第六章 学案28 电势能与电势差.docx
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第六章学案28电势能与电势差
学案28电势能与电势差
一、概念规律题组
图1
1．如图1所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定（ ）
A．Ea＝Eb＝EcB．Ea>Eb>Ec
C．φa>φb>φcD．φa＝φb＝φc
2．一负电荷仅受电场力的作用，从电场中的A点运动到B点，在此过程中该电荷做初速度为零的匀加速直线运动，则A、B两点电场强度EA、EB及该电荷在A、B两点的电势能εA、εB之间的关系为（ ）
A．EA＝EBB．EAεB
图2
3．如图2所示，a、b是某电场中电场线上的两点，将一点电荷q从a移到b，电场力做功为W，且a、b间的距离为d，以下说法中正确的是（ ）
A．a、b间的电势差为W/q
B．a处的电场强度为E＝W/qd
C．b处的电场强度为E＝W/qd
D．a点的电势为W/q
4．图3中
图3
虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26eV和5eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8eV，它的动能应为（ ）
A．8eVB．13eVC．20eVD．34eV
二、思想方法题组
5．如图4所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度飞出a、b两个带电粒子．运动轨迹如图中虚线所示．则（ ）
图4
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a的速度将减小，b的速度将增加
C．a的加速度将减小，b的加速度将增加
D．两个粒子的电势能一个增加一个减小
6．两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为L的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强的方向平行，其位置如图5所示，若此杆绕过O点且垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动的过程中电场力做的功为（ ）
图5
A．0B．2qEL
C．πqELD．qEL
一、电势高低及电势能大小的比较方法
1．比较电势高低的几种方法
（1）沿电场线方向，电势越来越低，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面．
（2）判断出UAB的正负，再由UAB＝φA－φB，比较φA、φB的大小，若UAB＞0，则φA＞φB，若UAB＜0，则φA＜φB.
（3）取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低．
2．电势能大小的比较方法
（1）场源电荷判断法
①离场源正电荷越近，试探正电荷的电势能越大，试探负电荷的电势能越小．
②离场源负电荷越近，试探正电荷的电势能越小，试探负电荷的电势能越大．
（2）电场线判断法
①正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大．
②负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
（3）做功判断法
电场力做正功，电荷（无论是正电荷还是负电荷）从电势能较大的地方移向电势能较小的地方．反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方．
【例1】
图6
（2011·山东·21）如图6所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a和c关于MN对称、b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上．以下判断正确的是（ ）
A．b点场强大于d点场强
B．b点场强小于d点场强
C．a、b两点间的电势差等于b、c两点间的电势差
D．试探电荷＋q在a点的电势能小于在c点的电势能
[规范思维]
二、电场力做功的特点及电场力做功的计算
1．电场力做功的特点
电场力做的功和路径无关，只和初、末位置的电势差有关．
2．电场力做功的计算方法
（1）由公式W＝Flcosθ计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝qElE，式中lE为电荷初末位置在电场方向上的距离．
（2）由电势差的定义式计算，WAB＝qUAB，对任何电场都适用．当UAB＞0，q＞0或UAB＜0，q＜0时，W＞0；否则W＜0.
（3）由电场力做功与电势能变化的关系计算，WAB＝EPA－EPB.
（4）由动能定理计算：
W电场力＋W其他力＝ΔEk.
3．电场中的功能关系
（1）若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．
（2）若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
（3）除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化．
图7
【例2】如图7所示的匀强电场E的区域内，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成一正方体空间，电场方向与面ABCD垂直，下列说法正确的是（ ）
A．A、D两点间电势差UAD与A、A′两点间电势差UAA′相等
B．带正电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做正功
C．带负电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电势能减小
D．同一带电粒子从A点沿对角线移到C′点与从A点沿路径A→B→B′移动到B′电场力做功相同
图8
【例3】如图8所示，在O点放置一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q.小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆（图中实线表示）相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h.若小球通过B点的速度为v，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过C点的速度大小是
B．小球通过C点的速度大小是
C．小球由A到C电场力做功是
mv2－mgh
D．小球由A到C机械能的损失是mg（h－
）－
mv2
[规范思维]
三、电场线、等势线与运动轨迹的综合分析
1．带电粒子在电场中的运动轨迹是由带电粒子受到的合外力的情况以及初速度的情况共同决定的．运动轨迹上各点的切线方向表示粒子在该点的速度方向．电场线只能够描述电场的方向和定性地描述电场的强弱，它决定了带电粒子在电场中各点所受电场力的方向和加速度的方向．
2．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线．已知等势线也可以画出电场线．
3．在利用电场线、等势面和带电粒子的运动轨迹解决带电粒子的运动问题时，基本方法是：
（1）根据带电粒子的运动轨迹确定带电粒子受到的电场力的方向，带电粒子所受的合力（往往只受电场力）指向运动轨迹曲线的凹侧，再结合电场线确定带电粒子的带电种类或电场线的方向；
（2）根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做正功还是做负功，电势能的变化情况或是等势面的电势高低．
图9
【例4】（2010·浙江绍兴月考）如图9所示，xOy平面内有一匀强电场，场强为E，方向未知，电场线跟x轴的负方向夹角为θ，电子在坐标平面xOy内，从原点O以大小为v0、方向沿x正方向的初速度射入电场，最后打在y轴上的M点．电子的质量为m，电荷量为e，重力不计．则（ ）
A．O点电势高于M点电势
B．运动过程中电子在M点电势能最多
C．运动过程中，电子的电势能先减少后增加
D．电场对电子先做负功，后做正功
[规范思维]
图10
[针对训练] （2011·江苏·8）一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图10所示，图中左侧前三个等势面平行，不计粒子的重力．下列说法正确的有（ ）
A．粒子带负电荷
B．粒子的加速度先不变，后变小
C．粒子的速度不断增大
D．粒子的电势能先减小，后增大
【基础演练】
1.
图11
（2010·上海单科·9）三个点电荷电场的电场线分布如图11所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，则（ ）
A．Ea＞Eb，φa＞φb
B．Ea＜Eb，φa＜φb
C．Ea＞Eb，φa＜φb
D．Ea＜Eb，φa＞φb
2．（2010·全国Ⅰ·16）关于静电场，下列结论普遍成立的是（ ）
A．电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低
B．电场中任意两点之间的电势差只与这两点的场强有关
C．在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向
D．将正点电荷从场强为零的一点移动到场强为零的另一点，电场力做功为零
3．将一正电荷从无限远处移入电场中M点，静电力做功W＝6×10－9J，若将一个等量的负电荷从电场中N点移向无限远处，静电力做功W2＝7×10－9J，则M、N两点的电势φM、φN，有如下关系（ ）
A．φM＜φN＜0B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0D．φM＞φN＞0
图12
4．如图12中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ）
A．带电粒子所带电荷的符号
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大
图13
5．如图13所示，在真空中A、B两点分别放置等量的异种点电荷，在A、B两点间取一矩形路径abcd，该矩形路径关于A、B两点连线及连线的中垂线均为轴对称．现将一电子沿该矩形路径移动一周，下列判断正确的是（ ）
A．a点和b点的电场强度相同
B．b点和c点的电势相等
C．电子从c点到d点，电势能先减小后增大
D．电子从d点到a点，电场力先做正功后做负功
图14
6．（2010·江苏单科·5）空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图14所示．下列说法中正确的是（ ）
A．O点的电势最低
B．x2点的电势最高
C．x1和－x1两点的电势相等
D．x1和x3两点的电势相等
图15
7．（2010·广州二测）a、b、c、d四个带电液滴在如图15所示的匀强电场中，分别水平向左、水平向右、竖直向上、竖直向下做匀速直线运动（不考虑带电液滴间的相互作用），可知（ ）
A．a、b为同种电荷，c、d为异种电荷
B．a、b的电势能、机械能均不变
C．c的电势能减少，机械能增加
D．d的电势能减少，机械能减少
8．（2011·海南·1）关于静电场，下列说法正确的是（ ）
A．电势等于零的物体一定不带电
B．电场强度为零的点，电势一定为零
C．同一电场线上的各点，电势一定相等
D．负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加
【能力提升】
图16
9．如图16所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，A、B、C三点的电势分别为1V、2V、5V，则下列说法中正确的是（ ）
A．D、E、F三点的电势分别为7V、6V、3V
B．电荷量为1.6×10－19C的正点电荷在D点的电势能为1.12×10－18J
C．将电荷量为1.6×10－19C的正点电荷从E点移到F点，电场力做的功为3.2×10－19J
D．将电荷量为1.6×10－19C的负点电荷从F点移到A点，电荷的电势能减少了3.2×10－19J
图17
10．（2009·山东理综·20）如图17所示，在x轴上关于原点O对称的两点固定放置等量异种点电荷＋Q和－Q，x轴上的P点位于－Q的右侧．下列判断正确的是（ ）
A．在x轴上还有一点与P点电场强度相同
B．在x轴上还有两点与P点电场强度相同
C．若将一试探电荷＋q从P点移至O点，电势能增大
D．若将一试探电荷＋q从P点移到O点，电势能减小
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
图18
11．如图18所示，BAC是光滑绝缘的“L”字形平面，倒置于水平匀强电场中BA⊥AC，D为AC的中点，BC与水平面平行，且∠B＝60°，AB＝l，有一带电荷量＋q的滑块，质量为m，先由A端沿AB面无初速下滑，到达B端的速率为v0，再由A端沿AC面无初速下滑到C端．试求：
（1）滑块到达D点的速度大小vD；
（2）假设滑块对C端没有压力，滑块的加速度多大．
图19
12．如图19所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量均为Q，其中A带正电荷，B带负电荷，D、C是它们连线的垂直平分线，A、B、C三点构成一边长为d的等边三角形，另有一个带电小球E，质量为m、电荷量为＋q（可视为点电荷），被长为L的绝缘轻质细线悬挂于O点，O点在C点的正上方．现在把小球E拉起到M点，使细线水平绷直且与A、B、C处于同一竖直面内，并由静止开始释放，小球E向下运动到最低点C时，速度为v.已知静电力常量为k.若取D点的电势为零．试求：
（1）在A、B所形成的电场中，M点的电势φM；
（2）绝缘细线在C点所受到的拉力FT.
学案28 电势能与电势差
【课前双基回扣】
1．C [试题只给出了一条电场线，因此无法判断电场的强度分布情况，考虑问题的多种可能性，如点电荷电场中，则选项A错误；若为匀强电场，则选项B错误．由于顺着电场线，电势逐渐降低，故选项C正确，D错误．]
2．AD [负电荷在电场中只受电场力作用而做匀加速直线运动，可知电场是匀强电场，故A对．
由于电场力对负电荷做正功，动能增加，则电势能减少，故D对．]
3．A [由W＝qU，得U＝W/q，两点间的电势差等于把试探电荷在两点间移动时电场力做功与试探电荷电荷量的比值，因此a、b间的电势差为U＝W/q，故A正确；由于没有明确是否是匀强电场，因此W＝qEd不能使用，也就是说E＝W/qd在这里不能使用，故B、C均不对；在题中未给出零电势点，因此不能确定其中某点的电势的值，这里如果取b点的电势为零，a点的电势才是W/q.]
4．C [等势面3的电势为零，则该电荷在此位置的电势能也为零．由于两相邻等势面的电势差相等，又知Eka>Ekb，则a点的电势能可表示为－2qU（U为相邻两等势面的电势差），b点的电势能可表示为qU.
由于总的能量守恒，则有：
Eka＋（－2qU）＝Ekb＋qU
即26－2qU＝5＋qU，解得qU＝7eV
则总能量为7eV＋5eV＝12eV
当电势能为－8eV时，动能Ek＝12eV－（－8）eV＝20eV.]
5．C [两粒子均仅在电场力作用下运动，电场力做正功，电势能减少，速度增加．根据电场线疏密表示场强的强弱可知a受的电场力将减小，加速度也将减小，类似b的电场力增大，加速度将增加．C选项正确．]
6．B [转动过程中电场力对两电荷均做正功，所以
W＝EqL＋EqL＝2EqL.]
思维提升
1．电场力做正功，电荷的电势能减少；电场力做负功，电荷的电势能增加．电场力做的功只能决定电势能的变化量，而不能决定电荷电势能的数值．
2．电势、电势能的大小与零电势点的选取有关；而电势差、电势能的变化与零电势点的选取无关．
3．电势差的正负反映了两点电势的高低；电势的正负反映了该点与零电势点相比电势的高低．
4．注意区分等差等势面与等距等势面．在非匀强电场中，场强大处等差等势面也密．
【核心考点突破】
例1BC [在图中画出等量异种点电荷产生的电场的电场线分布情况，由电场线的疏密表示场强大小可知Ed>Eb.故选项A错误，选项B正确．a、c两点关于MN对称，故Uab＝Ubc，选项C正确．沿电场线方向电势降低，所以φa>φc，由Ep＝qφ可知Epa>Epc，故选项D错误．]
[规范思维] 电势高低由电场线方向判断；电场强弱由电场线疏密判断；电势能的大小关系由电场力做功的正、负判断．
例2BD [由图可知ABCD为等势面，φA＝φD，而φA>φA′，故A项错误；由φA＝φD>φD′知，带正电的粒子从A移至D′电场力做正功，B项正确；而带负电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做负功，电势能增加，选项C错误；电场力做功与路径无关，D项正确．]
例3BD [小球从A到B运动的过程中，设电场力做功为WF，则由动能定理可得
从A到B：
mg（h－R·sin30°）＋WF＝
mv2－0
从A到C：
mgh＋WF＝
mv
联立以上两式可得：
vC＝
，A错，B对；小球由A到C电场力做功
mv
－mgh，C错；小球由A到C机械能的损失等于除重力以外其他的力（电场力）所做的功，由B到C电场力做功为0，则ΔE＝－WF＝mg（h－
）－
mv2，D正确．]
[规范思维] 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系．
（1）应用动能定理解决问题需研究合外力的功（或总功）．
（2）应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能间的转化．
（3）应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系．
例4D [由电子的运动轨迹知，电子受到的电场力方向斜向上，故电场方向斜向下，M点电势高于O点，A错误，电子在M点电势能最少，B错误，运动过程中，电子先克服电场力做功，后电场力对电子做正功，故C错误，D正确．]
[规范思维] 解此题的基本思路是：
[针对训练]
AB
[电场线如图所示，由于受力总指向运动轨迹的凹侧，故粒子带负电荷，A对；由电场线分布知电场力先不变，后越来越小，B对；电场力一直做负功，粒子速度一直减小，电势能一直增加，C、D错．]
【课时效果检测】
1．C 2.C
3．C [对正电荷φ∞－φM＝
；对负电荷φN－φ∞＝
.即φ∞－φN＝
.而W2＞W1，φ∞＝0，且
和
均大于0，则φN＜φM＜0，C正确．]
4．BCD
5．BD [A、B两等量异种点电荷的电场线、等势面的分布如图所示．
①由图可知，a、b两点场强大小相同，方向不同，A错．②画出等势面可知b、c为等势面上两点．B正确．③利用W＝qU或W＝Fl可知电子从d到a电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，故D正确．]
6．C [由题图象知，O点两侧电场强度方向相反、因电场强度的方向沿x轴，故O点可能电势最低，也可能电势最高，A选项不正确；x1、x2、x3三点在同一电场线上，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，无论O点右侧电场强度沿x轴向右还是向左，x2点电势都不是最高，x1、x3两点的电势也不相等，故B、D不正确；由题图象，电场强度在O点两侧对称，故x1、－x1两点电势相等，C正确．]
7．BC [电场力对a、b不做功，故a、b的电势能和机械能均不变，B对；四个带电液滴所受电场力方向均向上，故均带正电荷，A错；电场力对c做正功，对d做负功，故c的电势能减小，机械能增加，d的电势能增加，机械能减小，C对，D错．]
8．D [零电势点是人为选择的参考点，所以电势等于零的物体可以带电，也可以不带电，故A错；电场强度和电势是两个不同的物理量，电场强度为零的点，电势不一定为零，B错；沿着电场线方向电势不断降低，故C错；负电荷在电场中受到的电场力的方向与电场线方向相反，故负电荷沿电场线方向移动时，电场力做负功，电势能增加，故D对．]
9．AB [由公式U＝Ed知，在匀强电场中，平行等距离的两点间的电势差相等，所以UBA＝UDE，UCB＝UEF，UDC＝UFA，经验证得A选项正确．由ED＝qφD得，ED＝1.6×10－19×7J＝1.12×10－18J，故B正确．由WEF＝qUEF得WEF＝1.6×10－19×3J＝4.8×10－19J，故C错误．又WFA＝qUFA＝－1.6×10－19×2J＝－3.2×10－19J，即电荷的电势能增加3.2×10－19J，D错误．]
10．AC [如下图所示：
EP＝
－
方向向左
EP′＝
－
方向向左，A对，P到－Q的平均电场强度小于－Q到O的平均电场强度，电场力做的正功小于做的负功，O点与P点比较电势能增加．C对，D错．]
11．
（1）
（2）2g
解析
（1）设AB间的电压大小为U，从A→B由动能定理得：
mg
l－qU＝
mv
－0①
从A→D，由动能定理得mghAD＋qUAD＝
mv
－0②
又hAD＝
l，UAD＝
UBA＝
U.③
解①②③各式得：
vD＝
.
（2）滑块在C端受力分析如图，由FN＝0得：
mgcos30°＝qEsin30°④
又由牛顿第二定律得：
qEcos30°＋mgsin30°＝ma⑤
解④⑤得a＝2g.
12．
（1）
（2）k
＋mg＋m
解析
（1）电荷E从M点运动到C点的过程中，电场力做功为qUMC，重力做功为mgL.根据动能定理qUMC＋mgL＝
得M、C两点的电势差为UMC＝
又因为C点与D点为等势点，所以M点电势为
φM＝UMC＋φC＝UMC＋φD＝
.
（2）在C点时A对E的电场力F1与B对E的电场力F2相等，为F1＝F2＝
又因为A、B、C为一等边三角形，所以F1、F2的夹角为120°，故F1、F2的合力为F12＝
，且方向竖直向下．
由牛顿第二定律得FT－k
－mg＝
由牛顿第三定律绝缘细线在C点所受的张力为FT′＝FT＝k
＋mg＋m
.
易错点评
1．电势和电场强度都是电场本身所固有的属性，但二者没有必然联系．电势高处场强不一定大；电势为0处场强也不一定为0.
2．电势能的变化只决定于电场力的功，与其它力是否存在以及是否做功无关．另凡有电场力做功的情境，机械能一定不守恒．
3．应特别注意等量同种电荷和等量异种电荷电场的分布情况．特别是电荷的连线上和连线的中垂线上电场强度和电势的变化规律应熟记．
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