立体几何初步第1章 1111.docx
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立体几何初步第1章1111
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台
学习目标
1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.
知识点一 棱柱的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案
（1）有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；
（2）其余各面都是平行四边形.
梳理 棱柱的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱柱
由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱
如图可记作：
棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′
底面：
平移起止位置的两个面，侧面：
多边形的边平移所形成的面，
侧棱：
相邻侧面的公共边，
顶点：
侧面与底面的公共顶点
底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
知识点二 棱锥的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
梳理 棱锥的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱
锥
当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体叫做棱锥
如图可记作：
棱锥S—ABCD
底面（底）：
多边形面，
侧面：
有公共顶点的各个三角形面，
侧棱：
相邻侧面的公共边，
顶点：
由棱柱的一个底面收缩而成
按底面多边形的边数分：
三棱锥、四棱锥、……
知识点三 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？
答案
（1）区别：
有两个面相互平行.
（2）联系：
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体.
梳理 棱台的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱
台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台
如图可记作：
棱台ABCD—A′B′C′D′
上底面：
原棱锥的截面，
下底面：
原棱锥的底面，
侧面：
其余各面，
侧棱：
相邻侧面的公共边，
顶点：
侧面与上（下）底面的公共顶点
由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台、……
知识点四 多面体
思考 一般地，怎样定义多面体？
围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？
答案 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的顶点.
梳理
类别
多面体
定义
由一些平面多边形围成的几何体
图形
相关
概念
面：
围成多面体的各个多边形，
棱：
相邻两个面的公共边，
顶点：
棱与棱的公共点
类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
命题角度1 棱柱的结构特征
例1 下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.
答案 ③④
解析 ①错误，底面可以不是平行四边形；②错误，底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义可知；④正确，被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.
反思与感悟 关于棱柱的辨析
（1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.
①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.
（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
特别提醒：
求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.
跟踪训练1 关于棱柱，下列说法正确的是__________.（填序号）
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；
③上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体.
答案 ②
解析 ①不正确，反例如图所示.
②正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形.
③不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.
命题角度2 棱锥、棱台的结构特征
例2
（1）判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？
解 该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求：
各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥.
（2）如图所示的多面体是不是棱台？
解 根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：
一是共点，二是平行.即各侧棱的延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可.据此，图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不是棱台；图②中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图③中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.
反思与感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
（2）直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
答案 ①②
解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被阴影部分所在的平面截成的两部分是两个三棱锥.
类型二 棱柱、棱锥、棱台的画法
例3 画出一个三棱柱和一个四棱台.
解
（1）画三棱柱可分以下三步完成：
第一步，画上底面——画一个三角形；
第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步，画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点（如图所示）.
（2）画四棱台可分以下三步完成：
第一步，画一个四棱锥；
第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；
第三步，将多余的线段擦去（如图所示）.
反思与感悟 在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确.
跟踪训练3 画一个六面体.
（1）使它是一个四棱柱；
（2）使它是由两个三棱锥组成；
（3）使它是五棱锥.
解 如图所示.图1是一个四棱柱.
图2是一个由两个三棱锥组成的几何体.
图3是一个五棱锥.
类型三 空间问题与平面问题的转化
例4 如图所示，在侧棱长为2
的正三棱锥V—ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值.
解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示.
线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
取AA1的中点D，
则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，
可知AD＝3，则AA1＝6.
即截面△AEF周长的最小值为6.
反思与感悟 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
（1）将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.
（2）将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.
（3）结合已知条件求得结果.
跟踪训练4 如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________.
答案
解析 将三棱柱侧面沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝
＝
.
1.有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有________个.
答案 0
解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.
2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个.
答案 4
解析 三棱锥的每一个面均可作为底面.
3.下列说法错误的是________.（填序号）
①多面体至少有四个面；
②九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形；
③长方体、正方体都是棱柱；
④三棱柱的侧面为三角形.
答案 ④
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故④错.
4.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台.（仅填相应序号）
答案 ①③④ ⑥ ⑤
解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
5.下图中不可能围成正方体的是________.（填序号）
答案 ④
1.棱柱、棱锥及棱台定义的关注点
（1）棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面（底面）互相平行.
②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行.
（2）棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面（底面）是多边形.
②其余各面（侧面）是有一个公共顶点的三角形.
（3）棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的.
2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.
3.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.
课时作业
一、填空题
1.下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________.（填序号）
答案 ①
解析 结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①.
2.一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有______个顶点，顶点最少的一个棱台有______条侧棱.
答案 5 4 3
3.下列描述中，是棱柱的结构特征的有________.（填序号）
①有两个面互相平行；
②侧面都是四边形；
③每相邻两个侧面的公共边都互相平行；
④所有侧棱都交于一点.
答案 ①②③
解析 由棱柱的定义知，①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行.
4.具备下列条件的多面体是棱台的是________.（填序号）
①两底面是相似多边形的多面体；
②侧面是梯形的多面体；
③两底面平行的多面体；
④两底面平行，且侧棱延长后交于一点的多面体.
答案 ④
解析 棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件：
一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后交于一点.③只具备一个条件，①②两条件都不具备.
5.下图中不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是________.（填序号）
答案 ③④
解析 ③④中的四个三角形有公共顶点，无法折成三棱锥，故不是正四面体的展开图.
6.在五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________.
答案 10
解析 如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：
AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，所以共2×5＝10（条）.
7.如图，将三棱台ABC—A′B′C′沿A′BC截去三棱锥A′—ABC，则剩余部分是_____.
答案 四棱锥A′—BCC′B′
解析 在图中截去三棱锥A′—ABC后，剩余的是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥.
8.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4，且截去的棱锥的高是3m，则棱台的高是________cm.
答案 3
解析 由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1∶4，所以上、下底面的边长比为1∶2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2，则棱台的高是3cm.
9.如图，M是棱长为2cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
答案
解析 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何图形是________.（写出所有正确结论的序号）
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
答案 ①③④⑤
解析 ①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD.故填①③④⑤.
二、解答题
11.根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称.
（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.
解
（1）这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.
（2）这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面.
（3）这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面.
12.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.
问：
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面，每个面有何特点？
（3）每个面的面积为多少？
解
（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.
（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
（3）S△PEF＝
a2，S△DPF＝S△DPE＝
×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE
＝（2a）2－
a2－a2－a2＝
a2.
13.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中.
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第
（1）题和第
（2）题对不对？
解
（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形.
（2）不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台.故此时
（1）对，
（2）不对.
三、探究与拓展
14.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
答案 60°
解析 将平面图形翻折，折成空间图形，可得∠ABC＝60°.
15.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？
如果是，是几棱柱？
为什么？
（2）用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解
（1）是棱柱.是四棱柱.因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形（四边形），且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱.
（2）各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.
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