结

空间平行关系的判断

线线平行：

法一：

（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行

法二：

（线面平行性质定理）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

法三：

（面面平行性质定理）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

法四：

（线面垂直性质定理）垂直于同一个平面的两条直线平行

线面平行：

法一：

（线面平行的判定定理）平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该只限于瓷瓶面平行

法二：

（面面平行的性质定理2）

面面平行：

法一：

（面面平行的判定定理）一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

法二：

（面面平行判定的推论）（一个面的两条相交直线与另一个面内的两条相交直线平行，那么这两个面平行）

空间垂直关系的判断

线线垂直：

法一：

（定义）

法二：

（线面垂直的性质定理）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和平面内的任意一条直线平行

法三：

（推论：

两条平行线中的一条和一条直线垂直，那么另外一条也和这个直线垂直）

线面垂直：

法一：

（线面垂直的判定定理）一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

法二：

（面面垂直的性质定理）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

法三：

（线面垂直的性质定理）两条平行线中的一条垂直于一条平面，那么另一条直线也垂直于此平面

面面垂直：

法一：

（面面垂直的判定定理）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

面面平行的性质：

1.性质定理

2.两个平面平行，直线A在其中的一个平面内，那么直线A也与另外一个平面平行

3.平行的传递性：

平面A平行于平面B，且平面A平行于平面C，那么平面B平行于平面C