立体几何初步第1章 1211Word下载.docx

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AB∩BC＝B

直线AB在平面AC内

AB⊂平面AC

直线AA1不在平面AC内

AA1⊄平面AC

知识点三　平面的基本性质

思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？

有两个公共点呢？

答案　前者不在，后者在.

思考2　观察下图，你能得出什么结论？

答案　不共线的三点可以确定一个平面.

思考3　观察正方体ABCD—A1B1C1D1（如图所示），平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？

答案　不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.

梳理　

公理

（推论）

文字语言

图形语言

符号语言

作用

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内

⇒AB⊂α

（1）判定直线在平面内；

（2）证明点在平面内

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线

⇒α∩β＝l且P∈l

（1）判断两个平面是否相交；

（2）判定点是否在直线上；

（3）证明点共线问题

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α

（1）确定一个平面的依据.

（2）证明平面重合；

（3）证明点、线共面

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

A∉l⇒A和l确定一个平面α

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

a∥b⇒a，b确定一个平面α

类型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

例1　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

解　在

（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.

在

（2）中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.

反思与感悟　

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

跟踪训练1　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

（3）平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.

解　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，

且点A不在直线l上，如图②.

（3）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.

类型二　点线共面

例2　如图，已知：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：

PQ⊂α.

证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.

又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.

引申探究

将本例中的两条平行线改为三条，即求证：

和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.

解　已知：

a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：

a，b，c和l共面.

证明：

如图，∵a∥b，

∴a与b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.

∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，

同理l⊂β.

∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，

由公理3的推论知：

经过两条相交直线有且只有一个平面，

∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.

反思与感悟　证明多线共面的两种方法

（1）纳入法：

先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

（2）重合法：

先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.

跟踪训练2　已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：

直线l1，l2，l3在同一平面内.

证明　方法一　（纳入平面法）

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.

∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内.

方法二　（辅助平面法）

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.

类型三　点共线、线共点问题

命题角度1　点共线问题

例3　如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：

B，Q，D1三点共线.

证明　如图，连结A1B，CD1，

显然B∈平面A1BCD1，

D1∈平面A1BCD1.

∴BD1⊂平面A1BCD1.

同理BD1⊂平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.

∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，

∴B，Q，D1三点共线.

反思与感悟　证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.

跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：

P，Q，R三点共线.

证明　方法一　∵AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由公理2可知：

点P在平面ABC与平面α的交线上.

同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.

∴P、Q、R三点共线.

方法二　∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，

命题角度2　线共点问题

例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：

CE、D1F，DA三线交于一点.

证明　如图，连结EF，D1C，A1B.

∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊

A1B.

又∵A1B綊D1C，

∴EF綊

D1C，

∴E，F，D1，C四点共面，

∴D1F与CE相交，设交点为P.

又D1F⊂平面A1D1DA，

CE⊂平面ABCD，

∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.

又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

根据公理2，可得P∈DA，

即CE、D1F、DA相交于一点.

反思与感悟　证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.

跟踪训练4　已知：

平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：

l1，l2，l3相交于一点.

证明　如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，

α∩γ＝l3.

∵l1⊂β，l2⊂β，

且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交.

设l1∩l2＝P，

则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，

∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.

1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.

答案　A∈l，l⊄α

解析　∵点A在直线l上，∴A∈l，

∵l在平面α外，∴l⊄α.

2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.

答案　无数

解析　由公理2可得.

3.下图中图形的画法正确的是________.（填序号）

答案　①③④⑤

4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.

答案　1或3

解析　若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；

若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面.

5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：

a，b，c，d共面.

证明　因为A，B，C三点不共线，

所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.

因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，

因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，

因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，

所以a，b，c都在α内.

因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.

又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，

所以a，b，c，d共面.

1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.

2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.

课时作业

一、填空题

1.下列推理正确的是________.（填序号）

①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；

②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；

③若A∈α，A∈l，则l⊂α；

④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合.

答案　①②④

解析　由公理1可知①正确；

由公理2可知②正确；

若A∈α，A∈l，则l⊂α或l与α相交，即l⊂α不一定成立，③错误；

由公理3可知④正确.

2.下列说法中，正确的是________.（填序号）

①一条直线和一个点确定一个平面；

②三角形一定是平面图形；

③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；

④梯形一定是平面图形.

答案　②④

解析　因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；

因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；

因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；

因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确.

3.如图所示，用符号语言可表示为________.（填序号）

①α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A；

②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；

③α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；

④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.

答案　①

解析　很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选①.

4.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.

答案　PR

解析　如图，MN⊂γ，R∈MN，

∴R∈γ.

∵R∈l，∴R∈β.

∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.

5.空间任意4点最多可以确定的平面个数为________.

答案　4

解析　可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.

6.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是________.

答案　6

解析　如四棱柱中四条侧棱两两平行，过其中两条可确定4个侧面和2个对顶面，共确定6个平面.

7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.

答案　P∈直线DE

解析　因为P∈AB，AB⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.

又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，

所以P∈直线DE.

8.下列命题中正确的是________.（填序号）

①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；

②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；

③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

④平面α和平面β可以只有一个交点.

解析　借助三棱柱，可知②错误；

借助正四面体，可知③错误；

由公理2，可知④错误；

由推论1，可知①正确.

9.在底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.

答案　5

解析　如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一个面都是平行四边形，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条.

10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________.

答案　

a

解析　延长DM交D1A1的延长线于G点，连结GN交A1B1于点P.由M，N分别为AA1，C1D1的中点知，P在A1B1的

（靠近A1）处，故线段PB1的长为

a.

11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体经过P，Q，R的截面图形是________.

答案　正六边形

解析　如图，连结B1D1，作RG∥B1D1交C1D1于G，连结QP并延长与CB的延长线交于M，连结MR交BB1于E，连结PE，PE为截面与正方体的交线.同理，延长PQ交CD的延长线于N，连结NG交DD1于F，连结QF.∴截面PQFGRE为正六边形.

二、解答题

12.已知：

A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图所示.求证：

直线AD，BD，CD共面.

证明　因为D∉l，所以l与D可以确定一个平面α，因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即直线AD，BD，CD共面.

13.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>

CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.

解　由题意得点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.

由于AB>

CD，则分别延长AC和BD交于点E，

如图所示，

∵E∈AC，AC⊂平面SAC，

∴E∈平面SAC.

同理可证E∈平面SBD.

∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连结SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.

三、探究与拓展

14.空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点________.（填序号）

①共面；

②不一定共面；

③不共面；

④以上都不对.

答案　②

解析　当B，C，D三点共线时，B，C，D三点不能确定平面.A，B，C，D所在的平面和B，C，D，E所在的平面可能不同，所以A，B，C，D，E五点不一定共面.

15.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且

＝

＝1，

＝2.

EH，BD，FG三条直线相交于同一点.

证明　如图，连结EF，GH.因为

＝2，所以EF∥AC，HG∥AC，且EF≠GH，所以EH，FG共面，且EH，FG不平行.不妨设EH∩FG＝O，因为O∈EH，EH⊂平面ABD，所以O∈平面ABD.因为O∈FG，FG⊂平面BCD，所以O∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以O∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点O.