小学五年级的奥数题因数及倍数docx.docx
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小学五年级的奥数题因数及倍数docx
因数与倍数相关习题
（1）
一、填空题
1．28的所有因数之和是_____.
2.用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.
3.一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.
4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.
5.两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____.
6.现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相
等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.
7.一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.
8.长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块
（不余料）_____块.
9.张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.
10.含有6个因数的两位数有_____个.
11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但两两均不互
质，请问有多少组这种解？
12．和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？
13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳41米，黄鼠狼每次跳23米，
24
它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔123米设有一个陷井,当它们
8
之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
14.已知a与b的最大公因数是12,a与c的最小公倍数是300,b与c的最
小公倍数也是
300,
那么满足上述条件的自然数
ab
c共有多少组
?
,
（例如:
a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数
组）
———————————————答案——————————————————————
答案:
1．56
28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2.4
因105的因数有
105和1,35和3,21与
1,3,5,7,15,21,35,105
5,15与7.所以能拼成
能拼成的方形的与分是
4种不同的方形.
3.64
因28=227,所以28的因数有6个:
1,2,4,7,14,28.在数字
中，只有6与4之，或者8与3之是24，又6-4=2，8-3=5.
故符合目要求的两位数有64.
0,1,2,
⋯，9
4.28
因667=2329,所以班生每人种的棵数只能是667的因
数:
1,23,29,667.然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵,全班人数是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.
当每人种23棵,全班人数是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合
目要求.
当每人种1棵,全班人数是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.
所以,一班共有28名学生.
5.40或20
两个自然数的和是50,最大公因数是
35,它的差分（45-5=）40,（35-15=）20,
5,两个自然数可能是
所以填40或20.
5和
45,15
和
[注]这里的关键是依最大公因数是
5的条件
将
50分拆为两数之和
:
50=5+45=15+35.
6.36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子
相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108
的公因数.因要求最多可分多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的
最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分36个小朋友.
每个小朋友可分得梨:
3636=1（只）
每个小朋友可分得桔子:
10836=3（只）
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7.56
剪出的正方形布片的能分整除方形的48厘米及42厘米,所以
它是48与42的公因数,目又要求剪出的正方形最大,故正方形的是48与
42的最大公因数.
因48=2
2
22
3,42=2
37,所以48与42的最大公因数是
6.,最
大正方形的是
6厘米.由此可按如下方法来剪:
每排剪8,可剪7
共可剪（48
6）
（42
6）=8
7=56（）正方形布片.
8.
200
根据没有余料的条件可知、和高分能被正方体的棱整除,即正方体的棱是180,45和18的公因数.了使正方体木尽可能大,正方体的棱是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱是9厘米.,180厘米可公成20段,45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.根木料共分割成（1809）（459）（189）=200棱是9厘米的正方体.
9.150
根据3与5的最小公倍数是15,老傅以5元15个苹果,又以6元出15个苹果,,他15个苹果与出利1元.所以他利10元必出150个苹果.
10.
16
含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:
一是有5个相同的质因数连
乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，
如果用M表示含有6个因数
的数，用a和b表示M的质因数，那么
M
a5或M
a2
b
因为M是两位数，所以Ma5只有一种可能
M
5
，而Ma
2
=
=2
=
b就有以下15
种情况：
M22
3,M22
5,M22
7，
M
22
11,M
22
13,M
22
17，
M
22
19,M
22
23,M
32
2，
M
32
5,M
32
7,M
3211，
M52
2,M52
3,M72
2.
所以,含有6个因数的两位数共有
15+1=16（个）
11.三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12.四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得
1111=11101
最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,1012,1013,1015,
它们的和恰好是
101（1+2+3+5）=10111=1111,
它们的最大公因数为101.所以101为所求.
13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是23与123的“最小公倍数”99，
4
8
4
即跳了99
11=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是
41
和123
的
4
4
2
8
“最小公倍数”99，即跳了99
9=11次掉进陷井.
2
2
2
经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是41
9=（米）.
2
14.先将12、300分别进行质因数分解：
2
12=23
300=2
2
3
2
5
（1）确定a的值.依题意a只能取12或125（=60）或1225（=300）.
（2）确定b的值.
当a=12时,b可取12,或12
5,或12
25；
当a=60,300时，b都只能取12.
所以,满足条件的a、b共有5组：
a
a
a
a
a
=12
=12
=12
=60
=300
b
b
b
b
b
=12,
=60,
=300,
=12,
=12.
（3）确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
52，52
，
22，52
2
2
2
，即，，，，，
2
5
2
3，52
3，5
2
3
255010075150300.
所以满足条件的自然数
a、b、c
共有
5
（组）
6=30
因数与倍数相关习题
（2）
一、填空题
1．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还
缺2个，一共有_____个小朋友.
2.幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____
人.
3.用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____块.
4.用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____块.
5.一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.
6.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得
12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.
7.这样的自然数是有的:
它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍
数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是_____.
8．能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.
9.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公因数是1,那么至少要分成_____组.
10.210与330的最小公倍数是最大公因数的_____倍.
二、解答题
11．公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6：
00三条路线同时发出第一辆
车.该总站发出最后一辆车是20:
00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.
12.甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少?
乙数是多少?
13.用5、15、11分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数
285620
最小是几?
14.有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：
“这个数能被2整除”，3号说：
“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:
只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:
（1）说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
（2）如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.9
若梨减少2个,则有20-2=18（个）;若将苹果增加2个,则有25+2=27（个）,这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.
2.36
根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是
115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.
所以,这个大班的小朋友最多有36人.
3.56
所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.
先求14与16的最小公倍数.
21614
87
故14与16的最小公倍数是287=112.
因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板
112112=78=56（块）
1614
4．5292
与上题类似，依题意，正方体的棱长应是
9，6，7的最小公倍数，9，6，7
的最小公倍数是
126.所以,至少需要这种长方体木块
126
126
126=142118=5292（块）
9
6
7
[注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，
后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题
是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.
5.
90
依意知,从第一次同到第二次同的是3,5,9,15
和10的
最小公倍数.
因3,5,9,15
和10的最小公倍数是90,所以从第一次同后
90分
又同第二次.
6.
5
依意得
花生粒数=12第一群猴子只数
=15第二群猴子只数
=20第三群猴子只数
由此可知,花生粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生粒数是60,120,180,⋯⋯，那么
第一群猴子只数是5，10，15，⋯⋯
第二群猴子只数是4，8，12，⋯⋯
第三群猴子只数是3，6，9，⋯⋯
所以，三群猴子的只数是12，24，36，⋯⋯.因此,平均分三群猴子,每只猴子所得花生粒数是5粒.
7.421
依意知,个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以个数是421.
8.999768
由意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.
因48=541⋯⋯231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是
1848的
541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是
999999-231=999768.
9.
3
根据目要求,有相同因数的数不能分在一
26=213,91=713,143=1113,所以,所分数不会小于3.下面出一种分方案:
（1）26，33，35；
（2）34，91；（3）63，85，143.
因此,至少要分成3.
[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如
15=35，21=3
7，
35=57，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.
除了上述分法之外,有多种分法,下面再出三种:
（1）26,35；33，85，91；34，63，143.
（2）85,143,63；26，33，35；34，91.
（3）26,85,63；91，34，33；143，35.
10.77
根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”，将210330分解因数，再行合有
210330=1
=1
=（235）（235711）
因此，它的最小公倍数是最大公因数的711=77（倍）.
10.根据意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三同出后,每隔80分又同.
从早上6:
00至20:
00共14小,求出其中包含多少个80分.
601480=10⋯40分
由此可知,20:
00前40分,即19:
20最后一次三同的刻.
12.甲乙两数分除以它的最大公因数,所得的两个商是互数.而两
个互数的乘,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它的最大公因数所得的商
——12.一的根据是:
（我以“”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数）甲数乙数=倍
甲数乙数倍约
=，所以：
约约约约
甲数
乙数倍
甲数
乙数
约
约=约
，
约=12
约
将12成互的两个数的乘：
①12=43，②12=112
先看①,明甲乙两数：
一个是它最大公因数的4倍，一个是它最大公因数的3倍.
甲乙两数的差除以上述互的两数（即4和3）之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.
18（4-3）=18
甲乙两数,一个是:
183=54，另一个是：
184=72.
7
再看②,18（12-1）=1,不符合意,舍去.
13.依意,所求最小分数M,
N
M
5
a
M
15b
M
1
c
N
28
=
N
=
1
20
=
56
N
即M
28
a
M
56
b
M
20
c
N
5
=
N
15
=
N
21
=
其中abc
整数
.
因M是最小
且abc
是整数
所以M是
5,15,21
的最小公倍数
N是
N
M=105=26
1
28,56,20的最大公因数,因此,符合条件的最小分数:
N4
4
14.
（1）根据2号~15号同学所述,将合数4,6,⋯，15分解因数后，
由1号同学果，行分析推理得出的.
4=22,6=2
3,8=23,9=32,10=2
5,12=22
3,14=2
7,15=3
5
由此不断定得不的两个同学的号是
8与9两个自然数（可逐次
排除,只有8与9足要求）.
（2）1号同学所写的自然数能被
2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,1512个数
整除,也就是它的公倍数.它的最小公倍数是
3=60060
因为60060是一位五位数
号同学写的五位数是60060.
而这
12个数的其他公倍数均不是五位数
所以
1
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