圆的切线的证明方法.docx

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圆的切线的证明方法

的切线的证明方法

天津四中杨建成

平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位巻关系中最重要的是宜线和圆相切。

那么怎样证明直线和圆相切呢？

证明直线是圆的切线大体上有三种方法：

⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中⑴是切线的立义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系：

⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断：

⑶是根据切线的判定定理进行判断。

⑵和⑶都是由⑴推演出来的。

在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：

①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明宜线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直“：

②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

例1.如图，已知AB是OO的直径，BC是＜50的切线，切点为B,OC平行于弦AD,

第I题图

求证CD是OO的切线。

［分析］:

因直线CD与OO有公共点D,故应采用“连半径，证垂直“的方法。

［证明］:

连结OD

V0C/7AD・•.ZCOB=ZDAO,ZCOD=ZADO

VOA=OD・•.ZDAO=ZADO

・•.ZCOB=ZCOD

在厶DOC和厶BOC中

VOD=OB,ZCOD=ZCOB

OC=OC

AADOC^ABOC

.\ZCDO=ZCBO

VAB是OO的直径，BC是切线

•••ZCBO=90°

•••ZCDO=90°

VOD是0O的半径

/.CD是0O的切线

例2•如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E,求证：

CD是小圆的切线。

［分析］:

因直线CD与0O无公共点，故应采用“作垂直，证半径"的方法。

［证明］:

连结OE,过O点作

OF丄CD于F

TAB与小圆相切于点E

AOE丄AB•••AE=BE,CF=DF

VAB=CDAAE=CF

在RtAAEO和RtACFO中”“十|4n

VOA=OC,AE=CF第2题图

ARtAAEO^RtACFO

AOE=OF

/.CD是小圆的切线

例3•如图，已知在AABC中，CD是AB上的髙，且CD=1/2AB,E、F分别是AC、

BC的中点，求证：

以EF为直径的00与AB相切。

［分析］:

因直线AB与0O无公共点，故应采用“作垂直，证半径“的方法。

［证明］:

过0点作0H丄AB于H

••EF分别为AC.BC的中点

•••EF〃AB,且EF=1/2AB

:

.G点为CD的中点，OH=GD=1/2CD

VCD=1/2ABEF=CD

AOH=1/2EF

/.AB为0O的切线

例4.如图，已知AB是OO的直径，线段AF与OO相切于点A,D是AF的中点，BF交0O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：

CD与OO相切。

［分析］:

因直线CD与00有公共点E,故应采用“连半径，证垂直“的方法。

［证法一］:

如图牛1,连结OE、AE

TAB是0O的直径

AAE丄BF

•••D是AF的中点

:

.DA=DF=DEAZDEA=ZDAE

VOA=OEZOAE=ZOEA

VAB是OO的直径，AF是0O的切线

•••ZDAE+ZOAE=90°

•••ZDEA+ZOEA=90°

TOE是OO的半径

•••CD与。

O相切于E

［证法二］:

如图牛2,连结OE、AE、OD

VAB是0O的直径

AAE丄BF

TD是AF的中点

ADA=DE=I/2AF

在厶OED和厶OAD中

VDE=DA.OD=OD,OE=OA

•••在△OED仝AOAD

.\ZOED=ZOAD

VAB是0O的直径，AF是0O的切线•••ZOAD=90。

•••ZOED=90°

TOE是OO的半径

•••CD与。

O相切于E

［点评］:

证法一是利用了等式的性质证明ZOED=ZOAD=90°,证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明ZOED=ZOAD=90C

例5•如图，已知直角梯形ABCD中ZA二ZB=90。

，AD〃BC,E为AB上一点，ED平分ZADC.CE平分ZBCD.试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

并证明。

⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？

并证明。

［分析］:

⑴取AB的中点E,过E点作EF丄CD于F,如果EF=AE,那么以AB为直径的圆与边CD相切，这就是“作垂直，证半径“。

⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上，作梯形的中位线EG,即要证明EG为圆的半径又要证明EG丄AB。

［证明］:

（1）以AB为直径的圆与边CD相切。

如图5-1,过E点作EF丄CD于F

VDE平分ZADC,DA丄AE,EF±CD.\EA=EF

同理可证.EF二EB

.\EA=EB=EF=1/2AB

VEF丄CD,且FE=1/2AB

・••以AB为直径的圆与边CD相切

⑵以CD为直径的圆与边AB相切

如图5-2,过E点作EF丄CD于F,过E点作EG〃BC交CD于G点。

在厶EAD与厶EFD中

•/ZA=ZEFD=90°

ZADE=ZFDE,DE=DE

（下转6版）

如何证明圆的切线垂直于圆的半径

用反证法。

设圆O的一条半径是OA,直线1与圆切于A。

假设直线1不垂直于OA,

过O作OM垂直1于M

因为直线1不垂直于OA,所以三角形OMA是直角三角形，

所以OA>OM（直角三角形斜边大于直角边）

即圆心到直线1的距离小于圆半径，即直线1于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于1即

圆的切线垂直于圆的半径

圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径“及其推论“经过圆心（或切点）且

垂直于切线的直线必经过切点（或圆心）”.

于是，切线具有如下性质：

（1）切线与圆只有一个公共点；

（2）切线与圆心的距离等于圆的半径：

（3）切线垂直于过切点的半径；

（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

从上述5条性质知逍：

性质⑴是切线的左义：

性质

（2）是切线判左方法的逆左理：

性质（3）、

（4）、（5）是切线性质左理及苴推论，苴中性质

（2）、（3）应用较多.

在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线.

应用切线的性质能解决几何讣算与证明中的有关问题.

⑴利用切线性质计算线段的长度

两个圆相交于A,B两点，半径分别为3和4,若两个圆在A点的切线互相垂宜，求两个圆圆心的距离。

两个圆在A点的切线互相垂直，也就是过A点的两个半径互相垂直，所以两个半径，圆心距

组成的是直角三角形

所以圆心距是根号下（3人2+4人2）=5

八人L卜允2009-10-1710：

47因为过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条，切线垂

直与半径，而两切线垂直，所以切线就是另一圆的半径

」人.讣心2009-10-1710:

42半径和切线在切点处垂直,而两条切线也在切点处垂直,过

一点有且只有一条直线和已知直线垂宜，所以两条半径是互相垂直的，根据勾股泄理得5

（两个圆在A点的切线互相垂直，即过A点的两个半径互相垂直）

圆01和圆02相交于A,B两点，过点A作圆01的切线交圆02于点E,连接EB并延长交圆

01于点

15

［标签：

02,切线］

圆01和圆02相交于A.B两点，过点A作圆01的切线交圆02于点E,连接EB并延长交圆

01于点C,直线CA交圆02于点D

1,当D与A不重合时，EA=ED是否成立？

2,当D与A重合时，

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2010-02-2209:

52

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解：

连结AB,过B做AB丄FG交001于F,交002于G

连结AG

连结AF并延长交002于H

连结EH

VAB丄FG,・・・ZABF=90为直角.'.AF为直径，同理AG为直径

AE为OO1切线

.-.01A丄AE

・・.AH丄AE

AZHAE=90

AHE为直径

又ZHAD=ZCAF

ZCAF=ZCBA=ZEBG

ZEBG=ZEAG

又O2A=O2E

.\ZHAD=ZHEA

・・.E平分弧AD

AEH垂直平分AD

・・.AE=DE

有AB两个圆，A圆半径为4厘米，B圆半径为6厘米，如果B圆不动，A沿着B圆圆周滚动，当A到原点时，A的自身转动多少圈

分析：

A泄过的总长度应该是B的周长

B的周长=2x67t=127rcm

A的周长=2x4兀=87tcm

所以A要滚动12n/8n=1.5圈

已知圆o1与圆o2相交于A,B两点，圆01的切线AC交圆o2于点c,直线EF过点B交圆o于点E,交圆02于F

1•若直线EF交弦AC于点D时（如图10）求证AE平行于CF2若直线EF交弦AC于点D时（如

图2）,求证DA*DF=DC*DE

2.3若直线EF交弦AC的反向延长线于点D（图3自作），判断

（1）,

（2）的结论是否成立？

并证明你的结论

1、连接AB

1、连接AB

即ZAEB=ZBAC（弦切角的左义）

ZCFB=ZBAC（同弧所对圆周角相等）

AZAEB=ZCFB

・・.AE〃CF

2、连接AB.CF

ZAEB=ZBAC（弦切角的立义）

ZCFD=ZBAC（同弧所对圆周角相等）

AZAEB=ZCFD（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）

即ZAED=ZCFD

XVZADE=ZCDF

•••△ADEsACDF

・・.AD/CD=DE/DF

.-.DA*DF=DC*DE

3、

成立

连接AB,AE,CF

•・•ZDAE=ZABE（弦切角的左义）

•・・ZACF=ZABE（（0O2）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角

.-.ZDAE=ZACF

・・.AE〃CF

・・.△ADE-ACDF（平行线分三角形相似）

・・.AD/CD=DE/DF

.-.DA*DF=DC*DE

如何证明圆的切线垂直于圆的半径?

用反证法。

设圆0的一条半径是OA,直线1与圆切于A。

假设直线1不垂直于OA,

过O作OM垂直1于M

因为直线1不垂直于OA,所以三角形OMA是直角三角形，

所以OA>OM（直角三角形斜边大于直角边）

即圆心到直线1的距离小于圆半径，即直线1于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于1

即圆的切线垂直于圆的半径

9、AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，PC与PB为半圆O的切线，若AB=2a,

问PA=?

10、已知C是以AB为直径的半圆O上一点,

CH丄AB,直线AC与过B点的切线相交于点D,

E为CH中点，连AE并延长交BD于点

F,直线AB延长线于点Ga求证：

CG

是00的切线。

分析或解答：

9、先做图，连接OC这样OB=OC因为C在三等分点处，故角BOC为120度。

而角POB为60度，根据三角涵数，得

PB=根号3a三角形PAB为直角三角形，由勾股定理可得PA为根号7a.

10、VAB是直径，•••ZACB=

90°.\ZBCF=ZCBF=90c

ZCBA=ZCAB=ZACO.\ZOCF=90°,•••CG是（DO的切线

或：

•••CHIAB,DB丄AB

IE是CH中点

・・.F是BD中点

VDCB=90°

ACF=BF=FD

AFCB=FBC

MMX卜充2009-06-0602:

35如果不明白TE是CH中点:

.FBD中点

可以这么想CE/CF=AE/AF,EH/BF=AE/AF

CE/CF二EH/BF,VCE=EH,Z.CF=BF