7.已知向量目=（cosx,sinx）,b=（3,-V3）,x€［0，冗］.
（1）若1//：
',求x的值；
（2）记f（x）=求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.
8.已知函数:
i-fr|'的部分图象如图所示.
2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若（2a-c）
cosB=bcosC,求门丄•的取值范围.
9.函数f（x）=2sin（3x+©）（3>0,Ov©v可）的部分图象如图所示,M为最高点，该图象与y轴交于点F（0,匚），与x轴交于点B,C,且厶MBC的面积为n.
（I）求函数f（x）的解析式；
10.已知函数u一「：
-.二
（I）求f（x）的最大值及相应的x值；
（n）设函数:
:
.i-'i、：
，如图，点P,M,N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点,求cosJMPN的值.
11.设函数f（x）=sin（3x—）+sin（®x—）,其中Ov^v3,已知f
62
（-）=0.
（I）求3;
（n）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不
变），再将得到的图象向左平移—个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g
4
（x）在［-…,］上的最小值.
44
12.在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2（tanA+tanB）
=tanA+tanB
cosBcosA
（I）证明：
a+b=2c;
（n）求cosC的最小值.
13.如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.
（I）证明：
tan'「;
2sinh
（n）若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan—+tan匕+tan丄+tan匕的值.
14.已知函数f（x）=v；sin2x—^:
cos2x.
（I）求f（x）的最小周期和最小值；
（n）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象.当x€•一.-f时，求g（X）的值域.
2
15.已知函数f（x）=sin（——-x）sinx-它［cos2x.
2
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在「，厶—］上的单调性.
63
16.已知函数f（x）=sin（3x+一）.
4
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若a是第二象限角，f
（2）—cos（a+—）cos2a求cos—sin的
354
值.
17.设f（x）=2；f：
isin（n—x）sinx-（sinx-cosx）2
（I）求f（x）的单调递增区间;
（n）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），再把得到的图象向左平移［个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g
3
（x-一），g（x）=2sin2'.
（一）的值.
18.已知函数f（x）=sin（x-——）+cos
6
（I）若a是第一象限角，且f（a）=二丄，求g（a）的值;
5
（n）求使f（x）>g（x）成立的x的取值集合.
19.已知向量=（m，cos2x），■=（sin2x，n），函数f（x）=若？
■，且y=f
（x）的图象过点（二，二）和点（空-,-2）.
（I）求m，n的值；
（n）将y=f（x）的图象向左平移©（0v©vn）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0,3）的距离的最小值为1,求y=g（x）的单调递增区间.
三角函数及解三角形练习题
参考答案与试题解析
一•解答题（共16小题）
1.（2017遂宁模拟）在厶ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求C的大小.
分析】对已知式平方，化简，求出sin（A+B）=,[,确定A+B的值，利用三角形的内角和求出C的大小.
解答】解：
两边平方
（3sinA+4cosB）2=36
得9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36①
（4sinB+3cosA）2=1
得16sin2B+9cos2A+24sinBcosA=1②
①+②得：
（9sin2A+9cos2A）+（16cos2B+16sin2B）
+24sinAcosB+24sinBcosA=37
即9+16+24sin（A+B）=37
所以sin（A+B）=亍
所以A+B二二或者二
66
若A+B=•，则cosA>一
62
3cosA>3—>1,贝U4sinB+3cosA>1这是不可能的
2
所以A+B=—
6
因为A+B+C=180
所以c=-
6
点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题.
2.（2017浙江模拟）已知3sin9tan9J且80<9（I）求cos9;
TT
（H）求函数f（x）=6cosxcos（x-9）在［0,］上的值域.
分析】（I）利用同角三角函数的基本关系求得cos的值.
（H）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域
和值域，求得函数在［0，—］上的值域.
*2D
解答】解：
（I）T3sin9tan"9==8，且0<9<冗，二ods9为锐
=8，求得cos9二，或cos9=3（舍去），二sin-9=cose33
综上可得，cos9=.
3
=3cos（2x-9），
ITIT
在［0，—］上，2x-9€［-9，-9，f（x）在此区间上先增后减，当2x-9=0时，函数f（x）取得最大值为3,当2x-9=-9时，函数f（x）取
得最小值为3cos（-9）=3cos9=1,
故函数在［0,—］上的值域为［1,3］.
4
点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题•
3.（2017海淀区一模）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零
3
占
八、、・
（I）求实数a的值；
（n）求f（x）的单调递增区间
分析】（I）禾I」用函数的零点的定义，求得实数a的值.
（n）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f
（x）的单调递增区间.
解答】解：
（I）由题意可知■■:
1:
I，即亠丄：
-*:
i1-，
即X:
J，解得•二.
:
二L：
:
;—='：
工：
匕上：
仆工…丁
函数y=sinx的递增区间为_」[•I._，k€乙
由■I"■-■，k€Z，
1b£
得.'I—「，k€Z，
36
所以，f（x）的单调递增区间为I--—■，k€Z.
36
点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于中档题.
4.（2017衡阳三模）已知函数f（x）二二sin（2x+丄）+sin2x.
24
，求函数g（x）在［-
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数g（x）对任意x€R,有g（x）=f（x+）
6
二］上的值域.
2
分析】
（1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f（x）,再由周期公式计算得答案；
（2）由已知条件求出g（x）=「sin（2x+）+〔，当x€［-…，=］时，则
2j262
2x+…€二.罕］,由正弦函数的值域进一步求出函数g（x）在［-「，亠］
3362
上的值域.
=」sin2x+丄cos2x+sin2x
22
=」sin2x+_:
.：
广・
=sin2x+1-=sin2x+，
2222
•••f（x）的最小正周期T=二"i.;
（2）••函数g（x）对任意x€R，有g（x）=f（x+一），
6
•'g（x）—sin2（x+—）+^=〔sin（2x+）+丄，
匕262232
当x€［-「，…］时，则2x+"€；斗］,
则—1（x）<1.
综上所述，函数g（x）在［-—-，］上的值域为：
［.一，1］.
点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了函数值域的求法，是中
5.（2016?
匕京）已知函数f（x）=2sin3xcos+cox23x（3O）的最小正周期为n.
（1）求3的值；
（2）求f（x）的单调递增区间.
分析】
（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得3
的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间.
由T=I「，得3=1;
（2）由
（1）得，f（x）=.^.■.
再由-I■.：
'-'：
：
：
.-J\..，得—I.:
.T-1-'■---.
•••f（x）的单调递增区间为［_「丁「，［仁下］（k€Z）.
QQ
点评】本题考查y=Asin（3x+©）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题.
6.（2014重庆）已知函数f（x）=V^sin（3x+©）（3>0，—斗w©冷）的图象关于直线x==对称，且图象上相邻两个最高点的距离为n.
l'1
（I）求3和©的值；
（U）若f
（二）二…（J_VaV丄丄），求COS（a+—-）的值•
24632
分析】（I）由题意可得函数f（x）的最小正周期为n求得3=2•再根据图象关于直线x="对称，结合-…W©v…可得©的值.
322
（n）由条件求得sin（a-）=-.再根据a-——的范围求得COS（a-）
6466
的值，再根据cos（a+二）=sina=sin[（a-一）+一],利用两角和的正弦
266
公式计算求得结果.
解答】解：
（I）由题意可得函数f（x）的最小正周期为冗，二——=n,.
Qj
3=2.
再根据图象关于直线x==对称，可得2X~+©=kn+—，k€z.
332
结合-三w©v—可得©=-三
226
（n）vf
（二）=…（―VaV」），
2463
•.忑sin（a-込-）=^-，Asin（a^―）=—.
6464
再根据OVa-…V”，
62
（兀、I兀、VTs
•COS（a-E）=「一「2匚—=—
3TTTT7T7T7T
•cos（a+）=sina=s（a-——）+——]=sin（a———）cos——+cos（a-
26666
）sin
66
=_一+二._=〉匸
二：
」.
点评】本题主要考查由函数y=Asin（3x+©）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题.
7.（2017江苏）已知向量a=（cosx，sinx），b=（3，-V3），x€[0，冗].
（1）若1//：
',求x的值；
（2）记f（x）=求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.
分析】
（1）根据向量的平行即可得到tanx=-亠，问题得以解决，
3
（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
解答】解：
（1）1i=（cosx,sinx）,■=（3,-V/）,/,
cosx=3sinx,
仙x=--，••乂€[0，冗],
x=
6
（x+•••x€[0，冗],•••x+丄€[,—],
666
•■•-162'
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3,
当x=匸丄时，f（x）有最小值，最小值-2
6
点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题
8.（2017锦州一模）已知函数_J|11'.'.-"'.T■的部分
图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若（2a-c）cosB=bcosC，求.'的取值范围.
分析】
（1）根据图象求出A,3和©,即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦定理化简，求出B,根据三角内角定理可得A的范围，利用函数
解析式之间的关系即可得到结论
解答】解：
（1）由图象知A=1，-1_下，二3=2，
126
.'•f（x）=sin（2x+©）
:
图象过（二「），将点二代入解析式得:
i—1-
••n二，
故得函数•：
」；」.
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，
根据正弦定理，得：
（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
•■•2sinAcosB=sin（B+C），
•••2sinAcosB=sinA.
TA€（0，n），•'sinA却，
1兀•'•cosB=，即B=
23
••A+C=—，即一」
33那么：
263666
6（y11
故得「「「.I
点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解
决本题的关键•同时考查了正弦定理的运用化简•利用三角函数的有界限求范围，属于中档题•
9.（2017丽水模拟）函数f（x）=2sin（®x+（t）（w>0,0v©v…）的部
2
分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F（0,二），与x轴交于点B，C，且厶MBC的面积为n.
（I）求函数f（x）的解析式；
求COS2a的值.
分析】（I）依题意，由S△MBC=丄X2X|BC|=|BC|=n可求得其周期
T=2n=，解得3=1，再由f（0）=2sin©=，可求得©，从而可求函数f（JU
（x）的解析式；
（n）由f（a-——）=2sina=:
可求得sina再利用二倍角的余弦即可求45
得COS2a的值.
解答】解：
（I）因为Sambc=*X2XBC|=|BC|=n，
所以周期T=2n=,解得3=1,
CO
由f（0）=2sin©=二，得sin©=-，
2
因为0v©v…,所以©二宀,
24
所以f（x）=2sin（x+一）；
4
（H）由f（a———）=2sin丄，得sina二,
455
所以COS2a=1—2sin2a二.
5
点评】本题考查由y=Asin（®x+©）的部分图象确定其解析式，求得3与©是关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.
10.（2017延庆县一模）已知函数*1--1:
---V1
（I）求f（x）的最大值及相应的X值；
（H）设函数；■:
-.-I—，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的
零值点、最高点和最低点，求cosJMPN的值.
分析】（I）化简函数（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值；
（H）化简函数g（x）,过D作MD丄x轴于D，根据三角函数的对称性求出/
PMN=90°,再求cosZMPN的值.
解答】解：
（I）函数:
:
.：
'--V./：
V
=_:
.:
'-・
=_：
：
-；.、-.—■分）
•'•f（x）的最大值为f（x）max=1，…（4分）
此时—_二「-「，…（5分）
解得・.|T•丄一一；…（6分）
丄M
（D）函数-.■-1■，:
=sin[2（x）+]=sin（一x+）,•••（7分）
"aj0乙。
过D作MD±x轴于D,如图所示;
•.PD=DM=1,
•/PMN=90。
，…分）
计算PM=",MN=2PM=2",PN=厂：
亠不，…（11分）
•—W：
：
•…（13分）
<105
点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问
11.（2017山东）设函数f（x）=sin（®x—-—）+sin（®x—^）,其中0v
62
3<3,已知f（—）=0.
6
（I）求
（n）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不
变），再将得到的图象向左平移——个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g
（X）在[-二，二]上的最小值•
44
分析】（I）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f
（一）=0
6
求出3的值；
（n）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（X）的解析式，求出X€[-三，口]时g（X）的最小值.
44
解答】解：
（I）函数f（x）=sin（3x-匹）+sin（®x-匹）
62
=sin3xc算-cos3xsi^-sin（匹-3x）
662
=XiLsin3-—cos3x
22
=Csin（3x-=-），
3
又f（）=二sin（—3-）=0，
663
IT兀|cv
--3-——=kn，k€Z，
63
解得3=6k+2，
又0V3V3，
--3=2；
（n）由（I）知，f（x）=飞in（2x-丄），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得
到函数y=；sin（x^—）的图象；
再将得到的图象向左平移一个单位，得到y=「sin（x+—-…）的图象，
443
••函数y=g（x）=■:
sin（x^—）；
丄u
当x€[-"，二]时，x-「€[-一，_],
••sin（x-）€[-，1]，
••当x=-「时，g（x）取得最小值是-…厂=-.
点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档
题.
12.（2016山东）在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2（tanA+tanB）二皿+'汀.
cosBcosA
（I）证明：
a+b=2c;
（n）求cosC的最小值.
【分析】（I）由切化弦公式-2".-:
带入
cosAcosB
•i_Hi.■_■：
I1■'2.'并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）
cosBcosA
=sinA+cosB,这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC,从而根据正弦定理便可得出a+b=2c;
（n）根据a+b=2c,两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2,从而得出a2+b2=4c2
2
-2ab,并由不等式a2+b2之ab得出c2羽b,也就得到了——「.「，这样由余弦
ab
g亡2
定理便可得出1,从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小
2ab
值.
解答】解：
（I）证明：
由-1■■.|…得:
COSDcosA
:
:
iw.
cosAcosB'cosAcosB'
卢inAqinB、-sinAcosAcosB~
••两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
.'2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC
（1）；
根据正弦定理，「「:
;
sinAsinbsinC
•°a+b=2c;
（n）a+b=2c;
•（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
•°a2+b2=4c2-2ab,且4c2>4ab,当且仅当a=b时取等号；
又a,b>0；
•'cosC的最小值为1.
2
点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为n,以及三角
函数的诱导公式,正余弦定理,不等式a2+b2>2ab的应用,不等式的性质.
13.（2015四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.
⑴证明：
屛；
（n）若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求
分析】（I）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可
（n）通过A+C=180°,得C=1800-A,D=180。
-B,利用（I）化简
tanStan，+tan「+tan「=
2222
求出sinA,连结AC,求出sinB,然后求解即可.
.Ao.2A
sircr2sm■y
（I）tan—=,=it=一
2人仃A.AsinA
cos^-Zcos^siiry
（H）由A+C=180°得C=1800-A,D=180°-B,由（I）可知：
在^ABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB?
ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，
AD=5,
心BCD
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