学而思三年级奥数鸡兔同笼进阶之欧阳计创编.docx

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学而思三年级奥数鸡兔同笼进阶之欧阳计创编

学而思

时间：

2021.02.11

创作：

欧阳计

第十五讲鸡兔同笼进阶

我国古代数学名著《孙子算经》中有这样的一道应用题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何?

意思是说:

鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有35只，鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只?

这就是著名的鸡兔同笼问题。

怎样解决这个问题呢?

我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔”，这种解决问题的方法就是假设法。

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置出来。

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

解法1：

鸡的只数=（每只兔脚数×兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔的只数=总只数－鸡的只数

解法2：

兔的只数=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）鸡的只数=总只数－兔的只数

例1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

解：

假设46只都是兔。

共应有：

4×46=184（只）

比128只脚多：

184128=56（只）

如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少：

42=2（只）

鸡的只数：

56÷2=28（只）

兔的只数：

46－28=18（只）

例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

问：

小梅家的鸡与兔各有多少只？

解：

假设16只都是鸡。

共应有：

2×16＝32（只）

比44只脚少：

4432＝12（只）

如果用一只兔来置换一只鸡，就要增加：

42=2（只）

兔的只数：

12÷2=6（只）

鸡的只数：

16－6=10（只）

1、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有多少只？

兔有多少只？

2、、鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。

笼子中鸡、兔各有多少只？

3、鸡与兔共40只，鸡的脚数与兔的脚数共有90只。

问鸡、兔各多少只？

4、现在有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大、小油桶各多少个?

5、某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有多少张？

6、四（6）班42个同学向北京奥运会捐款。

其中12人每人捐2元，其余同学每人捐5元或10元，一共捐了229元。

求捐5元和10元的同学各有多少人？

例3、乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。

问：

搬运过程中共打破了几只花瓶？

分析：

假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。

实际上只得到115.5元，少得15.5=4.5（元）。

搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。

因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：

（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

1、有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角，如有破损,破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元。

结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

2、运输队为商店运送花瓶500箱，每箱6个花瓶，已知每10个花瓶的运费5.5元，损坏一个花瓶要赔偿成本11.5元（这个花瓶的运费当然也得不到了）。

结果这个运输队共得到运费1553.6元。

问共损坏了多少个花瓶？

3、工人运青瓷花瓶250个,规定完整运一个到目的地给运费20元,损坏一个倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元,则损坏了多少只？

4、运输衬衫400箱，规定每箱运费30元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿100元。

运后运费为8880元，损失了几箱？

例4、某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。

共有12道题，王刚得了84分。

王刚做错了几题？

分析：

假设全做对，应得9×12=108分，现在少了108－84=24分。

而做错一题，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，相差了12分，所以错了24÷12=2题。

1、某次数学竞赛共20道题，评分标准是：

每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分。

小华参加了这次竞赛，得了64分。

问：

小华做对几道题？

2、某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分，不做得0分。

小华得了76分，问他做对几题？

3、一次数学竞赛共20道题，每答对一道题得6分，每答错一道题倒扣4分。

小明答完了全部的题目却得了零分，那么他一共答错了多少道题？

4、小毛参加数学竞赛,共做20道题,得64分,已知做对一道得5分,不做得0分,错一题扣2分,又知道他做错的题和没做的一样多。

问小毛做对几道题?

5、一张数学试卷，共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分。

如不做，不得分也不扣分。

若某同学得了78分，那么，他做对了多少题？

做错多少题？

不做多少题？

例5、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

分析：

这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。

因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118－108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118108）÷（86）=5（只）蜘蛛。

这样剩下的18－5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数，再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求

7÷（21）=7（只）.

1、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有三种动物共36只，有236条腿和40对翅膀。

问：

每种小虫各有几只？

2、王老师用了117元买了18本书，其中科技书和故事书共17本，字典一本（一本字典17元）。

已知科技书每本8元，故事书每本4元。

问科技书、故事书各买了多少本？

3、某工厂共有27位师傅带40名徒弟。

每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。

如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅（即带两名和三名徒弟的师傅）人数的两倍，请问带两名徒弟的师傅有多少人？

例6、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。

已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？

分析：

要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。

根据条件，要装完这144吨钢材还需要4536=9（辆）小卡车。

这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。

由此可求出这批钢材有多少吨。

解：

4×36÷（4536）×45＝720（吨）。

答：

这批钢材有720吨。

1、有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。

已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？

2、某校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分,男同学比女同学多多少人?

3、自行车越野赛全程220千米，全程被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米．问：

长9千米的路段有多少个？

例7、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：

鸡、兔各多少只？

分析：

假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200－20=180（只）。

现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100－30＝70（只）。

解：

有兔（2×100－20）÷（2＋4）＝30（只），有鸡100－30=70（只）。

1、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

2、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

3、鸡兔共200只,鸡的脚比兔的脚少56只,则鸡有几只,兔有几只?

4、鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28只。

问鸡与兔各几只？

例8、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。

问：

鸡、兔各几只？

分析：

一只鸡换成一只兔子,增加两只脚,一只兔子换成一只鸡,减少两只脚，中间有抵消,最后少了10092=8只脚,证明兔子比鸡多8÷2=4只，去掉这4只兔子,也就是924×2=84只脚.剩下的兔子和鸡一样多,有84只脚，所以鸡有84÷（4+2）=14只,兔子有14+4=18只。

或：

鸡兔一共有：

（100+92）÷（4+2）=32只，如果这32只都是兔,有脚：

32×4=128只，多了：

128100=28只,每只鸡比兔的脚少:

42=2只,鸡有：

28÷2=14只,兔有：

3214=18只。

1、鸡兔共有110只脚，若鸡数和兔数互换，则有脚100只，鸡和兔各有多少只？

2、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：

鸡、兔各有几只？

3、鸡和兔共有脚190只，若将鸡的数量和兔的数量互换，则共有脚140只。

问：

原来鸡和兔各有多少只？

例9、学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去1650元。

每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？

分析：

假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”，则买6把椅子的价钱只能买6÷2=3张办公桌，那么1650元就相当于8＋3=11张办公桌的价钱。

所以，每张办公桌：

1650÷11=150元，每把椅子：

150÷2=75元。

1、一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天。

甲先做了多少天？

2、一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。

甲打字用了多少小时？

专项练习：

鸡兔同笼类练习题一

1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？

2、鸡兔共笼,兔比鸡多5只,共有脚46只，鸡、兔各多少只？

3、鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？

4、有一群鸡和兔，腿的总数比头的总数的2倍多18只，兔有几只？

5、鸡、兔共100只，鸡的脚比兔的脚少70只，问鸡、兔各有多少只？

6、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

7、鸡兔共有脚68只，若将鸡兔只数互换，则脚有112只，鸡兔原来各有几只?

8、鸡兔同笼，鸡和兔的数量相同，两种动物的腿只数加起来共84只。

鸡兔各多少只？

9、有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。

鸡兔各是多少只？

10、鸡兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只，则鸡多少只？

兔多少只？

鸡兔同笼类练习题二

1、学校买回4个篮球和5个排球一共用185元，一个篮球比一个排球贵8元，篮球的单价是多少元？

2、全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？

3、星星幼儿园买来14套小桌椅，共花1162元。

已知每张桌子比每把椅子贵7元。

桌子和椅子每张多少钱?

4、幼儿园买来20张小桌和30张小凳共用去1860元，已知每张小桌比小凳贵8元，问小桌、小凳的价格各多少？

5、现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个？

6、某校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分，男同学比女同学多多少人？

7、六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？

8、某化工厂甲、乙两车间共110人，现在要求甲车间每8人选出一名代表，乙车间每6人选出一名代表。

两车间一共选出了16名代表。

则甲车间有多少名工人，乙车间有多少名工人？

鸡兔同笼类练习题三

1、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分．小华得了76分，问他做对几题？

2、某学校举行数学京赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分，共有12题，王刚得了84分，王刚做错了几题？

3、某小学举行英语京赛，每做对一题得10分，做错一题倒扣4分，共有15题，王刚得了108分，王刚做错了几题？

4、关东小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？

5、运输花瓶100个，规定每个运费为4元若打碎1个花瓶，则要赔偿10元，这列后共得运费344元，有几个花瓶打碎了？

6、运输衬衫40箱，规定每箱运费10元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿100元，运后运费为180元，损失了几箱？

7、松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天可采12个，它一连采了112个，平均每天采14个，这几天中有多少天是雨天。

鸡兔同笼类练习题四

1、螃蟹有10条腿，螳螂有6条腿和1对翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。

现在这三种动物37只，共有250条腿和52对翅膀。

每种动物各有多少只？

2、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对（蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿,2对翅膀;蝉6条腿,1对翅膀）,三种动物各几只?

3、蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？

4、小东妈妈从单位领回奖金380元，其中有2元、5元、10元人民币共80张，且5元和10元的张数相等，试问，这三种人民币各有多少张？

5、学校组织新年晚会，买了奖品铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花300元。

其中铅笔的支数是圆珠笔支数的4倍。

已知铅笔每支6角钱，圆珠笔每支2元7角，钢笔每支6元3角。

问：

三种笔各有多少支？

6、甲，乙，丙三种练习本每本价钱分别为7角，3角，2角。

三种练习本一共卖了47本，付了21元2角，买的乙种练习本的本数是丙种练习本本数的2倍。

就三种练习本各买了多少本？

时间：

2021.02.11

创作：

欧阳计