五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题附答案.docx

五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题附答案.docx

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五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题附答案

第二单元因数与倍数提高题和奥数题

板块一因数和倍数

例题1•一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？

最大是多少?

练习1•一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少?

例题2•有一个数，它是40的因数，乂是5的倍数，这个数可能是多少?

练习2•既是7的倍数，乂是42的因数，这样的数有哪些?

例题3•妈妈买来30个苹果，让小明把苹果放入篮子里。

不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。

小明共有儿种拿法？

每种拿法每次各拿多少个？

练习3•五

（1）班有学生42人，把他们平均分成儿个学习小组，每组多于2人且少于8人。

可以分成儿个小组呢？

板块二2、3、3的倍数的特征

例题1.一个五位数29ABC（A、B、C是0〜9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数

可能是多少？

练习1•在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，乂同时含有因数3和5。

这个五位数最大是多少？

最小是多少？

例题2.5口口0是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？

最大是多少？

练习2.4口□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是

多少？

最大是多少？

板块三奇数和偶数

例题1.一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。

已知小船最初在南岸。

（1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？

为什么？

（2）小明说摆渡2016次后，小船在北岸。

他说得对吗？

为什么？

练习1•傍晚小亮开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。

你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？

例题2•有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗?

练习2.

（1）1X2+3X4+5X6+-+199X200的和是奇数还是偶数？

（2）有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？

为什么？

例题3•桌子上放着5个杯子，全部是杯底朝上，如果每次翻动2个杯子，称为一次翻动，经过多次翻动能使5个杯子的杯口全部朝上吗？

如果每次翻动3个杯子呢？

练习3.如家宾馆现在有10间客房的灯开着，每次同时拨动4个房间的开关，能不能把这10个房间的灯全部关闭？

如果能，至少需要儿次？

板块四质数和合数

例题1.三个不同质数的和是82,这三个质数的积最大是多少？

练习1.

（1）两个质数的和是小于100的奇数，并且是11的倍数，这两个质数可能是什么数?

（2）两个质数的和是200b这两个质数的积是多少?

（3）—个长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是

多少？

例题2•用0、1、4、5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数。

练习2•用0、1、6、5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数。

例题3•把20以内的质数分别填在下图的O内，每个质数只能用一次，使前后连接的四个数练习3.

（1）从50以内的15个质数中选出10个不同的质数，填在如图的10个（）中,

之和都相等。

使每一组两个质数的和都等于合数48o

（2）&二（□+□+□+□+□+□+□）三口，在□里填20以内各不相同的质数，使&是整数，并且尽可能最大。

板块五分解质因数

例题1.有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人年龄数的乘积是1620,这三

个学生的年龄和是多少？

练习1•明明、壳亮、丽丽三人是好朋友，他们的年龄依次相差1岁，且乘积是504,已知明明最小，丽丽最大，他们各是多少岁？

板块六公因数与最大公因数

例题1.张老师给全班同学带来一些糖果。

如果把110块糖果平均分给同学们，则多5块；如

果把210块糖果平均分给同学们，则正好分完；如果把240块糖果平均分给同学们，则还少

5块。

张老师的班级最多有多少名同学？

练习1.

（1）把38个苹果和31个梨分给若干个小朋友，使每个小朋友分得苹果的个数相同，

梨的个数也相同。

结果苹果多2个，梨多3个，分到苹果和梨的小朋友最多是儿个人？

每人

分得儿个苹果和儿个梨？

（2）赵老师将一条50分米长的红彩带和一条43分米长的绿彩带裁成同样长的小段，结果红彩带余2分米，绿彩带余3分米，所裁的小段最长是多少分米？

各能裁成多少段长度相等的小段？

例题2.求9021和9991的最大公因数。

练习2.求8251和6105的最大公因数。

例题3•有一块木料长3・2米，宽1.44米，高0.96米，现在将这块木料锯成体积相同而且最大的正方体，总共可锯成多少块？

（木料不浪费）

练习3•将一块长120米、宽80米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。

小正方形的面积最大是多少？

例题4.一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米。

要把它截成若干个同样大小的正方形,

纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。

问：

这样的正方形的边长是多少厘米？

练习4.从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。

按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

例题5•如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A、B、C处各装一盏

路灯，这条街道至少要装多少盏路灯？

A315mB

385m

C

练习5•浦东实验学校食堂和宿舍楼四周组成一个长50米、宽40米的长方形，现计划在这个长方形边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相同，你认为可以有儿种不同的植法？

每种植法各需要多少棵杉树？

板块七公倍数与最小公倍数

例题1.一些小朋友分组做游戏，每组4人余2人，每组5人余2人。

你知道最少有多少个小

朋友做游戏吗？

练习1•有一盒铅笔，平均分给4个小朋友余1支，平均分给6个小朋友也余1支。

这盒铅笔最少有多少支？

例题2•—排电线杆，原来每相邻两根之间的距离是30米，现在距离要改为45Xo如果起点的一根电线杆不移动，至少再隔多远乂有一根电线杆不需要移动？

如果这排电线杆共30根,那么有儿根不需要移动？

练习2•园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树（两端都栽），一共栽了74棵。

现在要改成每隔6米栽一棵树。

那么，不用移栽的树有多少棵？

例题3•两个数的最大公因数是13,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?

练习3•两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,求这两个数分别是多少?

例题4•两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少?

练习4•两个数的最大公因数是21,最小公倍数是126,其中一个数是42,另一个数是多少?

例题5•两个数的最大公因数是6,最小公倍数是108,两个数的和是66,这两个数各是多少?

练习5•两个数的最大公因数是18,最小公倍数是180,两个数的差是54,这两个数的和是多

少？

例题6•—盒围棋子，4颗4颗地数多3颗，6颗6颗地数多5颗，15颗15颗地数多14颗,

这盒棋子的数量在150〜200颗之间，问这盒棋子共有多少颗？

练习6.

（1）有一车饮料，3箱3箱地数剩1箱，5箱5箱地数剩1箱，7箱7箱地数剩1箱.这车饮料至少有多少箱？

（2）五

（1）班体育小组的学生站队，站成5列少2人，站成3列多1人。

这些学生最少有多少人？

例题7•加工某种机器零件要经过三道工序。

第一道工序每人每小时可完成6个，第二道工序

每人每小时可完成5个，第三道工序每人每小时可完成15个。

要使加工生产均衡，三道工序

至少各分配儿人？

练习7•包装一件商品需要三道工序。

第一道工序每人每小时可完成20件，第二道工序每人每小时可完成13件，第三道工序每人每小时可完成30件。

要使包装过程均衡，三道工序至少各分配儿人？

例题8•—次会餐共用了75个碗，每人一个饭碗，两人一・个菜碗，三人一个汤碗，四人一碗水果，参加会餐的有多少人？

练习8•—次会餐准备了三种饮料，餐后统计三种饮料共用65瓶，平均每2人饮用1瓶甲饮料，每3人饮用1瓶乙饮料，每4人饮用1瓶丙饮料。

参加会餐的人数是多少？

例题9.某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每8分钟发一辆车，第二条每12分钟发一辆车，第三条每15分钟发一辆车，5:

30三条线路同时发出第一辆车，该站发出最后一辆车是19:

30o请问该站最后一次三辆车同时发出是什么时刻？

练习9•某车站是三条线路公共汽车的起始站，1路车每6分钟发一辆，2路车每5分钟发一辆，3路车每8分钟发一辆，早晨6时三条线路公共汽车同时发第一辆车，问最早在什么时间三条线路公共汽车再次同时发车。

（3分）

例题10•恰好能同时被6、1、8、9整除的四位数有多少个?

练习10•恰好能同时被4、5.6整除的三位数有多少个?

板块八约数个数

1.约数的个数公式：

分解质因数，指数加1再相乘。

2.平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数。

例题1.正整数378000共有多少个正约数？

练习1.求500的约数的个数。

例题2•—个数有15个约数，这个数最小是多少？

次小是多少?

练习2.有10个约数的自然数最小是多少？

例题3•在35的倍数中，恰有33个约数的最小数是多少?

练习3・42的倍数中，恰好有42个约数的最小数是多少？

例题4•三个自然数乘积为86400,且这三个数的约数个数分别为8、9、10•那么这三个自然数分别是多少？

练习4•三个自然数乘积为5184,且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个，A+2个。

那么这三个自然数分别是多少？

板块九约数和

约数和公式：

（1）如果一个数的质因数分解式为a：

Xb3,则约数和为（l+d+£）X（l+b+b'+b3）；

（2）如果一个数的质因数分解式为aXbXc2,则约数和为（l+a）X（l+b）X（l+c+c2）.

例题1•求720所有因数的和。

练习1•求240所有因数的和。

板块十7、9、11、13的倍数的特征

9的倍数的特征：

一个数各位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

11的倍数的特征：

把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0）,那么，原来这个数就一定能被11整除。

7或13的倍数的特征：

若一个数的末三位数字与末三位前的数字所组成的数之差（大减小）是7或13的倍数，则这个数就是7或13的倍数。

例题1.用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？

练习1.用1、2、3、4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法?

竞赛、小升初真题

1.将1〜2011的奇数排成一列，然后按每组1个、2个、3个、2个、1个、2个、3个、2个、

1个、2个、3个、2个……的规律分组如下（每个括号为一组）：

（1）,（3,5）,（7,9,11）,（13,15）,（17）,（19,21）,（23,25,27）,（29,31）,（33）,（35,37）,（39,41,43）,（45,47）,…那么最后一个括号里的各数的和是多少？

（2011年全国“希望杯”数学邀请赛）

2.

不能是13个，也不能是5

在10个盒子里放乒乓球，每个盒子里球的个数不能少于11个,

的倍数个，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。

（2010华罗庚金杯）

3.45X28X250X（）,要使这个连乘算式的积的最后五个数字都是0,括号里最小应填

什么？

（2015年江苏省《小学生数学报》“读报知识通讯赛”）

4.若A、B、C三种文具分别有38个、78个和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A,6个B和20个C,则学生最多有多少人？

（2015年全国“希望杯”数学邀请赛）

5・已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公因数是30。

若A二90,则B二<>（2009年“希

望杯”）

6•已知自然数a和b的最小公倍数是140,最大公因数是5,求a+b的最大值是多少。

（2015年全国“希望杯”数学邀请赛）

7.6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硕币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样

高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角

2分，那么这三种硬币总共有枚。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

8•用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有种不同的拼法。

（上海市第五届小

学数学竞赛）

9•说明：

360这个数的约数有多少个？

这些约数之和是多少？

（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题。

）

挑战极限

1.已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公因数的差为114,求这两个自然数。

2•大小两寺敲晨钟，报时警世时光匆，约定晨时同起声，大寺三分敲一下，小寺四分应一声,大小各敲十二通，一人居在两寺中，可闻多少晨钟声。

［注释］有大小两座寺院敲晨钟用来报时，大寺院每3分钟敲一下，小寺院每4分钟敲一下,两寺各敲12下，居住在两寺中间的人能听到多少声钟声？

3•我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物儿何？

”这里的“儿何”是指多少的意思。

其译成现代议语言就是有一个数，除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数。

4•两个整数的差为7,他们的最小公倍数和最大公约数的差是689,则这两个数分别是多少?

本讲作业

1.体育课上，40各学生面向老师站成一排，按老师口令，从左到右报数：

1,2,3……老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着乂让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？

2•欢欢电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。

一个人拿了三张相邻单号的电影票，这三个号码相加的和等于9,问这三个座位分别是儿号？

若三个号码相加的和等于21,则这三个座位分别是儿号？

3.小天使幼儿园把49块水果糖和29块奶糖分别平均分给小班的小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖少了1块，小班最多有多少名小朋友？

4.用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。

5•小明有一些课外读物，3本3本地数剩2本，3本5本地数剩3本，7本7本地数剩2本,小明至少有多少本课外读物？

6•建安小学校舞蹈队的人数在90〜110人之间，集体舞表演排队时，如果排成3列，人数不多也不少；如果排成5列，其中一列少2人；如果排列7列，其中一列少4人。

你能推算出正确的人数吗？

7•父子两人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，在120X内一

共留下多少个脚印？

8.有8个约数的最小的奇数是多少?

9.求2520所有因数的和。

板块一因数和倍数

例题1.150-r18=86,2504-18=1316.

18X9二162,18X10=180,18X11=198,18X12二216,18X13二234.

答：

这个数可能是162,180,198,216或234,最大是234.

练习1.1104-25=410,1604-25=610.

25X5二125,25X6二150.

答：

这个数是125或150.

例题2.40的因数有：

1,2,4,5,8,10,20,40.

40以内（包括40）5的倍数有：

5,10,15,20,25,30,35,40.

所以既是40的因数，乂是5的倍数的数有5,10,20,40.

答：

这个数可能是5,10,20,40.

练习2.42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42,其中7的倍数有7,14,21,42.

答：

这样的数有7,14,21,42.

例题3.30的因数有：

1,2,3,5,6,10,15,30共8个。

8-2=6种

答：

小明共有6种拿法，每种拿法每次分别拿2个、3个、5个、6个、10个或15个。

练习3.42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42。

424-3=14（个）424-6=7（个）424-7=6（个）

答：

可以分成14个、7个或6个小组。

板块二2、5、3的倍数的特征

例题1.根据这个数同时是2和5的倍数，可知C二0.

再根据2+9+A+B+0的和是3的倍数，可知：

2+9+A+B+0二15；2+9+A+B+0二18；2+9+A+B+0二27；可确定A、B的值。

这个数可能是29130,29310,29160,29610,29790,29970.

练习1.这个五位数最大是17970,最小是17010o

解析：

这个数是偶数，也就是2的倍数，同时这个数是5的倍数，所以这个数的个位

数字为0：

乂因为这个五位数是3的倍数，所以这个五位数各位上的数字和是3的倍

数，即1+7+（）+（）+0的和应是3的倍数，1+7=8,8+9+7二24,8+0+1二9；所

以这个五位数最大是17970,最小是17010。

例题2.这个四位数最小5010,最大是5880.

练习2.这个四位数最小4020,最大是4800.

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板块三奇数和偶数

例题1.

（1）因为摆渡奇数次后，小船在北岸。

15是奇数，所以摆渡15次后，小船在北岸。

（2）小明说得不对，因为2016是偶数，而摆渡偶数次后，小船在南岸。

练习1•灯就该亮着。

例题2.9个奇数相加结果一定是奇数。

所以不能做到。

练习2.

（1）偶数。

每个乘法算式都是一个奇数和一个偶数相乘，积都是偶数。

而题中一共有（2004-2）个乘法算式，偶数个偶数相加的和仍是偶数.

（2）不能做到。

因为奇数个奇数的和是奇数，分9次燃放，每次燃放奇数个，一共燃放的烟花一定是奇数个，而2016是偶数，所以做不到。

例题3.：

如果每次翻动2个杯子，无法做到使5个杯子的杯口全部朝上。

如果每次翻动3个杯子，可以使5个杯子的杯口全部朝上。

具体翻动方法：

将5个杯子按1、2、3、4、5编号。

第一次翻动：

1、2、3

第二次翻动：

1、2、4

第三次翻动：

1、2、5

所以翻动三次能使5个杯子的杯口全部朝上。

解析：

先拿一个杯子做实验：

看看有什么发现：

次数

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

第6次

•••

杯口

朝上

朝下

朝上

朝下

朝上

朝下

可以看出：

要使一个杯子的杯口朝上，必须将杯子翻动奇数次。

那么要使5个杯子的杯口全部朝上，翻动的总次数应该是5个奇数次的和，5个奇数的和仍是奇数，也就是说，只有经过奇数次翻动才能使5个杯子的杯口全部朝上。

而第一种翻法是每次翻动2个杯子，无论是奇数个2,还是偶数个2,结果都是偶数，这与前面的分析有矛盾。

所以如果每次翻动2个杯子，那么无论怎样翻动，都不能使5个杯子的杯口全部朝上。

而第二种翻法是每次翻动3个杯子，当翻动的次数是奇数次时，其结果是奇数，符合使杯口全部朝上的要求，所以能够翻动成功。

练习3.把每间客房的灯分别编号为1、2、3、……10o

第一次：

关闭1、2、3、4；

第二次：

关闭5、6、7,开4；

第三次：

关闭4、8、9、10。

答：

能全部关闭，至少需要3次。

板块四质数和合数

例题1.2X37X43二3182答：

这三个质数的积最大是3182。

解析：

除2外所有的质数都是奇数，三个质数相加的和是偶数，所以必定有一个质数是2。

82-2=80,剩下的两个质数的和是80,可能的情况是7和73,13和67,19和61,37和43这四种情况。

因为两个数的差越小，积就越大，所以当这两个质数是43和37时，才能使这三个质数的积最大。

练习1.

（1）这两个质数可能是2和31或2和53或2和97。

解析：

两个质数的和是奇数，这两个质数中一定有一个质数是偶数，而偶数中的质数只有2—个。

所以这两个质数中一个是2。

根据两个质数的和乂是11的倍数，可知它的和可能为11,33,55,77,99o11-2=9,33-2=31,55-2=53,77-2=75,99-2=97□而9和

75合数，所以这两个质数可能是2和31或2和53或2和97。

（2）根据整数的奇偶性可知，这两个质数分别是2和1999.

2X1999二3998.答：

这两个质数的积是3998.

（3）364-2=18,18二13+5二11+7.面积最大为》11X7=77（平方厘米）.

例题2.这两个质数分别是5和401.

解析：

以0和4结尾的数一定不是质数，所以这两个质数的个位上分别是0和5,又因为以5结尾的数只有5是质数，所以另外一个质数是401.

练习2.这两个质数分别是5和601.

解析：

20以内的质数有：

2,3,5,7,11,13,17,19。

根据图示得知：

要求3组数的和相等，在这3组的四个加数中，第1个和第4个加数是公共的，所以要从20以内的8个质数中找出3组两个数相加和相等的6个数；通过观察发现：

5+19二7+17二11+13,所以第一个加数和第四个加数为2和3o

练习3.

（1）43+5,41+7,37+11,31+17,19+29.

（2）（2+3+5+11+13+17+19）4-7

板块五分解质因数

例题1.1620=2X2X3X3X3X3X5=9X12X159+12+15二36（岁）

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答：

这三个学生年龄的和是36岁。

解析：

把一个合数写成儿个质数相乘的形式叫做分解质因数。

所以可先把1620分解质因数，即1620=2X2X3X3X3X3X5。

因为三个学主的年龄相差3岁，所以可把这7个质因数重新组合为：

3X3=9,2X2X3二12,3X5二13。

所以三个学生的年龄依次为9岁、12岁、15岁。

最后再求三个年龄数的乘积。

练习1.504=2X2X2X3X3X7,7X8X9

答：

明明7岁，亮亮8岁，丽丽9岁。

板块六公因数与最大公因数

例题1.110-5=105（块）240+5二245（块）（105,210,245）=35

答：

105、210和245的最大公因数是33,所以张老师的班级最多有35名同学。

练习1.

（1）38-2=36（个）31-3=28（个）（36,28）=4

苹果：

（38-2）4-4=9（个）梨：

（31-3）4-4=7（个）

（2）50-2=48（分米）43-3=40（分米）（48,40）=8

484-6=6（段）404-8=5（段）

答：

所裁的小段最长是8分米。

红彩带能裁成6段，绿彩带能裁成5段。

例题2.用辗转相除法求它们的最大公因数。

第一步:

用较大数除以较小数：

99914-9021=1……970；

第二步：

用上一步的除数除以余数：

90214-970=9……291；

第三步：

同上一步：

9704-291=397；

第四步：

同上一步：

2914-97=3.

直到整除为止，最后一个除数97就是9021和9991的最大公因数。

练习2.8251-r6105=12146；6105一2146=218