最大公约数与最小公倍数应用.docx

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最大公约数与最小公倍数应用

最大公约数与最小公倍数应用

（一）

一、知识要点：

1、性质1:

如果a、b两数的最大公约数为d,贝Ua=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：

（24,54）=6,24=4X6,54=9X6,（4,9）=1。

2、性质2:

两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且axb=[a,b]x（a,b）。

例如：

（18,12）=,[18,12]=（18,12）X[18,12]=

3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法

二、热点考题：

例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。

（运用性质2）

练一练：

甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。

例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77,求这两个自然数。

分析与解：

如果将两个自然数都除以7,则原题变为：

“两个自然数的最大公约

数是1,最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11,求这两个自然数。

”

例3已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。

分析与解：

因为12,15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即

是[12,15]=60的倍数。

再由[a,b,c]=120知，a只能是60或120。

[a,c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a,b,c]=120=23X3X5，所以c=15。

练一练：

已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。

例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。

习题四

1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。

2.已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。

3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,求这两个数。

4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。

5.已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。

6.已知两个自然数的和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数。

7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？

8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几？

9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且AXB=42,求B。

10、已知A和B的最大公约数是31，且AXB=5766，求A和B。

11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3,5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？

家庭练习

1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？

2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？

每个班至少分到了三种水果各多少千克？

3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几？

4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式

5、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？

例1用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数，a最大是多少?

分析与解：

因为498,450,414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被

a整除。

498-450=48,450-414=36,498-414=84。

所求数是（48,36,84）=12。

例2现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多

少？

分析与解：

只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。

只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。

三个数的和是1111，它们的公约数一定

是1111的约数。

因为1111=101X11,它的约数只能是1,11,101和1111，由于三个自然

数的和是1111，所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数，而101

是可能的，比如取三个数为101,101和909。

所以所求数是101。

练习：

1、在1000到2000之间，能同时被6、810这三个自然数整除的自然数一共有几个？

2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？

3、四个连续自然数，它们分别是&7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？

4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。

至少经过多少时间三人又同时从出发点出发？

5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是15,这个两数各是多少？

&甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。

8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。

这堆桔子至少有多少个?

【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳4.5米，袋鼠每次跳2.75米，它们每秒都只跳一次。

比赛途中，从起点开始，每隔12.375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米?

【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？

【例6】

（1）AB两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。

A、B两数的最大公因数是多少？

（2）甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，甲数是36,乙数是多少？

【例7】加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人？

练习：

1.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少？

乙数

是多少？

2.一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵？

每相邻两棵之间的距离是多少米？

3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

4．有一队同学去野炊,吃饭时,他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人

一个汤碗,一共用了91个碗。

参加野炊的至少有多少同学？

带余数的除法

前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题•除此之外，例如：

16十3=5…1,即16=5X3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（bM0）,那么一定有另外两个整数q和r,0

当r=0时，我们称a能被b整除。

当rM0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）•用带余除式又可以表示为a十b=q…r，0

例1一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

解：

•••被除数十除数=商…余数，

即被除数=除数x商+余数，

•••25仁除数X商+41，

251-4仁除数X商，

•••210=除数X商。

•/210=2X3X5X7，

•••210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

例2用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？

解：

•••被除数=除数X商+余数，

即被除数=除数X40+16。

由题意可知：

被除数+除数=933-40-16=877，

•••（除数X40+16）+除数=877,

•••除数X4仁877-16,

除数=861-41,

除数=21，

•••被除数=21X40+16=856

答：

被除数是856,除数是21。

例3某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几？

解：

十月份共有31天,每周共有7天,

•••31=7X4+3,

•••根据题意可知：

有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

•••这年的10月1日是星期四。

例43月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天）,15日（第三天），…）的第1993天是星期几？

解：

每周有7天，1993-7=284（周）…5（天），

从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

”

关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：

方法1：

2X70+3X21+2X15=233

233-105X2=23

符合条件的最小自然数是23。

例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：

方法2：

[3，7]+2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？

让我们再来看下面两道例题。

例6一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。

解：

[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。

想：

28+[5,6]X?

之后能满足“7除余1”的条件？

28+[5，6]X4=148，148=21X7+1，

又148V210=[5,6,7]

所以，适合条件的最小的自然数是148。

例7一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

解：

想：

2+3X?

之后能满足“5除余3”的条件？

2+3X2=8。

再想：

8+[3,5]X?

之后能满足“7除余4”的条件？

8+[3,5]X3=53。

•••符合条件的最小的自然数是53。

归纳以上两例题的解法为：

逐步满足条件法•当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。

解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。

例8一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？

解：

2+[5，7]X1=37（个）

•••37除以3余1,除以5余2,除以7余2，

•••布袋中至少有小球37个。

例969、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。

分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：

15除以2余1，19除以2余1，

即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

但是19-15能被2整除.

由此我们可以得到这样的结论：

如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。

反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。

例9可做如下解答：

•••三个整数被N除余数相同，

•••N|（90-69），即N|21，N|（125-90），即N|35，

•••N是21和35的公约数。

•••要求N的最大值，

•••N是21和35的最大公约数。

•••21和35的最大公约数是7，

•••N最大是7。

例6甲乙两数的乘积是2700,甲乙两数的最大公因数是15。

甲乙两数各是多少？

练习

1、一张长方形纸，长72厘米，宽48厘米，把它裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，要正方形尽可能大，可以裁多少个正方形？

2、当商取整数时，用某数去除410余5,去除242少1,去除550余10,这个数最大是多少？

3、两个数的和是836,其中一个数的末尾是0,如果把这个0抹去就与另一个数相等，这两个数各是多少？

4、两个数的最大公约数是6,最小公倍数是144,求这两个数是多少。

如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做作a的约数•约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在•如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而

不能孤立地说16是倍数，2是约数.

“倍”与“倍数”是不同的两个概念，“倍”是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数.“倍数”只是在数的整除范围内，相对于“约数”而言的一个数字概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数.

几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数.例如12,16的公约数有1,2,4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数，一般记为（12,16）=4.12,15,18的最大公约数是3,记为（12,15,18）=3.

常用的求最大公约数的方法是分解质因数法和短除法.

分解质因数法，把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数.例如，求24和60的最大公约数.24=2X2X2X3,

60=2X2X3X5,24与60的全部公有的质因数是2,2和3,它们的积是2X2X3=12，所以

（24,60）=12.

短除法，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的

除数连乘起来，所得的积就是这几数的最大公约数.例如，求24,48,60的最大的公约数.

（24,48,60）=2X3X2=12

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最

小公倍数.例如4的倍数有4,8,12,16,……,6的倍数有6,12,18,24,4和6的公倍数有12,24,……，其中最小的是12,一般记为[4,6]=12.12,15,18的最小公倍数

是180,记为[12,15,18]=180.

常用的求最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法.

分解质因数法，首先把这几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和

独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数.例如求6和15的最小

公倍数.6=2X3,15=3X5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有质因数是5,2X3X5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6,15]=30.

短除法，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整

除的数移下来，一直除到所得的商中每两个数都是互质数为止，然后把所有的除数和商连乘

起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数.例如求12,15,18的最小公倍数.

[12,15,18]=3X2X2X5X3=180

在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：

（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1,最小公倍数是这两个数的乘

积.

例如8与9，它们是互质数，所以（8,9）=1,[8,9]=72.

（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数.

例如18与3,18-3=6,所以（18,3）=3,[18,3]=18.

（3）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数.

例如8和14分别除以它们的最大公约数2,所得的商分别为4和7,那么4和7是互质

数.

（4）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.

例如12和16,（12,16）=4,[12,16]=48，有4X48=12X16.

下面讨论有关最大公约数、最小公倍数的问题.

例1将长200厘米，宽120厘米，厚40厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而

没有剩余，共有多少种不同的锯法？

当正方体的边长是多少时，锯成的小木块的体积最大，共有多少块？

分析：

由题意知，锯成的小正方体的边长应能整除200,120和40,也就是说，小正方体的

边长是这三个数的公约数，得出的不同的公约数的个数就代表有多少种不同的锯法.另外要

求锯成的小木块的体积最大时的正方体的边长，只要使小正方体的边长为最大就行了，即求

200,120和40的最大公约数.最后可求得锯的块数。

解：

H

40的约数个数为（3+1）X（1+1）=8

锯的块数（200-40）X（120-40）X（40-40）=5X3X1=15

答：

共有8种锯法，当正方体的边长是40厘米时，锯成的小木块的体积最大，共有15

块.

例2求1300到1400玻璃球数，使之分别按三个三个数，四个四个数，五个五个数，六个六个数，最后都差一个，改为七个七个数时，正好数完．

分析：

这个数必然是3，4，5，6的公倍数差1，而又是7的倍数．3，4，5，6的最小的公倍数是60,因此这个数可表示为60K—1（K是自然数）.当K=1时，60X1-仁59，被7除

余3;当K=2时，60X2-1=119，被7整除.符合三个三个数，四个四个数，五个五个数，最后都差一个，且七个七个数，正好数完，但所求数要求在1300至1400之间，只要在119基础上，增加3，4，5，6，7的最小公倍数的整数倍就可得到所求.

解：

因为（3,4,5,6）=60,因此这个数可表示为60K-1（K是自然数），当K=2时，60X2-仁119能被7整除；又（3,4,5,6,7）=420,所以这个数可表示为119+420m（m是自然数），当m=3时，119+420X3=1359,1359即为所求.

例3两个数的最大公约数是15，最小公倍数是360，且这两个数相差75，求这两个数.

分析：

根据最大公约数、最小公倍数的定义，360十15=24,24是所求的两个数它们各自独

有的不同的约数的乘积，并且它们的这两个约数必然互质，即用所求的两个数的最大公约数分别除这两个数所得的商的积等于24,且24必是两个互质数的乘积,很容易得到24=1X24=3

X8,1与24,3与8分别互质,这样得到两组解：

15X1=15,15X24=360；15X3=45,15X8=120；且120-45=75,得到了问题的解.

解：

因为360-15=24,24=1X24=3X815X1=15,15X24=360;15X3=45,15X8=120;且120-45=75

所以这两个数分别为45，120.

例4试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约

数尽可能大？

分析：

因为540=22X33X5,而2,3,4,5,6,7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为22X33=108，再进行试验，108X2=216,216中1不是已知数字，108X3=324,还剩5,6,7三个数字，而108X7=756，于是问题得到解决.

解：

因为540=22X33X5，所以2,3,4,5,6,7这六个数组成的两位数与540的最大公约数只可能为22X33=108，经试验得到108X3=324,108X7=756,所以324,756即为所求.

例5在800米的环岛上，每隔50米插一面彩旗，后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有4根彩旗没动，问现在的彩旗间隔多少米？

分析：

800米环岛每隔50米插一面彩旗，共插800-50=16根，重新插完后，有4根没动，而这4根中的任意相邻的两根间的距离为50X（16十4）=200米，重新插完后每相邻的两根彩旗间的距离与50的最小公倍数是200,并且这个距离一定小于50米,把符合这样条件的数求出来即为所求.

解：

因为800—50=16（根），重新插完后，在这4根不动的彩旗中，任意相邻的两根间的距离为：

50X（16-4）=200米，重新插后，任意相邻两根的距离为a米，则[a,50]=200,

且av50.又因为200=23X52,50=2X52,根据最小公倍数的定义，a=23或23X5，即现在的

彩旗间隔是8米或40米.

最大公约数与最小公倍数2009-03-1112:

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最大公约数与最小公倍数

一、引例

甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去

一次。

如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老

师家见面的时间是几月几日？

二、基础知识

如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

约数和倍数都表示一个数

与另一个数的关系，不能单独存在。

如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能

孤立地说16是倍数，2是约数。

”倍”与”倍数”是不同的两个概念，”倍”是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。

’

倍数”只是在数的整除的范围内，相对于”约数'而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数。

叫做这几个数的最大