专题9三角函数三.docx

专题9三角函数三.docx

《专题9三角函数三.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题9三角函数三.docx（28页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

专题9三角函数三

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号：

年级：

辅导科目：

数学课时数：

课题

三角函数（三）

教学目的

教学内容

第五节两角和与差的三角函数

（一）高考目标

考纲解读

1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

考向预测

1．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．

2．公式逆用、变形用（尤其是余弦二倍角的变形用）是高考热点．

3．在选择题、填空题、解答题中都可能考查．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．cos（α－β）＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ　（Cα－β）

cos（α＋β）＝　（Cα＋β）

sin（α－β）＝　（Sα－β）

sin（α＋β）＝　（Sα＋β）

tan（α－β）＝　（Tα－β）

tan（α＋β）＝　（Tα＋β）

前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是a≠kπ＋，β≠kπ＋，k∈Z，且α＋β≠kπ＋（Tα＋β需满足），α－β≠kπ＋（Tα－β需满足）k∈Z时成立，否则是不成立的．当tanα、tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用公式Tα±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法求解．

2．要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：

α＝（α＋β）－β，α＝（α－β）＋β，2α＝（α＋β）＋（α－β），2α＝（α＋β）－（β－α）等等．

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：

如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为：

tanα±tanβ＝，

tanαtanβ＝＝.

（三）基础自测

1．（2010·福建理）计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于（　　）

A.　　　　　B.C.D.

[答案]　A

[解析]　原式＝sin（43°－13°）＝sin30°＝.

2．已知α∈，sinα＝，则tan等于（　　）

A.B．7C．－D．－7

[答案]　A

[解析]　∵α∈，sinα＝，

∴cosα＝－，∴tanα＝－.

而tan＝＝＝.

3．（2011·烟台模拟）已知α，β都是锐角，sinα＝，cos（α＋β）＝，则cosβ等于（　　）

A.B.C.D.

[答案]　D

[解析]　∵α∈，β∈，

∴α＋β∈（0，π），由sinα＝，得α＝，又由cos（α＋β）＝，得α＋β＝，故β＝，cosβ＝.

4．tan15°＋cot15°等于（　　）

A．2　　　B．2＋　　C．4　　　D.

[分析]　可切割化弦利用倍角公式求解也可将15°转换成45°－30°或者15°＝求解．

[答案]　C

[解析]　解法1：

tan15°＋cot15°＝＋＝＝＝4.

解法2：

tan15°＋cot15°＝tan（45°－30°）＋＝＋

＝＋＝＋＝＋＝4.

解法3：

tan15°＋cot15°＝tan＋＝＋＝＝4.

5．函数y＝sinx＋cos的最大值和最小值分别为________．

[答案]　，－

[解析]　y＝sinx＋cosxcos＋sinxsin＝sinx＋cosx＝sin.

当x＝2kπ＋（k∈Z）时，ymax＝；

当x＝2kπ－（k∈Z）时，ymin＝－.

6．化简：

cos＋sin＝________.

[答案]　cosα

[解析]　cos＋sin＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα

＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.

7．若锐角α，β满足（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，求α＋β的值．

[解析]　∵（1＋tanα）（1＋tanβ）＝1＋tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝4，

∴（tanα＋tanβ）＝3（1－tanαtanβ），

即tanα＋tanβ＝（1－tanαtanβ），

∴tan（α＋β）＝＝，

又α、β均为锐角，

∴0<α＋β<π，∴α＋β＝.

（四）典型例题

1.命题方向：

化简求值问题

[例1]　求下列各式的值：

（1）（－）

（2）·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°

[分析]　角求值问题，应从角的关系、函数关系、运算关系上找联系，构造利用公式的条件．

[解析]　

（1）∵－＝－＝

＝

＝＝＝32cos20°.

∴原式＝32.

（2）·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°

＝＋－2cos40°

＝－2cos40°

＝－2cos40°

＝－2cos40°

＝＝2.

[点评]　在三角函数的化简、求值、证明中，常常对条件和结论进行合理变换、转化，特别是角的变化、名称的变化、切化弦、常数代换、幂的代换、结构变化都是常用的技巧和方法．

跟踪练习1

求[2sin50°＋sin10°（1＋tan10°）]·的值．

[解析]　原式＝·sin80°

＝（2sin50°＋2sin10°·）·cos10°

＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos（60°－10°）]＝2sin（50°＋10°）＝2×＝.

[点评]　对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：

（1）化为特殊角的三角函数值．

（2）化为正负相消的项，消去求值．

（3）化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值．

（4）给值（或式）求值.

2.命题方向：

条件求值

[例2]　已知sin（30°＋α）＝，60°<α<150°，求cosα的值．

[分析]　

（1）因为30°是特殊角，所以可用和角公式展开后，设法求值．

（2）观察条件中角与所求值中角之间的关系，利用和差关系，整体求解．

[解析]　方法一：

∵sin（30°＋α）＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，

∴cosα＋sinα＝.①

又∵sin2α＋cos2α＝1，②

∴由①得cosα＝－sinα，代入②得

100sin2α－60sinα＋11＝0.

∴sinα＝＝.

又∵60°<α<150°，

∴sinα>.而sinα＝<，∴只取sinα＝.代入①，得

cosα＝－·＝.

方法二：

把30°＋α看作整体，可求cos（30°＋α）的值．

∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.

∵sin（30°＋α）＝，∴cos（30°＋α）＝－.

∴sin（30°＋α）＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，①

cos（30°＋α）＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝cosα－sinα＝－.②

由①②，得cosα＝.

方法三：

∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.

∵sin（30°＋α）＝，∴cos（30°＋α）＝－.

∴cosα＝cos[（30°＋α）－30°]

＝cos（30°＋α）·cos30°＋sin（30°＋α）·sin30°＝－×＋×＝.

[点评]　

（1）方法一想法简单，但计算麻烦，且需判断sinα的范围，从而得cosα值．这不仅麻烦，而且容易漏掉，导致错误．方法二注意到了把30°＋α看作整体，先求出cos（30°＋α）＝－，再将两式展开，解方程组即可．比方法一大大简化．而方法三注意到了角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，从而快捷地求出cosα的值，计算简便但技巧性较强，有一定思维难度．

（2）方法一、方法二都体现了方程思想，方法三体现了变换思想．

跟踪练习2

（2011·襄樊）已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<β<α<.

（1）求tan2α的值；

（2）求角β.

[解析]　

（1）由cosα＝，0<α<，得

sinα＝＝＝.

∴tanα＝＝4.

于是tan2α＝＝＝－.

（2）由0<β<α<，得0<α－β<.

又∵cos（α－β）＝，

∴sin（α－β）＝＝＝.

由β＝α－（α－β）得，

cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）＝×＋×＝.

∴β＝.

3.命题方向：

给值求解问题

[例3]　已知3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值．

[分析]　

（1）欲求角，应先求其某种三角函数值．

（2）从已知条件找出角α＋2β的范围，确定其值．

[解析]　方法一：

由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，

即cos2β＝3sin2α.又由3sin2α－2sin2β＝0，

得sin2β＝sin2α.

∴cos（α＋2β）＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α

＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.

又∵0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋2β<270°.

故α＋2β＝90°.

方法二：

由3sin2α＋2sin2β＝1得

3sin2α＝cos2β①

又由3sin2α－2sin2β＝0得sin2α＝sin2β②

①÷②得tanα＝cot2β.

∵0°<α<90°，∴0°<2β<90°，

∴cot（90°－α）＝cot2β，又0°<90°－α<90°，0°<2β<90°，

∴α＋2β＝90°.

跟踪练习3

已知0<α<<β<π，tan＝，cos（β－α）＝.

（1）求sinα的值；

（2）求β的值．

[解析]　

（1）∵tan＝，

∴sinα＝sin＝2sincos＝＝＝＝.

（2）∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝.

又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.

由cos（β－α）＝，得0<β－α<.

∴sin（β－α）＝＝，

∴sinβ＝sin[（β－α）＋α]＝sin（β－α）cosα＋cos（β－α）sinα＝×＋×＝＝.

由<β<π得β＝π.

（或求cosβ＝－，得β＝π）．

（五）思想方法点拨

理解和运用两角和与差的三角函数公式需注意的几个问题：

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系．

①掌握好公式的内在联系及其推导线索，能帮助我们理解和记忆公式，是学好这部分内容的关键

②诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况．α、β中若有为的整数倍角时，使用诱导公式更灵活、简便．

2．公式的逆用及有关变形

tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；

sinα±cosα＝sin.

3．角的变换

α＝（α＋β）－β，β＝（α＋β）－α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）．

注意：

在公式T（α±β）中，α、β、α±β必须使等式两端均有意义，即α、β、α±β都不能取＋2kπ（k∈Z）．否则，利用诱导公式求解．

（六）课后强化作业

一、选择题

1．（2010·新课标文）若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin（α＋）＝（　　）

A．－　　　　　B.C．－D.

[答案]　A

[解析]　本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．

由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，

由两角和的正弦公式可得sin（α＋）＝sinαcos＋cosαsin＝（－）×＋（－）×＝－.

2．（2011·济南模拟）sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于（　　）

A．0B.C.D．1

[答案]　D

[解析]　sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.

3．已知－<α<，sin＝，则sinα＝（　　）

A.B.C.D.

[答案]　A

[解析]　∵－<α<，∴－<－α<，

又sin＝，∴cos＝，

∴sinα＝sin＝，故选A.

4．已知sinα＝，α为第二象限角，且tan（α＋β）＝1，则tanβ的值是（　　）

A．－7B．7C．－D.

[答案]　B

[解析]　由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，

则tanα＝－.

∴tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝7.

5．已知cos＝，则sin2α的值为（　　）

A.　　　B．－　　　C．－　　　D.

[答案]　C

[解析]　方法1：

sin2α＝cos（－2α）＝2cos2（α－）－1＝－，故选C.

方法2：

cos（α－）＝cosα＋sinα＝

两边平方得　＋sin2α＝，∴sin2α＝－，故选C.

6．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan（x－y）的值是（　　）

A.B．－C．±D．±

[答案]　B

[解析]　由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得

，

相加得cos（x－y）＝，且x、y均为锐角，

∴sin（x－y）＝，∴tan（x－y）＝－，故选B.

7．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos（α＋β）的值等于（　　）

A．－B．－C.D.

[答案]　B

[解析]　∵sin＝－，－β∈

∴－β＝－①

∵cos＝，α，β∈，

∴α－∈，∴α－＝－或②

由①②有或（舍去），

∴cos（α＋β）＝cos＝－.

8．在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是（　　）

A.∪B.∪

C.D.

[答案]　D

[解析]　由条件知2tanB＝tanA＋tanC（※）

显然B为锐角，若B为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0（※）式不成立．

∵tanB＝－tan（A＋C）＝－＝－，且tanB≠0，

∴tanAtanC＝3，

∴（2tanB）2＝（tanA＋tanC）2＝tan2A＋tan2C＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3，

∵tanB>0，∴tanB≥，≤B<，

即B的取值范围是，选D.

二、填空题

9．（2011·乐山模拟）已知cosα＝，cos（α＋β）＝－，α、β∈，则β＝________.

[答案]　

[解析]　∵α、β∈，∴α＋β∈（0，π），

∴sinα＝，sin（α＋β）＝，

∴cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝，

∵0<β<，∴β＝.

10．函数y＝sinsin的最小正周期T＝______.

[答案]　π

[解析]　解法1：

f（x）＝sinsin＝－＝－cos＋.

∴T＝π.

解法2：

y＝cosx＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，

∴T＝π.

11．若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝，则tanα·tanβ＝________.

[答案]　

[解析]　由题意知：

①＋②⇒cosαcosβ＝，③

②－①⇒sinαsinβ＝，④

得：

tanαtanβ＝.

三、解答题

12．（2011·北京海淀区模拟）已知tanα＝2.求：

（1）tan的值；

（2）的值．

[解析]　

（1）∵tan＝，且tanα＝2，

∴tan＝＝－3.

（2）＝＝＝tanα＋＝.

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B

两点．已知A、B的横坐标分别为、.

（1）求tan（α＋β）的值；

（2）求α＋2β的值．

[解析]　由已知得cosα＝，cosβ＝.

∵α、β为锐角，∴sinα＝＝，

sinβ＝＝，

∴tanα＝7，tanβ＝.

（1）tan（α＋β）＝＝＝－3.

（2）∵tan2β＝＝＝，

∴tan（α＋2β）＝＝＝－1.

∵α、β为锐角，0<α＋2β<，∴α＋2β＝.

14．（文）若sinA＝，sinB＝，且A，B均为钝角，求A＋B的值．

[分析]　欲求A＋B，先求A＋B的一个三角函数值，然后再由A、B的范围求得A＋B的值．

[解析]　∵A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，

∴cosA＝－＝－＝－，

cosB＝－＝－＝－，

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB＝－×－×＝①

又∵

∴π

由①②知A＋B＝.

[点评]　

（1）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．

（理）已知sin＝，cos2α－sin2α＝，求sinα及tan.

[解析]　由题设条件，应用两角差的正弦公式得：

＝sin＝（sinα－cosα），

即sinα－cosα＝①

由题设得cos2α－sin2α＝（cosα－sinα）（cosα＋sinα）＝－（cosα＋sinα），

故cosα＋sinα＝－②

由①式和②式得：

sinα＝，cosα＝－.

∴tanα＝－，

tan＝＝＝＝.

15．设函数f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为.

（1）求ω的值；

（2）若函数y＝g（x）的图像是由y＝f（x）的图像向右平移个单位长度得到的，求y＝g（x）的单调增区间．

[分析]

[解析]　

（1）f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx

＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin（2ωx＋）＋2，

依题意得＝，故ω的值为.

（2）依题意得g（x）＝sin＋2＝sin＋2，

由2kπ－≤3x－≤2kπ＋　（k∈Z），解得

kπ＋≤x≤kπ＋　（k∈Z），

故y＝g（x）的单调增区间为　（k∈Z）．

第六节二倍角的三角函数

（一）高考目标

考纲解读

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（对半角公式不要求记忆）．

考向预测

1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容．

2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．

3．多以解答题的形式呈现，属中、低档题．

（二）课前自主预习

知识梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝；

cos2α＝＝＝；

tan2α＝

2．升、降幂公式主要用于化简、求值和证明．

其形式为：

升幂公式1＋cos2α＝，1－cos2α＝.

降幂公式cos2α=

，sin2α.=

3.辅助角公式

asinα+bcosα=

（三）基础自测

1．（2011·新乡模拟）函数f（x）＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为（　　）

A．－3,1　　　　　　B．－2,2C．－3，D．－2，

[答案]　C

[解析]　f（x）＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，

∴sinx＝时，f（x）max＝，

sinx＝－1时，f（x）min＝－3，故选C.

2．（2010·福建文）计算1－2sin222.5°的结果等于（　　）

A.B.C.D.

[答案]　B

[解析]　本题主要考查二倍角公式

1－2sin2225°＝cos45°＝

3．（2010·江西理）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝（　　）

A.B.C.D.

[答案]　D

[解析]　如图，设CB＝AC＝1，则AB＝，又取AB的中点为H，连CH，则CH⊥AB，由题意知EH＝，CH＝，得tan∠ECH＝.

故tan∠ECF＝tan2∠ECH＝，选D.

4.＝（　　）

A.B.C．2D.

[答案]　C

[解析]　原式＝＝＝2·＝2，故选C.

5．（2010·浙江理）函数f（x）＝sin（2x－）－2sin2x的最小正周期是________．

[答案]　π

[解析]　f（x）＝sin（2x－）－2sin2x＝sin（2x－）－（1－cos2x）＝sin（2x－）＋cos2x－

＝sin2xcos－cos2xsin＋cos2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin（2x＋）－，

所以T＝＝＝π.

6．化简的结果是__________．

[答案]　cos1

[解析]　原式＝＝＝＝cos1.

7．已知函数f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最大值、最小值．

[解析]　

（1）f（x）＝cos4x－sin4x－2sinxcosx＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）－sin2x

＝cos2x－sin2x＝cos，

∴f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）当cos＝1时，f（x）max＝；

当cos＝－1时，f（x）min＝－.

（四）、典型例题

1.命题方向：

三角函数的化简与求值

[例1]　化简：

sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.

[分析]观察可见：

有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等．

[解析]解法1：

（从“角”入手，复角化单角）

原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·（2cos2α－1）（2cos2β－1）

＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·（4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1）

＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－

＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－

＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.

解法2：

（从“名”入手，异名化同名）

原式＝sin2α·sin2β＋（1－sin2α）·cos2β－cos2α·cos2β

＝cos2β－sin2α（cos2β－sin2β）－cos2α·cos2β

＝cos2β－cos2β·

＝－cos2β＝－cos2β＝.

解法3：

（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

原式＝·＋·－cos2α·cos2β

＝（1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β）＋（1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β）－·cos2α·cos2β

＝＋＝.

[点评]　对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不惟一．对于三角函数式化简的目标是：

（1）次数尽可能低；

（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少．

跟踪练习1

计算：

cos·cos·cos.

[分析]　构造运用二倍角公式，由诱导公式、恒等式求解．

[解析]　cos·cos·cos＝

＝＝＝＝＝.

2.命题方向：

三角函数式的证明

[例2]　

（1）求证＝tan4A.

（2）已知：

sinβ＝m·sin（2α＋β），其中m≠0,2α＋β≠kπ（k∈Z）．求证：

tan（α＋β）＝tanα（m≠1）．

[分析]　对

（1）容易看