圆的切线证明题Word下载.docx

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CD是⊙O的切线。

3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：

DM与⊙O相切.

4（2008年厦门市）已知：

如图，

中，

，以

为直径的

交

于点

，

．

（1）求证：

是

的切线；

5已知：

如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．

（1）试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．

（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．

6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°

．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）求弦BD的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

7.（2010北京中考）已知：

如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90︒。

（1）求证：

直线AC是圆O的切线；

（2）如果∠ACB=75︒，圆O的半径为2，求BD的长。

8、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

∠CAB．

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线；

9已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：

PC＝CD。

10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°

，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

∠BCA=∠BAD；

（3）求证:

BE是⊙O的切线。

11（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A

BC为⊙O的切线；

（2）求∠B的度数．

5、证切线---------------90°

6、有90°

7、有⊥------------------证∥，错过来

8、利用角+角=90°

点悟：

要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

证明：

连结OD。

∵AD∥OC，

∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD

∴∠COB＝∠COD

∵CO为公用边，OD＝OB

∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC

∵BC是切线，AB是直径，

∴∠B＝90°

，∠ODC＝90°

∴CD是⊙O的切线。

点拨：

辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：

D

3（2008年厦门市）已知：

（2）若

，求

的值．

（1）证明：

又

于

的切线

4已知：

如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°

5.（2010北京中考）已知：

6、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

∠CAB．

例6.已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：

要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。

连结OD，则OD⊥CE。

∴∠EDA＋∠ODA＝90°

∵OA⊥OB

∴∠A＋∠P＝90°

又∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA

∵∠EDA＝∠CDP，

∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD

在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。

7（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°

（2）求DE的长；

【答案】解：

∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。

∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），

∴∠BCA=∠BAD。

（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°

∴△BED∽△CBA，∴

。

∵BD=BA=12，BC=5，∴根据勾股定理得：

AC=13。

∴

，解得：

（3）证明：

连接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵

∴△ABO≌△DBO（SSS）。

∴∠DBO=∠ABO。

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。

∴OB∥ED。

∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。

∴OB⊥BE。

∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。

8．（7分）（2013•珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A

考点：

切线的判定与性质；

菱形的性质．

分析：

（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°

，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°

，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，

由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°

可计算出∠OBC=30°

，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．

解答：

连结OA、OB、OC、BD，如图，

∵AB与⊙切于A点，

∴OA⊥AB，即∠OAB=90°

∵四边形ABCD为菱形，

∴BA=BC，

在△ABC和△CBO中

∴△ABC≌△CBO，

∴∠BOC=∠OAC=90°

∴OC⊥BC，

∴BC为⊙O的切线；

（2）解：

∵△ABC≌△CBO，

∴∠AOB=∠COB，

∴BD平分∠ABC，CB=CD，

∴点O在BD上，

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，

而OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠BOC=2∠ODC，

而CB=CD，

∴∠OBC=∠ODC，

∴∠BOC=2∠OBC，

∵∠BOC+∠OBC=90°

∴∠OBC=30°

∴∠ABC=2∠OBC=60°

点评：

本题考查了切线的判定与性质：

过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；

圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．

（19）（08长春中考试题）在△ABC中，已知∠C=90°

，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（B）

A．

B．1C．2D．