随机过程考试真题考试.docx
《随机过程考试真题考试.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程考试真题考试.docx（51页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
随机过程考试真题考试
1、设随机过程X（t）RtC，t（0,），C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。
（1）求X（t）的一维概率密度和一维分布函数；
（2）求X（t）的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设W（t）,
t
是参数为
2
R~N（1,4）是正态分布随机变量；
的维纳过程，
且对任意的
t
，W（t）与R均独立。
令X（t）
W（t）R，求随机过程
X（t）,
t
的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有
180人，即
180；且每个
顾客的消费额是服从参数为
s的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
0.3
0.7
0
P
0
0.2
0.8
0.7
0
0.3
（1）求两步转移概率矩阵
P
（2）
及当初始分布为
PX
0
1}
1,
PX
0
2}
PX
0
3}
0
{
{
{
时，经两步转移后处于状态
2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间
I
{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：
0.3
0.4
0.3
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P
0
1
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
1
0
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设
N（t）,t
0是参数为
的泊松过程，计算EN（t）N（ts）。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以
Ni记在i第层进入电梯的人数。
假定
Ni相互独立，
且Ni
是均值为
i的泊松变量。
在第
i层进入的各个人相互独立地以概率pij
在第j层离开电
梯，
pij1
。
令Oj＝在第j层离开电梯的人数。
ji
（1）计算E（Oj）
（2）Oj的分布是什么
（3）Oj与Ok的联合分布是什么
8、一质点在1，2，3点上作随机游动。
若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t,th）内，
它都以概率ho（h）分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微
分方程，转移概率
pij（t）及平稳分布。
1有随机过程{（t），-}和{（t），-}，设
（t）=Asin（
t+
），
（t）=Bsin（
t+
+）,
其中
A，B，，为实常数，
均匀分布于
[0，2]，试求
R
（s,t
）
2（15分）随机过程
（t）=Acos（
t+
），-，其中
A,
是相互统计独立的随机变量，
EA=2,
DA=4,
是在[-5,5]上均匀分布的随机变量，
是在[-
，]上均匀分布的随机变量。
试分析（t）的平稳性和各态历经性。
3某商店顾客的到来服从强度为
4人每小时的Poisson过程，已知商店9：
00开门，试求：
（1）
在开门半小时中，无顾客到来的概率；
（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：
滞销（用
1表示）、正常（用2
表示）、畅销（用3表示）。
若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下
月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态
i经过一个月后转为销售
状态j的概率），一步转移开率矩阵为：
1
1
0
2
2
5
1
1
P
9
9
3
1
2
1
6
3
6
试对经过长时间后的销售状况进行分析。
5设{X（t）,t0}是独立增量过程,且X（0）=0,
证明{X（t）,t
0}是一个马尔科夫过程。
6设
N（t）,t
0
是强度为
的泊松过程，
Yk,k=1,2,
是一列独立同分布随机变量，且
N（t）
与N（t）,t
0
独立，令
X（t）=
Yk,t
0，证明：
若
E（Y12<），则EX（t）
tEY1
k=1
7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
又设今天下雨而明天也下雨
的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态
1。
设0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。
8设t,t是平稳过程，令ttcos0t,t，其中0
是常数，为均匀分布在[0,2]上的随机变量，且t,t
与相互独立，R（）
和S（）分别是t,t的相关函数与功率谱密度，试证：
（1）t,t是平稳过程，且相关函数：
R1Rcos0
2
（2）t,t的功率谱密度为：
S1S0S0
4
9已知随机过程（t）的相关函数为：
2
Re，问该随机过程（t）是否均方连续？
是否均方可微？
1、设随机过程X（t）RtC，t（0,），C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。
（1）求X（t）的一维概率密度和一维分布函数；
（2）求X（t）的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】
x
（1）F（x）f（t）dt，则f（t）为密度函数；
1
axb
（2）X（t）为（a,b）上的均匀分布，概率密度函数f（x）ba，分布函数
0,x
a
2
a
b
（ba）
F（x）
；
xa,axb，E（x）
，D（x）
ba
b
2
12
1,x
（3）参数为
的指数分布，概率密度函数
f（x）
ex,x
0，分布函数
0,x
0
1
ex,x0
，E（x）
1
1
F（x）
0,x0
，D（x）
2；
1
（x
）2
（4）E（x）
D（x）
2的正态分布，概率密度函数
f（x）
e2
2
x，
2
1
x
（t
）2
2
2
0,
1
分布函数F（x）
e
dt,
x
，若
时，其为标准正态分布。
2
【解答】本题可参加课本习题
2.1及2.2题。
（1）因R为[0,1]上的均匀分布，C为常数，故X（t）亦为均匀分布。
由R的取值范围可知，
X（t）为[C,C
t]上的均匀分布，因此其一维概率密度f（x）
1
CxCt，一维分布
t
0,其他
0,xC
函数F（x）
xC,C
XCt；
t
C
t
1,x
（2）根据相关定义，均值函数
m
（t）
EX（t）
t
C；
X
2
相关函数RX（s,t）
E[X（s）X（t）]
1st
C（s
t）
C2；
3
2
st
协方差函数BX（s,t）
E{[X（s）mX（s）][X（t）
mX
（当s
t时为方差函数）
（t）]}
12
【注】D（X）
E（X2）
E2（X）；BX（s,t）
RX（s,t）mX（s）mX（t）
求概率密度的通解公式
ft（x）
f（y）|y'（x）|
f（y）/|x'（y）|
2、设W（t）,
t
是参数为
2
的维纳过程，R~N（1,4）是正态分布随机变量；且对
任意的
t
，W（t）
与R均独立。
令X（t）
W（t）
R，求随机过程
X（t）,
t
的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同
1题。
依题意，W（t）~N（0,
2|t|），R~N（1,4），因此X（t）W（t）R服从于正态分布。
故：
均值函数mX（t）
EX（t）1；
相关函数RX（s,t）
E[X（s）X（t）]
5；
协方差函数BX（s,t）
E{[X（s）mX（s）][X（t）
mX（t）]}
4（当st时为方差函数）
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有
180人，即
180；且每个
顾客的消费额是服从参数为
s的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
【解答】此题可参见课本习题
3.10
题。
由题意可知，每个顾客的消费额
Y是服从参数为
s的指数分布，由指数分布的性质可知：
E（Y）
1
1
2
）
2
D（Y）
s
2，故
E（Y
2，则由复合泊松过程的性质可得：
一天内商场营
s
s
业额的数学期望mX（8）8180E（Y）；
一天内商场营业额的方差
2
（8）8
180
（
2
）。
X
EY
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：
0.3
0.7
0
P
0
0.2
0.8
0.7
0
0.3
（1）求两步转移概率矩阵
P
（2）及当初始分布为
P{X0
1}
1,P{X0
2}P{X03}0
时，经两步转移后处于状态
2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
【解答】可参考教材例4.3题及4.16题
（1）两步转移概率矩阵
0.3
0.7
0
0.3
0.7
0
0.09
0.35
0.56
P
（2）
PP
0
0.2
0.8
0
0.2
0.8
0.56
0.04
0.4
0.7
0
0.3
0.7
0
0.3
0.42
0.49
0.09
当初始分布为
{
1}
1,
{
2}
{
3}
0时，
PX0
PX0
PX0
0.09
0.35
0.56
1
0
0
0.56
0.04
0.4
0.09
0.35
0.56
0.42
0.49
0.09
故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。
（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。
得如下方程组
1
0.3
1
0
2
0.7
2
0.7
1
0.2
2
0
3
0
1
0.8
2
0.3
1
2
3
1
3
3
3
解上述方程组得平稳分布为
1
8,
2
7,
3
8
23
23
23
5、设马尔可夫链的状态空间I
{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：
0.3
0.4
0.3
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P
0
1
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
1
0
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
【解答】此题比较综合，可参加例
4.13题和4.16题
画出状态转移图如下：
4
2
1
3
5
（1）由上图可知，状态分类为G1{1,2,3};G2{4,5}
（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。
A、对G1常返闭集而言，解方程组
1
0.3
1
0.6
2
2
0.4
1
0.4
2
3
0.3
1
0
2
1
2
3
0
1
0
1
3
3
3
解上述方程组得平稳分布为
1
37,
2
259,
3
37
15
90
50
则各状态的平均返回时间分别为
t1
1
15,t2
1
90,t3
1
50
1
37
2
259
3
37
B、对G2常返闭集而言，解方程组
1
0.3
1
1
2
0.7
1
0
1
2
1
解上述方程组得平稳分布为
2
2
110,27
1717
则各状态的平均返回时间分别为
t1
1
17,t2
1
17
1
10
2
7
6、设N（t）,t0是参数为的泊松过程，计算EN（t）N（ts）。
【解答】
E
N（t）N（t
s）
EN（t）N（ts）N（t）N（t）
EN（t）N（ts）N（t）
EN（t）2
EN（t）E
N（t
s）N（t）
E
N（t）2
t
s
t
（
t）2
t（1
t
s）
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以
Ni记在i第层进入电梯的人数。
假定
Ni相互独立，
且Ni是均值为i的泊松变量。
在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电
梯，pij1。
令Oj＝在第j层离开电梯的人数。
ji
（1）计算E（Oj）
（2）Oj的分布是什么
（3）Oj与Ok的联合分布是什么
【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。
以Nij
记在第i层乘上电梯，在第
j层离去的人数，则
Nij
是均值为i
pij的泊松变量,且全部
Nij（i
0,j
i）相互独立。
因此：
（1）
E[Oj]
E[Nij]
ipij
i
i
（2）
由泊松变量的性质知，
Oj
Nij
是均值为
ipij的泊松变量
i
i
i
k
ki
（3）
因Oi与Ok独立，则P（OiOk）
P（Oi）P（Ok）
e
e
e2，为期望。
i!
k!
i!
k!
8、一质点在1，2，3点上作随机游动。
若在时刻t质点位于这三个点之一，则在[t,th）内，
它都以概率ho（h）分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微
分方程，转移概率pij（t）及平稳分布。
【解答】参见教材习题5.2题
依题意，由lim
pij（t）
j）得，qij1（i
j），柯尔莫哥洛夫向前方程为
qij（i
t0
t
pij'
2pij（t）
pi,j
1（t）
pi,j1（t），
由于状态空间I
{1,2,3}，故
pij（t）pi,j
1（t）
pi,j
1（t）1，
所以
pij'2pij（t）1pij（t）3pij（t）1，
解上述一阶线性微分方程得：
1t
pij（t）ce3
由初始条件
1
，
3
1,i
j
pij（0）
j
0,i
确定常数c，得
1
2
1t
3,i
j
3
e
pij（t）
3
1t
1
j
1e3,i
3
3
故其平稳分布
j
limpij（t）
1,j1,2,3
t
3
1、有随机过程{（t），-1.解：
f
1
0
2
2
0,
其它
2
1d
R
s,t
E
s
t
Asin
s
Bsin
t
0
2
1
2
AB
cos
t
s
cos
t
s
2
d
4
0
1ABcos
t
s
s,t
2
2、随机过程（t）=Acos（
t+
），-
，其中A,
是相互统计独立的随机变量，
EA=2,
DA=4,
是在[-5,5]上均匀分布的随机变量，
是在[-
，]上均匀分布的随机变量。
试分
析（t）的平稳性和各态历经性。
2、解：
m
t
Et
EAcos
t
EAEcos
t
1
5
d
cos
t
d
2
20
5
def
0m,t
Rt,t
E
t
t
EAcos
t
Acos
t
2
cos
t
EA
Ecost
8
5
d
cos
t
cos
t
d
20
5
8
5
cos
cos2
t
2
d
40
d
5
8
5
cos
d
4sin5def
20
5
R
5
升级会员 