集合的运算全集补集沪教版必修1教案.docx

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集合的运算全集补集沪教版必修1教案

集合的运算（全集、补集）沪教版必修1教案

子集、全集、补集

教学目标：

理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系.

教学重点：

子集的概念，真子集的概念.

教学难点：

元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.

课型：

新授课

教学手段：

讲、议结合法

教学过程：

一、创设情境

在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集二、活动尝试

12．用列举法表示下列集合：

①{x|x3?

2x2?

0}{-1，1，2}

②数字和为5的两位数}{14，23，32，41，50}

11111{1,,,,{x|x?

N*且n?

5}n3．用描述法表示集合：

2345

4．用列举法表示：

“与2相差3的所有整数所组成的集合”{x?

Z||x?

2|?

3}={-1，5}

5．问题：

观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）

（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}

（2）A=N，B=R

（3）A={xx为北京人}，B={xx为中国人}

（4）A＝?

，B＝{0}

（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）

三、师生探究

通过观察上述集合间具有如下特殊性

（1）集合A的元素-1，1同时是集合B的元素.

（2）集合A中所有元素，都是集合B的元素.

（3）集合A中所有元素都是集合B的元素.

（4）A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.

由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.

四、数学理论

1.子集

定义：

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素

都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集

合A.记作A?

B（或B?

A），这时我们也说集合A是集合B的子集.

请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.

2．真子集：

对于两个集合A与B，如果A?

B，并且A?

B，我们就说集合A是集合B

的真

子集，记作：

A或B读作A真包含于B或B真包含这应理解为：

若A?

B，且存在b∈B，但b?

A，称A是B的真子集.3．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.

如：

A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.

4．说明

（1?

（2若A≠Φ，则Φ（3A?

（4）易混符号

①“?

”与“?

”：

元素与集合之间是属于关系；1?

N,?

N,N?

R,Φ?

R，{1}?

{1，2，3}

②{0}与Φ：

{0}是含有一个元素0的集合，Φ如Φ?

Φ={0}，Φ∈{0}

五、巩固运用

例1

（1）写出N，Z，Q，R

（2）判断下列写法是否正确①Φ?

A②Φ③A?

A④A解

（1）：

（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；

思考1：

B与B?

A能否同时成立？

结论：

如果A?

B，同时B?

A，那么A＝B.

如：

{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等.问：

A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）

稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.

思考2：

若AB，BC，则AC？

真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.

例2写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

分析：

寻求子集、真子集主要依据是定义.

解：

依定义：

{a，b}的所有子集是?

、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有?

、{a}、{b}.变式：

写出集合{1，2，3}的所有子集

解：

Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}

猜想：

（1）集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？

（2?

16）

（2）集合4?

a1,a2?

an?

的所有子集的个数是多少？

（2n）

注：

如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.

六、回顾反思

1．概念：

子集、集合相等、真子集

2．性质：

（1?

（2（A≠Φ）（3A?

（4）含n个元素的集合的子集数为2；非空子集数为2?

1；真子集数为2?

1；非空真子集数为2?

nnnn

七、课外练习

1．下列各题中，指出关系式A?

B、A?

B、AB、AB、A＝B中哪些成立：

（1）A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}.

解：

因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，故A?

B及AB成立.

（2）A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}.

解：

因x是8的约数，则x：

1，2，4，8

那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A＝B.式子A?

B、A?

B、A＝B成立.

2．判断下列式子是否正确，并说明理由.

（1）2?

{x｜x≤10}

解：

不正确.因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集.

（2）2∈{x｜x≤10}

解：

正确.因数2是集合{x｜x≤10}中数.故可用“∈”.

（3）{2}{x｜x≤10}

解：

正确.因{2}是{x｜x≤10}的真子集.

（4）?

∈{x｜x≤10}

解：

不正确.因为?

是集合，不是集合{x｜x

≤10}的元素.

（5）?

{x｜x≤10}

解：

不正确.因为?

是任何非空集合的真子集.

（6）?

{x｜x≤10}

解：

正确.因为?

是任何非空集合的真子集.

（7）{4，5，6，7}{2，3，5，7，11}

解：

正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.

（8）{4，5，6，7}{2，3，5，7，11}

解：

正确.因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.

3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形}D={正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系。

4．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当A?

B时，求实数m的取值范围.分析：

该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合

解：

将A及B两集合在数轴上表示出来

要使A?

B，则B中的元素必须都是A中元素

即B中元素必须都位于阴影部分内

那么由x＜－2或x＞3及x＜－4知m

－4＜－2即m＞8

故实数m取值范围是m＞8

5．满足

解析:

由

又由A?

{a,b,c,d}的集合A有多少个?

A可知,集合A必为非空集合;A?

{a,b,c,d}可知,此题即为求集合{a,b,c,d}的所有非空子集。

满足条件的集合A有

{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}共十五个非空子集。

n此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式2?

1进行检验，2?

15，正确。

答案:

x,y。

6．已知A?

{x,y},B?

{1,xy}，若A?

B，求

解析:

B，即A.B两集合的元素相同，有两种可能：

xy?

xy解得?

R；?

1解得?

∴x?

1或y?

1。

答案:

1或y?

1。

八、教学后记

本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，

1.3

（1）集合的运算（交集、并集）

一、教学内容分析

本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。

可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：

求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程

的解集的并集。

本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。

突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。

利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．二、教学目标

理解交集与并集的概念;掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。

发展运用数学语言进行表达、交流的能力。

通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。

三、教学重点及难点

交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；交集与并集概念、符号之间的区别与联系。

四、教学流程设计

的解集，则是求方程

和

五、教学过程设计

一、复习回顾思考并回答下列问题1、子集与真子集的区别。

2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。

3、空集的特殊意义。

二、讲授新课关于交集1、概念引入

（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课本p12）

10的正约数}B={xx为15的正约数}C={xx为10与15的正公约数}A={xx为

解答：

A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：

C中元素是A与B中公共元素。

（2）用图示法表示上述集合之间的关系

，，2、概念形成?

交集定义

一般地，由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合，

叫做A与B的交集。

记作A∩B（读作“A交B”），即：

A∩B={x|x∈A且x∈B}（让学生用描述法表示）。

交集的图示法

A,A?

BA?

请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

交集的性质（补充）

由交集的定义易知，对任何集合A，B，有：

A∩A=A，A∩U=A，A∩φ=φ；②A∩B?

A，A∩B?

B；③A∩B=B∩A；④A∩B∩C=（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；⑤A∩B=A?

B。

4、例题解析

例1：

已知A?

{x?

2}，B={x?

0}，求A?

B。

（补充）

解：

{x|?

[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。

②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。

例2：

设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求

A∩B。

（补充）

解：

A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}

={x|x是等腰直角三角形}

[说明]：

此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B

例3：

设A、B两个集合分别为A?

（x,y）2x?

10，B?

{（x,y）3x?

5}，求A∩B，

并且说明它的意义。

（课本p11例1）

2x?

10?

解：

（x,y）?

={（3，4）}

3x?

[说明]A?

B表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集

合。

例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}，求（A∩B）∩C，A∩（B∩C），A∩B∩C。

解：

（A∩B）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}；A∩（B∩C）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A∩B∩C=（A∩B）∩C=A∩（B∩C）={2}。

三、巩固练习练习1.3

（1）关于并集

1、概念引入

引例：

考察下面集合的元素，并用列举法表示

A={xx?

0}，B=xx?

0，C={x（x?

2）（x?

3）?

0}答：

A=?

，B={-3}，C={2，-3}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：

C中元素由A或B的元素构成。

2、概念形成

并集的定义

一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

并集的图示法

A,A?

B,A?

请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

并集的性质（补）

①A∪A=A，A∪U=U，A∪φ=A；②A?

（A∪B），B?

（A∪B）；③A∪B=B∪A；④A∩B?

A∪B，当且仅当A=B时，A∩B=A∪B；⑤A∪B=A?

A.[说明]交集与并集的区别（由学生回答）（补）交集是属于A且属于B的全体元素的集合。

并集是属于A或属于B的全体元素的集合。

x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义：

即下图所示。

4、例题解析

例5：

设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。

（补充）解：

∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，

则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。

[说明]①运用文恩解答该题。

②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。

例6：

设A={a,b,c,d}，B={b，d，e，f}，求A∩B,A∪B。

（课本p12例2）

解：

A∩B={b,d}，则A∪B={a,b,c,d,e,f}。

例7：

设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角}，求A∪B。

（补充）解：

A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。

例8：

设A={x|-2

（课本P12例3）解：

A∪B=R

[说明]本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。

例9、已知A={x|x=2k,k∈Z或x∈B},B={x|x=2k-1,k∈Z},求A∪B。

（课本P12例4）[说明]解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。

三、巩固练习：

1.3

（2）补充练习

1、设A={x|-1

解：

将A={x|-1

第2讲集合的运算

（一）交集：

1、定义：

A∩B={x︱x∈A且x∈B}

说明：

（1）x∈A∩B?

x∈A且x∈B

（2）x?

A∩B?

A或x?

（3）A∩B实质上是A、B的公共部分

图示：

2、性质；；；

例题

1、设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数}，则M∩N=（）

A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D{1,2,8}

2、若集合，，则=（）

A.B.C.D.

3、设A={（x，y）︱y=?

4x+6},B={（x，y）︱y=5x?

3}，求A∩B

4、已知集合A={x︱︱x?

a︱≤1}，B={x︱x2?

5x+4≥0}，若A∩B=φ数a的取值范围？

（二）并集：

1、定义：

A∪B={xx∈A或x∈B}

说明：

（1）x∈A∪B?

x∈A或x∈B

（2）x?

A∪B?

A且x?

（3）A∪B实质上是A、B凑在一起

图示：

2、性质；；；；

例题

1、若集合，，则_____________

2、已知集合，，且，则实数a的取值范围是_______.

3、集合,,若,则的值为（）

A.0B.1C.2D.4

4、,且,则m的取值范围是（）

A.B.C.D.，则实

（三）补集：

全集：

由（所考虑的）所有元素构成的集合。

通常用U表示

补集：

显然：

当心：

考虑补集时，一定要注意全集；但全集因题而异。

注意：

德?

摩根定律（图示证明，问逻辑证明步骤）

；

例题

1、如果集合，，，那么（）等于（）

（A）（B）（C）（D）

2、若全集，集合，则=.

3、设全集，，

思考题：

已知集合A={x︱x2+3x+2=0},B={x︱ax?

6=0}，是否存在这样的实数a，使得A∪B=A成立？

试说明你的理由。

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

含绝对值的不等式的解法

不等式

解集

或

把看成一个整体，化成，型不等式来求解

（2）一元二次不等式的解法

判别式

二次函数的图象

一元二次方程的根

（其中

无实根

的解集

或

的解集

课后练习

1、已知，则_________

2、设，，则A（B=

3、已知集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x＜a，如果A∩B=A，那么a的取值范围是.

4、已知集合，若，则实数=.

5、已知集合A、B，若用A、B的式子表示右图中U

阴影部分所表示的集合，则这个表达式可以为

。

6、已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},B∩A={9},则A=（

（A）{1,3}（B）{3,7,9}（C）{3,5,9}（D）{3,9}

7、设集合M={x|}，N={x|1≤x≤3},则M∩N=（）

A．[1,2）B．[1,2]C．（2,3]D．[2,3]

8、下列表示图形中的阴影部分的是（）

9、设全集，设全集，，

求：

（1）

（2）。

10、设集合，，

若，求。

11、已知全集U=R，集合A={x｜-3

（1）若，求a的取值范围

（2）若,求a的取值范围

）

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