初中数学《新课标》数和代数专题讲座.docx
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初中数学《新课标》数和代数专题讲座
专题讲座
初中数学数与代数
綦春霞（北京师范大学，教授）
史炳星（北京教育学院，副教授，教研员）
王瑞霖（北京师范大学教育学部，博士）
数与代数在这一部分内容主要涉及到6个话题，前三个是和内容有关系的，第一个话题是数与式，第二个话题方程与不等式，第三个话题是函数；另外三个话题，是基于知识之上侧重培养学生的一些方面的能力，一是运算能力，一是符号意识，再一个是模型思想。
话题一数与式
一、重点
关于数与式的主要内容，包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。
这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。
二、内容的变化
（一）降低了对于实数运算的要求。
比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。
（二）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。
例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”,“了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。
（三）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。
（四）在具体情境中理解字母表示数的意义。
例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
”
（五）注重代数式的实际应用和实际意义。
例如要求“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
”
（六）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。
（七）强调几何直观的作用。
（八）知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）。
三、价值及作用
数与式这部分内容，在代数当中甚至在整个数学领域当中，都是非常重要的。
具体的来讲，有下面的几点：
第一点，通过数与式的学习，使学生体会到数学与现实生活的密切联系，感受到数学的价值，能够培养学生对数学学习的兴趣，增强学生的应用意识。
关于数学和生活的联系，以及培养学生具有应用意识，可以举如下的例子：
在我们学习数轴的时候，学生通过观察温度计、天平的标尺以及常见的两个相反方向行走的例子，能够从这些现象当中得到数轴、抽象出数轴的这样一个概念。
接下来我们就可以利用数轴联系数学内部的一些知识，即应用于数学内部。
同时数轴作为一种工具，它又能很好地帮助学生理解其他生活中的问题，比如时区问题，化学中的一些常见的问题等等。
这就是我们说的核心的概念：
几何直观。
从温度计抽象出数轴来，同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念。
学习有理数之后数轴还不能被充满，但是学了实数之后这个数轴就被充满了。
这样直观的一个工具，对于学生来理解实数是非常有帮助的。
第二点，我们来谈谈关于数的概念和运算、代数式的建立、以及推导与探究性的活动，有利于学生形成数感、符号感的问题。
学习数的概念和数的运算，除了学生会运算之外，数感和符号感也都是在这个过程当中逐渐发展起来的，而且通过学习数的概念和数的运算，不仅能够提高学生的运算能力，同时也能够发展学生的推理能力，对于提高学生的思维水平都是非常重要的载体。
如：
对于一般化的处理方法，因为字母表示数，实际上就是把数的概念和运算进行了一般化的处理，这样就把学生的思维水平提高到抽象化的水平，同时也会逐渐通过式的建立以及对式的进一步学习，逐步形成模型的思想。
我们在学习幂的运算这一部分内容时，教师们通常是让学生在原有的一些知识基础之上，猜想观察猜想出幂的运算规律，从数的计算开始，103×102=105=103+2，a4×a3=a7=a4+3，am·an＝am+n逐步地提升到用字母来表示。
再将这个公式应用于数学问题，这样的话，学生经历了从特殊到一般，再从一般到特殊这样一个过程，体会了这样一个数学思想。
但这个过程我想其实充分体现了符号对数学学习的意义。
我们观察幂的运算公式，会发现幂之间所做的运算，如果幂之间做的是乘除运算，到了指数上它就会变为加减运算，运算等级降了一级，幂做乘方的运算，在指数上就变为了乘法的运算，其实也是降了一级。
而学生无论通过观察，还是在教师的适当引导下，他都能够认识这样的规律，产生这样的意识，这正是学生积累了一定的符号感。
符号感的获得一方面基于对算理的理解，也是基于学生不断的归纳和类比和各种方法的运用，就可以逐步获得这样一种意识。
这个例子挺好，里面就体现了符号表示的一般化作用，因为在前面通过具体的数字产生了一种猜想，有可能这个同底的幂做乘法是指数相加，然后再根据指数幂的意义进行计算，就得到一个一般化结论，所以这个过程中除了有符号感，也有合情推理的成分。
因此我们认为，这部分内容不仅能够发展学生的运算能力，而且也发展了学生的符号感还有推理能力。
第三点价值，体现在数学里面，我们经常看到一些对立统一思想。
例如在一些概念、一些量中我们会发现，正数与负数，精确与近似，还有已知与未知之间的转换等等这些概念中都蕴含着统一思想。
这些内容的学习确实有助于学生提高他们用唯物主义的思想和科学的观点来认识客观事件的能力。
而且也体现模型思想，比如正数与负数，在生活中我们表示东与西就用正数与负数，所以正数负数它不单纯就是我们所学的计算等等，最后它已经成为表示具有相反意义的量的一个数学模型。
话题二方程与不等式
一、重点
方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，一个就是关于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程。
不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式组。
方程和不等式这个话题里面，这部分内容一个我们强调方程和不等式的模型思想，也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象，用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来，然后进行讲学，最后运用到现实问题。
所以这一部分内容就是一个重点，还是突出它的模型思想，当然另外一个部分，也是我们在这部分内容所突出的一个重点，那就是如何解这个方程和不等式。
二、内容的变化
在方程部分变化的内容为：
（一）与实验稿相比，有些内容适当增加：
如一元二次方程的根与系数的关系，但不要求应用这个关系解决其他问题，了解就可以了，不要深挖洞。
（二）三元一次方程组作为选学内容。
（三）一些具体要求，如一元二次方程只要求解数字系数的一元二次方程；分式方程只要求解可化为一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超过两个。
（四）删除了部分内容，如由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法；由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
这是与大纲相比发生的变化。
在不等式部分变化的内容为：
（一）强调结合具体问题，在具体情境中探索不等式的意义。
而且强调了过程目标“探索”，强调对于不等式组解的几何意义的理解。
（二）删除了一元一次不等式组的应用。
（三）解不等式中对相关的内容作出了限定。
如能解数字系数的一元一次不等式。
三、价值及作用
这里想突出方程与不等式的三个主要的作用，第一个是模型思想。
这点非常重要。
另外涉及到的一点就是化归的思想方法，我们解方程组等等一系列过程都涉及到化归。
第三点，这部分内容对后续学习是一个非常重要的内容，因此我们说它在整个数与代数里面有着非常重要的作用和价值。
首先，方程与不等式的学习，有助于学生形成建模思想。
方程的模型思想主要是指根据具体问题中的数量关系，经过必要的抽象，提炼出未知数与已知数之间具有的等量关系，列出方程（组）；在列出方程后，再运用方程（组）求解的各种方法，求出方程（组）的解，进而解决问题，从而体会方程（组）是刻画现实世界的一个有效的数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线。
“相等”与“不等”是数学中两种基本的数量关系，二者相辅相成，形成对数量关系的完整认识，是进一步学习数学不可缺少的基础知识和有效工具，也是分析和解决一些实际问题的重要方法。
说到模型思想，我们在教学当中曾经用到这样一个案例：
一位同学小明，如果给出了他的走路速度和跑步速度：
走路平均速度为6km/h，跑步平均速度为10km/h，又给出了从家到学校的距离为2km，有了这样的条件，可以提出什么样的一些问题呢？
在和同学们讨论之后，学生反应非常热烈。
这里我们拿出一个例子跟老师们分享：
有的学生提出了这样一个补充条件，说他走在路上，走着走着突然发现自己有东西落在家里了，于是就赶紧跑回去，跑回家去取东西，接下来又跑到学校，跑到学校发现所用的时间和走到学校的时间是一样，也就是说到校的时间是没有变化，那问小明是在什么地方或者走了多久发现自己落了东西？
学生在提出这样一个问题之后，要想确定出这个问题的模型，首先就要考虑，小明走到学校到底要花多长时间？
通过计算得出用20分钟。
接下来在这次上学的过程中，到底发生了一些什么样的事情，先走了一段路，接下来往回折返跑回去，相当于从家又跑到了学校，这个过程当中学生们通过分析通过画图通过各种各样的方法，发现他跑的这一段路程实际上走路的路程多出来的就是家到学校的距离，即2公里。
如果设未知数，我们就可以利用等量关系列出方程：
设t分钟之后返回，用2公里这个路程作为等量关系可以列出这样的方程：
，进而解决问题。
当然学生还可以改变条件，或提出各种各样的补充条件，在这样一个问题的基础上，寻找“等量”“不等”这样不同的关系，建立各种各样的模型，用方程或不等式等多种方法来表述问题、解决问题，这个案例我想供老师们参考，希望能给大家一些启发和思考。
关于列方程解决实际运用问题，有很多老师反应比较难，找等量关系方面学生就比较有困难；找出等量关系了方程却列不出来。
像刚才的问题，有没有什么好的建议？
即怎么使学生能够在分析实际问题的过程中抓住主要的关系，怎么能够读懂题目？
怎么能够提高他们分析问题和解决问题的能力？
这确实是老师们比较头疼的一个问题。
学生在面对数学和生活联系的时候，往往很难直接找到它们之间的联系建立模型。
实际上学生在生活当中，本身就应用着数学，经常面对数学，而教师们在设计问题或者说设计教学的时候，有的时候会忽略学生和实际数学之间的联系。
如果说利用刚才这样的案例，给学生一个比较开放性的平台，即给出的条件是不充足的，你再补充其他条件，这样，问题也许会比较简单，也许会比较复杂，也许有解也许没有解，不同的阶梯性补充，可能对水平存在差异的同学来说，确实是有很好的帮助。
有经验的教师也会发现，在解决方程与不等式建立模型或者说是列方程解决问题的时候，往往是在教师的引导下把问题简化，指出主干让学生去抓住问题当中最基础的这样一个关系，这样会使问题变得简单，如果说一上来问题就比较复杂的话，往往会挫伤学生的积极性，并且再处理起来，也确实无从下手。
第二方面，当学生学方程和不等式的时候，对形成化归的思想非常有帮助，我们知道，化归就是把你原来不会的问题转化成你能够解决的问题，把复杂的问题变成一个简单的问题。
我们在求解方程的过程当中，我们经常用到合并同类项，移项去括号去分母等等，这样一些方法来解决一元一次方程，以及可化为一元一次方程的分式方程，这是老师都比较熟悉的这样一个解方程的步骤。
再一个当学二元一次方程组求解的时候，就可以通过消元，即把两元变成一元，转化成已经学过的内容。
当我们再学到一元二次方程的时候，我们也是想办法降次，降次我们可能用到配方法，因式分解法，其实这些都体现了我们所说的化归思想。
第三方面，方程不等式同样也是后面学习高等数学一个非常重要的基石，例如我们谈到根与系数的关系这部分内容。
当然在一元二次方程中，只要学生能够体会这种关系，而不需要他去扩展解决其他问题。
实际上根与系数的关系，作为一个普遍的规律在高次方程，一元n次方程的情况还是有适用性的。
所以，学生通过这样一个探索会发现一般性的规律。
一次方程，二次方程，高次方程等等这些方程，甚至是将来高等数学以及经济学当中，根与系数关系都体现了一个很好的应用，都体现了方程的模型思想，不同的只是解法不同。
初中阶段学习的方程和不等式其实对后续的学习是有非常大的帮助。
话题三函数
一、重点
初中阶段函数部分的内容，主要包括一次函数、二次函数、反比例函数，在这个阶段学习函数，重点就是要借助现实背景，在现实情景中理解函数的概念。
而且在研究函数的性质过程当中，重点应该是要利用图象的方法直观地发现函数。
例如一次函数有什么特点？
二次函数有什么特点？
反比例函数呢？
此外还有一个非常重要的方面，就是体会函数各种表示之间的联系。
例如函数的表示法，我们有表格表示，就是具体的看有一个x怎么和y对应，另外就是有解析式表示，还有图象表示。
以前在传统的教学当中，可能这个解析式的表示我们用的比较多，表格、图象表示用的比较少，不管在标准的实验稿当中还是修订稿中，我们都要关注函数的图象表示，借助函数的图象来研究函数的性质，这是一种非常直观的办法。
同时在这个修订版的标准当中，也强调了对自变量取值范围的讨论，应该结合具体的实际问题，在实际问题中讨论自变量取值范围，而不是说泛泛地、一般性地讨论自变量的定义域、值域。
二、内容的变化
（一）强调一次函数的现实意义。
如要求“结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
”
（二）强调一次函数与二元一次方程的关系，但不要求用图象法求二元一次方程组的近似解。
（三）强调对于一次函数图象变化的探索。
例如“根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。
”
（四）强调用反比例函数解决实际问题。
如要求在具体情境中理解反比例函数的意义。
（五）突出反比例函数的图象功能。
能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。
（六）强调用函数解决实际问题。
如要求在实际问题中分析体会二次函数的意义，并运用于实际，在实际问题中考虑自变量的取值范围。
三、价值及作用
函数是非常有价值的内容，首先变量之间的关系在现实世界当中就是普遍存在的，如何研究变量之间的关系，从数学上解决这个问题，它的工具就是函数。
所以对于学生来讲，利用函数的方法解决现实问题，实际上是从常量的数学走到变量的数学，像在方程中，x表示未知数，它实际上不是变量，其实它是一个常量。
在函数当中就不一样，它可能是自变量，也可能是因变量，所以从这个角度来讲，从学生的思维角度来讲，它是一种飞跃，而且通过变量的学习，学生可以逐渐地形成辩证唯物主义的思想。
通过变量之间关系的学习有助于培养学生的理性思维，因为学习函数，就要表示变量之间的关系，它有一个很重要的作用，就是利用函数的关系进行预测，或利用函数的关系进行计算，未知的点可以通过函数关系把它计算出来。
我们预测人口，如中国二十年以后的人口数量问题，可以根据对以前人口的统计、对数量进行分析，根据它的变化规律来进行预测。
进行计算也是函数非常重要的一个应用，我们根据函数的变化规律，看其中某一些位置的点的函数值是多少等等。
另外由于在函数学习的过程当中，我们非常重视函数的图象表示，所以对培养学生的几何直观函数也是非常重要的载体。
通过直观分析函数的性质，学生可以对函数的增减性，或者是周期性等等都能够有很好的认识。
从常量到变量数学的过渡阶段，学生从小学阶段就已经开始。
到了初中阶段，学生又接触到一些新的知识，他们逐渐在丰富的自己的认识。
如我们在教学中也曾经向学生出示这样的一些图象，向学生提出问题：
这些图象都可以刻画什么？
不同的学生有着不同的一些想法。
你能不能够在现实生活中找到这样的函数的一个实际背景或实例？
例如第一个图象，学生可能会说是匀速行驶的汽车的时间和路程之间的关系，也有学生会举例子说，如果苹果一斤是2元钱，这个图表示的是苹果斤数和总价的关系，这些例子都是比较朴素的。
不妨再来看看第八个图，有的学生会说，这个是向水桶中注水，最后达到了上限还要再注，时间与水面高度的关系；还有同学举例子说，将20度的水加热，加热到沸腾；有的学生是说从甲地出发到了某地之后，这个车坏了怎么修也修不好；还有的说是弹簧的承重有一个限度，但它超过这个限度之后，长度就已经超过了弹簧的承受能力，长度就不变了。
当然这些所举的例子都还需要再斟酌。
有的学生会说是小明的体温，开始逐渐上升，最后持续高烧，这也是一种可能的情境。
有非常多的学生都提出自己的想法，用来解释以上图象，即是说他们能够从现实生活中挖掘出丰富的现实情景，去解释各种各样的函数关系，我想在这样一个过程中学生们就能真正体会到函数图象的价值。
这是在用解析式表达、学习函数性质、应用函数解决问题等等之外的收获。
可能我们首先应该让学生感受到的就是：
函数离我们这么近，其实它就是这么普通。
这样，函数的连续性、函数的取值范围等在学生的理解中也就更简化，更容易被他们所接受。
函数还有一个作用，体现在解方程中。
即方程可用函数的方法去解，如果一个方程，我们不能用已学的的方法去解。
例如三次方程，我们的学生还没有学，就不会解，但是我们可以画一下它的图象，然后就可以以此来大致的估计一下它的解的范围，对它的解形成一些初步的认识。
实际上在初中，方程、不等式还都可以看成函数的一种特殊情况。
另外函数这一研究变量关系的方法，实际上对于其他的学科，如物理、化学、经济及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。
因此学好函数这部分内容，搞好函数这部分的教学，在初中代数中是非常重要的。
话题四运算能力
一、意义及作用
运算能力是一项基本的数学能力，初中数学中大多数问题的解决，都离不开运算。
但是，教学中常常出现学生在计算时机械地搬用运算公式、盲目推算，缺乏合理选择简捷运算途径的意识等。
因此，《课程标准修改稿》将“运算能力”作为一项重要的内容，同时提出运算能力培养的价值，即“有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。
”由此可见，运算能力在学生的数学学习，尤其是数与代数的学习中具有重要的价值和意义。
二、在标准中的含义
《课程标准修订稿》将“运算能力”界定为“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
”“正确”是对运算结果的要求，这是进行一切运算最终的也是最根本的要求。
“根据法则和运算律”也就是运算的依据和运算的前提。
这要求学生要理解运算时所用的法则和运算律，不仅如此，还要求会正确、恰当地应用这些运算律、运算法则。
此外，《课程标准修订稿》还指出了“培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。
”因此，运算能力不仅包含对运算意义、法则、公式、运算程序的正确理解，还包含对简捷的运算途径的合理选择。
这要求学生能够根据问题的不同条件和不同目标，灵活地运用公式、法则和有关的运算律，能够掌握同一个问题的多种运算方法，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。
也就是说，运算能力中包含着对思维能力的要求。
因而，在运算过程中，学生的思维能力会受到检验，并得到锻炼。
三、与内容的联系
与运算能力相关的内容，一个是有理数的运算。
还有实数的运算，但由于解决实际问题取近似值，落脚点还是有理数运算，带根号的无理数的运算实际上是恒等变形。
关于式的运算，实际上就是恒等变形。
运算在解决问题中是必须的，运算能力的培养是重要的。
还有方程或不等式的求解，都有式的运算，都要求其结果具有正确性、采用简便算法，及选择最佳途径。
四、如何培养
关于运算能力的培养有四点，即关于态度、知识、能力，以及应用。
第一在学生的态度上，首先要让学生重视数学运算，让他们意识到数学运算是非常重要的，需要在态度上面有一个非常正确的认识，不要认为这个运算可有可无，或者把丢一个数或者错一个数，看成一个非常不重要的事情。
所以第一点就是强调态度，必须重视运算。
第二个运算不是凭空建立起来，它是基于一定的知识背景的，这种知识是什么？
首先必须要让学生要掌握好运算过程中的一些概念，性质，以及用到什么样的公式，用到什么样的法则。
因此我们认为，在学习这些知识的时候，应该给学生强化，让他意识到这是一个最根本的东西。
其实在学生运算过程中运算能力与推理能力直接关系。
为什么这么说呢？
因为学生在运算的时候需要一步一步地去进行，前一步是后一步的前提，运算不是凭空建立起来，必须有充分的理由才能够做后面的运算，才能够实现前后的这种连贯。
因此在这个过程中一定要让学生理解运算的性质和公式，以提高他们进行推理的能力。
比如我们在学习乘法公式的时候，学生经常爱犯的错误中，比较典型的就是将这两个公式混淆了，认为（a+b）2=a2+b2。
这是一个常见的错误，不利于今后的学习和使用以上知识点。
这个错误产生原因我们可以分析，可能是一些知识的负向迁移。
我们到底如何避免这样的错误？
老师们不妨在教学中不断的回到最初，不断地追本溯源让学生重新认识公式是如何得来的。
公式得来其实有两个方面：
一个是代数推导，一个是几何直观推导。
它的代数推导就是我们之前的所学的知识：
多项式乘多项式。
这个乘法的运算中，共得出四项，再合并同类项得到了三项。
在这个方法之外，其实几何也非常重要，而且是完全不同的一个途径呢。
对于这个图，我们还是很熟悉的，在几何图形中，（a+b）2可以理解为边长为a+b的正方形的面积，而它是在两个小正方形a2和b2的基础之上，还要算上两个矩形的面积，这样我们就完全否定了刚才的错误。
学生在有了数、形两个方面对这个公式的认识之后，对这个公式的正确掌握会得以提高。
在此给大家一个建议，此处很好地体现了几何直观的作用，利用几何直观纠正学生这个错误很有效。
这个问题也是大家一直谈论的：
我们算的目的是什么？
其实我们在培养学生运算能力的时候，可能有的时候又要考虑到算的原因和它将来的发展。
在学生出现问题的时候，我们怎么去给它克服思维的定势，找到错误的根源，以及解决它。
所以运算能力的培养不仅要关注在解决问题的过程中，考虑要解决一些纯数学问题，也要考虑解决其他知识这方面的问题。
这个例子一方面反应了对运算的理解，另一个方面有一些运算也可以运用到其他的知识中去，这其实也加深了学生对运算知识的一些理解，同时也培养他这方面的能力。
所以运算能力的培养其实是一个大家比较关注的话题，当然也是一个非常重要的话题，但是我们也注意到，运算能力的培养不是一下子能够到位，我们应该循序渐进，随着知识的学习和深入把它要渗透到我们教学过程里面去，这样的话才对学生真正的发展起作用。
话题五符号意识和代数的思维特点
一、意义及作用
学生一进入初中，首先学的代数内容就是用字母表示数。
用字母表示数一般被认为是学习代数的开始。
用字母表示数把小学所学的关于数的内容进行了一般化的表示。
用符号是数学的一个特点，符号实际上是数学的语言，数学可以说是一个符号化的世界，在数学当中，人们用符号来进行表示，而且用符号来进行交流，所以学生具有符号意识是非常重要的。
逐步形成符号或感受符号的作用是非常重要的，没有符号在一定意义上来说就没有近代和现代的数学，所以符号的产生，用符号来进行表示非常重要，标准指出，建立符号意识有助于学生的理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形成就是从用字母表示数开始，学生就应该用符号来进行表示，用符号来进行思考。
二、在标准中的含义
在课程标准的修订稿中，将“符号意识”界定为：
主要是指学生能够理解，并且运用符号来表示数，数量关系和变化规律，知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。
这里所提到的运用符号来表示数，数量关系和变化规律，其实也像刚才所提，在小学字母表示数的基础之上，进一步建立
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