高中数学专题空间中的垂直关系.docx
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高中数学专题空间中的垂直关系
高中数学专题-空间中的垂直关系
认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定/能运用公理、定理和已获得的结论
证明一些空间圆形垂直关系的简单命题
1．两条直线互相垂直
定义：
如果两条直线相交于一点或相交于一点，并且交角为，
则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直
（1）直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的直线
都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．
（2）判定直线与平面垂直的方法．
①定义法
②利用直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条.
直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
③推论：
如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线
也垂直于这个平面．
（3）直线与平面垂直的性质
①垂直于同一个平面的两条直线．
②直线垂直平面，则垂直平面内的任意一条直线．
③垂直同一直线的两平面平行．
③垂直同一直线的两平面平行．
3．直线和平面所成的角
（1）直线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线与平面所成的角
（2）范围：
[0，
]
4．二面角的概念
（1）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
（2）二面角的平面角：
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于
棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
（3）范围：
[0，π]
5．两个平面垂直
（1）平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直．
（2）性质定理：
若两个平面互相垂直，那么垂直于它们的交线的直线垂
直于另一个平面．
试用向量的方法证明直线与平面垂直的判定定理．
已知a∩b＝O，a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b
求证：
l⊥α.
证明：
取直线a、b的方向向量分别为a，b，l的
方向向量为n，
在平面α内任取一条直线m，其方向向量为m由
平面向量基本定理m＝xa＋yb
n·m＝xa·n＋yb·n＝0，则l⊥m，由直线与平面垂直
的定义可知l⊥α.
1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线
解析：
若直线l⊥α，l∥α，或l⊂α，在α内必有直线m，使m⊥l；若l是平面
的斜线可找出其射影l′，则存在直线m⊥l′，即m⊥l.
答案：
C
2．如右图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β
所成的角分别为
和
.过A、B分别作两平面交线的垂线，
垂足为A′、B′，若AB＝12，则A′B′等于（ ）
A．4B．6C．8D．9
解析：
连结A′B可知∠ABA′＝
，则A′B＝ABcos
＝6
，连结AB′可知
∠BAB′＝
，则BB′＝ABsin
＝6
，在Rt△BB′A′中，A′B′＝
＝6.
答案：
B
3．如右图所示，正方体AC1的棱长为1，过点A作
平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，
错误的命题是（ ）
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
答案：
D
4．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，
则点P到l的距离为________．
解析：
如图，∵PO⊂平面PAB，∴l⊥PO.
∴PO就是P到直线l的距离．
∵α⊥β，∴PAOB为矩形，PO＝
＝
.
答案：
5．平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点
到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：
①1；②2；
③3；④4.
以上结论正确的为________．（写出所有正确结论的编号）
答案：
①③
考向一 直线与平面垂直的判定与性质
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面
正方形的中心，M为棱DD1的中点，试证：
B1O⊥平面MAC.
证明：
证法一：
如图
（1），连结AB1、CB1，由AB1＝CB1，
又O为AC的中点，∴B1O⊥AC.
连结OM、MB1、B1D1，可证MB
＝OM2＋OB
，
∴B1O⊥OM.
根据直线与平面垂直的判定定理知：
B1O⊥平面MAC.
证法二：
如图
（2）建立直角坐标系D—xyz，设DD1＝1则M、C、B1、O的坐标分别为
（0,0，
）、（0,1,0）、（1,1,1）、（
，
，0）．∴
＝（0,1，－
），
＝（－
，－
，－1），
·
＝－
＋
＝0，因此
⊥
.同理可证：
⊥
，∴B1O⊥平面MAC.
反思感悟：
善于总结，养成习惯
证线面垂直的方法：
（1）利用线面垂直定义：
证一直线垂直于平面内任意一直线，则这条直线垂直于该平面；
（2）用线面垂直的判定定理：
证一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面
垂直；（3）用线面垂直的性质：
两平行线之一垂直于这个平面，则另一条也必垂直于这
个平面；（4）用面面垂直的性质定理：
两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂
直于另一平面；（5）用面面平行的性质：
一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另
一平面．
迁移发散
1．在四面体A－BCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，试证：
AD⊥BC.
证明：
证法一：
如右图，过A点作AO⊥平面BCD，
垂足为O，连结BO、CO、DO.
则由AB⊥CD，AO⊥CD，AB∩AO＝A，
知：
CD⊥平面ABO，
∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，则O为△BCD的垂心，∴DO⊥BC.
又AO⊥BC，AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD，∴AD⊥BC.
证法二：
设
＝a，
＝b，
＝c
根据已知条件
①－②得a·（b－c）＝0，即AD⊥BC.
考向二 平面与平面垂直的判定与性质
【例2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥
平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝
2AD＝8，AB＝2DC＝4
（1）设M是PC上的一点，
求证：
平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P－ABCD的体积．
（1）证明：
在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝4
，
∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面
ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，
∴BD⊥面PAD.
又BD⊂面BDM，
∴面MBD⊥面PAD.
（2）解：
过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD
∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P－ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2
.
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为
＝
，此即为梯形的高．
∴S四边形ABCD＝
×
＝24.∴VP－ABCD＝
×24×2
＝16
.
反思感悟：
善于总结，养成习惯
当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线．把面面垂直转化为
线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等．
迁移发散
2．在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
（1）若D是BC的中点，求证：
AD⊥CC1；
（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证，截面MBC1
⊥侧面BB1C1C.
证明：
（1）∴AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C＝BC，
∴AD⊥侧面BB1C1C.∵CC1⊂面BB1C1C，∴AD⊥CC1.
（2）延长B1A1与BM交于N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.
∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1.
∴C1N⊥C1B1.∵截面NB1C1⊥侧面BB1C1C，
面NB1C1∩面BB1C1C＝C1B1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C.∵C1N⊂面C1NB，
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C，即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
考向三 线面角的求法
【例3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯
形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD
＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：
PB⊥DM；
（2）求BD与平面ADMN所成的角．
（1）证明：
∵N是PB的中点，PA＝AB，
∴AN⊥PB.∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥PB.
又∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.
∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.
（2）解：
连接DN，∵PB⊥平面ADMN，∴∠BDN是BD与平面
ADMN所成的角，在Rt△BDN中，
sin∠BDN＝
＝
＝
.
∴∠BDN＝30°，
即BD与平面ADMN所成的角为30°.
反思感悟：
善于总结，养成习惯
求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角，必要时，可利用平
行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影．
迁移发散
3．如图所示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，
∠SBA＝45°.∠SBC＝60°，M为AB的中点．求：
（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成的角的正切值．
解：
（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，SB∩SA＝S，∴SC⊥平面SAB，∴BC在平面SAB上的
射影为SB.
∴∠SBC为BC与平面SAB所成的角．
又∠SBC＝60°，故BC与平面SAB所成的角为60°.
（2）连接MC，在Rt△ASB中，∠SBA＝45°，
∴△ASB为等腰直角三角形，∴SM⊥AB，
由
（1）知AB⊥SC，AB∩SM＝M，
∴AB⊥平面SMC.
∵AB⊂平面ABC.∴平面SMC⊥平面ABC.
过点S作SO⊥MC于点O，∴SO⊥平面ABC.
∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角．
由
（1）知SC⊥平面SAB，又SM⊂平面SAB，∴SC⊥SM，
∴△SMC为直角三角形．
设SB＝a，则SM＝
a，SC＝SBtan60°＝
a，
∴tan∠SCM＝
＝
.即SC与平面ABC所成的角的正切值为
.
考向四 二面角的求法
【例4】如右图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，
AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，
又SA＝AB，SB＝BC.
（1）求证：
BD⊥平面SAC；
（2）求二面角E－BD－C的大小．
（1）证明：
∵DE⊥SC且E为SC的中点，又SB＝BC，
∴BE⊥SC，
根据直线与平面垂直的判定定理知：
SC⊥平面BDE，
∴SC⊥BD，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD，因此BD⊥平面SAC.
（2）解：
由
（1）知∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝
∠ASC，在Rt△SAB中，∠A＝90°，设SA＝AB＝1，则SB＝
.由SA⊥BC，AB⊥BC，
∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥SB，在Rt△SBC中，SB＝BC＝
，∠SBC＝90°，则SC＝2，在Rt△SAC中，
∠A＝90°，
SA＝1，SC＝2，∴∠ASC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.
反思感悟：
善于总结，养成习惯
解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面角，作二
面角的平面角方法主要是根据定义．
迁移发散
4．如图所示，在四面体P－ABC中，已知PA＝BC＝6，
PC＝AB＝10，AC＝8，PB＝2
.F是线段PB上一
点，CF＝
，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（1）证明：
BP⊥平面CEF；
（2）求二面角B－CE－F的正切值．
（1）证明：
∵PA2＋AC2＝PC2，PA2＋AB2＝PB2，PC2＋CB2＝PB2，AC2＋CB2＝AB2.
∴∠PAC＝∠PAB＝∠PCB＝∠ACB＝90°，
又
＝
，∴△PCB∽△PFC.则∠PFC＝90°，又EF⊥PB，因此PB⊥平面CEF.
（2）解：
由
（1）PA⊥平面ABC，则PA⊥EC，又PB⊥平面CEF，∴CE⊥PB
则CE⊥平面PAB，因此CE⊥EF，CE⊥EB，则∠FEB为二面角B－CE－F的平面角，
在△ABP中，tan∠FEB＝tan∠APB＝
＝
，即二面角B—CE—F的正切值为
.
1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理
和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．利用向
量的内积证明线线垂直是非常有效的．
2．
（1）对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时
要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的．
（2）二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二
面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也
可首先确定二面角一个面的垂线，利用线面垂直的性质，作出二面角的平面
角，对于这种方法应引起足够的重视．
（3）对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的
垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最
重要的作图理论依据.
§7.5直线、平面垂直的判定及其性质
（时间：
50分钟 满分：
75分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．（·遵义模拟）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两
两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是
（ ）
A．O－ABC是正三棱锥
B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45°
D．二面角D－OB－A为45°
解析：
在正方体中作出正四面体ABCD，可观察出B为错误结论．
答案：
B
2．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，PA⊂α，PB⊂β且PA⊥l，则（ ）
A．∠APB的最大值等于二面角的平面角
B．∠APB的最小值等于二面角的平面角
C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值
D．∠APB就是二面角的平面角
解析：
如右图，在平面β内作PC⊥l，则∠APC为二面角的平面
角，cos∠APB＝cos∠BPC·cos∠APC≤cos∠APC，即∠APB≥
∠APC，故选B.
答案：
B
3．二面角α－AB－β的平面角是锐角，C∈α，CD⊥β，垂足为D，E∈AB，且∠CEB是锐
角，则∠CEB与∠DEB的大小关系为（ ）
A．∠CEB＞∠DEB
B．∠CEB＜∠DEB
C．∠CEB≤∠DEB
D．∠CEB与∠DEB的大小关系不确定
解析：
如右图：
作DF⊥AB垂足为F，连结CF则∠CFD为二面角
的平面角，可知∠CED，∠DEB均为锐角，cos∠CEB＝cos∠DEB·
cos∠CED＜cos∠DEB，即∠CEB＞∠DEB.
答案：
A
4．如图所示，b、c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且
a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上
（C、D、E均异于A、B），则△ECD是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析：
过B点作BF垂直于DE交其延长线于F.连接CF
则CF⊥DF
∠DEC＝∠DFC＋∠ECF＞90°，
则△ECD是钝角三角形．
答案：
C
5．（·成都模拟）如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A．直线AB上B．直线BC上
C．直线AC上D．△ABC内部
解析：
由BC1⊥AC，
又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，
因此平面ABC⊥平面ABC1，
因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
答案：
A
二、填空题（每小题4分，共16分）
6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为
结论，写出你认为正确的一个命题____________．
答案：
可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
7．一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成的
角的和的范围是________．
解析：
作AC⊥l垂足为C，作BD⊥l垂足为D，连结BC、AD，
则∠BAD和∠ABC分别为直线AB和平面α和β所成角．
由cos∠ABD＝cos∠ABC·cos∠DBC≤cos∠ABC，
即∠ABD≥∠ABC，∠ABC＋∠BAD≤∠ABD＋∠BAD＝90°.
答案：
（0°，90°]
8．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影
（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的__________；
（2）若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的__________；
（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的__________；
（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△
ABC的__________；
（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．
答案：
（1）外心
（2）外心 （3）内心 （4）内心 （5）垂心
9．若Rt△ABC在给定平面α上的射影有如下的判断：
①可能是一条线段；②可能是直角三
角形；③可能是钝角三角形；④可能是锐角三角形；⑤可能是一条直线；⑥可能是一条
射线．其中正确判断的序号是________（把你认为正确判断的序号都填上）．
答案：
①②③④
三、解答题（共3小题，共34分）
10．（本小题满分10分）如图所示，直二面角D－AB－E中，四边形
ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥
平面ACE.
（1）求证AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B－AC－E的正弦值；
（3）求点D到平面ACE的距离．
（1）证明：
在直二面角D－AB－E中，由ABCD是正方形，则CB⊥平面AEB，∴AE⊥BC，
又BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，∴AE⊥平面BCE.
（2）解：
由
（1）知平面AEC⊥平面BCE，又BF⊥平面ACE，则BF⊥
EC，连结BD与AC交于O点，连结OF（如图），由三垂线定理的
逆定理知FO⊥AC，又AC⊥BD，则∠BOF为二面角B－AC－E的
平面角，在Rt△AEB中，BE＝
，在Rt△EBC中，BC＝2，
∴BF＝
＝
，在Rt△BFO中，sin∠BOF＝
，则二面角的正弦值为
.
（3）解：
由DO＝BO知D点到平面ACE的距离为BF＝
.
11．（本小题满分12分）如右图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，
（1）证明AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VBD所成的二面角的正切值．
（1）证明：
∵平面VAD⊥底面ABCD，
又AB⊥AD，则AB⊥平面VAD.
（2）解：
取VD中点E，连结AE、BE，
∵△VAD是正三角形，则AE⊥VD，由三垂线定理知BE⊥VD.
∴∠AEB为面VAD与面VBD所成二面角的平面角．
设AB＝1，在Rt△AED中，AE＝ADsin60°＝
，
∴tan∠AEB＝
＝
.
12．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边
三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.
（1）证明：
AB⊥PC；
（2）若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．
（1）证明：
由PA＝PB，∠PAC＝∠PBC＝90°
且PC为△PAC与△PBC的公共边
则△PAC≌PBC，
因此AC＝BC，
取AB中点D，连接PD，CD
则PD⊥AB，CD⊥AB
因此AB⊥平面PDC，则AB⊥PC.
（2）解：
作BE⊥PC垂足为E，连接AE
由△PAC≌△PBC知AE⊥PC
则∠BEA为二面角的平面角，即∠BEA＝90°
可证△PBE≌△ABE，则∠BPC＝45°
△PBC为等腰直角三角形，则E为PC中点．
VP－ABC＝VP－ABE＋VC－ABE＝
S△ABE·PC＝
.
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