线性规划练习题.docx
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线性规划练习题
1.已知实数x,y满足
2x
则2xy2的最小值为（）
x
A.1B.3C.4D.6
2x
2.设关于
x,y的不等式组
0
表示的平面区域内存在点P（xo,yo），满
足X。
2yo
2，贝ym的取值范围是
（）
-）B.
12
（,3）C（,严
3.已知a0，
x,y满足约束条件
5
，3）
1
xy3，若z
ya（x2）
2x
y的最大值为1，则a
（）
a.1b.!
c.
42
1D.2
2x
8x
4.设x,y满足约束条件
x
y
y
y
0
0
0
0,若目标函数z
1
-y（a0,b0）的最大值
b
为2，则
ab的最小值为（）
A.9B.
2
5.当实数x,y满不等式组:
y
2x
0
0时，恒有ax
y2
y3成立，则实数a的取值
范围是
x
6.设实数x，y满足x
y
20,
y
2y50,则z
20,
乂-的取值范围是.
xy
2xy10,
7.设x,y满足约束条件xy0,,若目标函数zaxbya0,b0的最大值
x0,y0,
为i，贝y丄4的最小值为.
ab
8.已知方程x2ax2b0（aR,bR）,其一根在区间（0,1）内，另一根在区间（1,2）内，则L2的取值范围为.
a1
xy>0,
9.已知实数x,y满足条件xy>0,则yx的最小值为二
x<1,
10.若x,y满足条件y2|x|1，则z=x+3y的最大值为.
yx1
11.如图，直三棱柱ABCABG的底面是边长为4正三角形，AA12、、6，M为
A1B1的中点.
（I）求证：
ABMC;
（U）在棱CC1上是否存在点P，使得MC平面ABP?
若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.
12.如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，ZABC=90°平
面PABL平面ABCDE分别为ABAC中点.
（1）求证：
DE//平面PBC
（2）求证：
AB丄PE;
（3）求二面角A—PB-E的大小.
13.如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为边长为2对的菱形，PA!
平面ABCD
/ABC=60，E，F分别是BC,PC的中点.
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由;
（2）若PA=2求二面角E-AF-C的余弦值.
14.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
（I）求证：
AB//EF;
（U）若PAAD，且平面PAD平面ABCD，试证明AF平面PCD;
（川）在（U）的条件下，线段PB上是否存在点M,使得EM平面PCD?
（请说明理由）
15.如图，在长方体ABCDaibiciDi中，面BMD.N与棱CCi,AAi分别交于点M,N，且M,N均为中点.
（1）求证：
AC//面BMDiN;
（2）若ADCD2，DDi厶2'。
为AC的中点.BDi上是否存在动点F，使得OF
面BMDiN?
若存在，求出点f的位置，并加以证明；若不存在，说明理由.
参考答案
1.C
【解析】
试题分析：
2xy22丄上，显然表示点p（x,y）与点M（0,2）连线
XXX
的斜率.作出题设不等式表示的平面区域，如图OAB内部（含边界），P
是OAB内任意一点，显然当P与A（2,2）重合时，kpM最小，
kMA2
（2）2，即2Xy2的最小值为224.故选C
20x
考点：
简单线性规划的非线性应用.
2.C
【解析】
2xy10
试题分析
:
将Xo2yo
2化成
Xo2yo2，将其代入
X
mo，得
y
mo
5
yo
—
5
5
3
yo
yo
2yo
2
mo，即卩
3
，由题意，得
3
有解，即
2m
2m
yo
m
om
yo
m
2
yo
2
2
m
2
m
2
-）:
2
，解得m
即m的取值范围是（，
；故选C.
m
5
3
3
23
考点：
不等式组与平面区域.
【技巧点睛】本题考查二元一次不等式组和平面区域、不等式组的解的存
在性，属于中档题；学生解决本题的常用方法是先画出可行域再思考如何
处理，难度较大；本题的解题技巧在于，将平面区域内存在点使Xo2yo2
题，再利用集合间的关系进行求解.
3.C
【解析】
试题分析：
根据题意作出x,y满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z2xy经过点&竺卫,旦）时取得最大值11，所以
a1a12
2竺卫—11，解得a1，故选C.
a1a12
考点：
简单的线性规划问题.
4.A
【解析】
试题分析：
作出可行域如图，8：
；：
0小4,当目标函数
z
1
x
1
y（a0,b
0）过点
A
1,4
时纵截距最大,
此时
z最大.即
1
a
b
4
2,a0,b0
a
b
a
b
1.1
ab-
41
5
4a
4a5
-，当且仅当
2a
b2
b
a2-a
b
2
b
4a
，即2ab
-时取''
''.故选A.
a
b
2
考占.
1线性规划；
2基本不等式.
5.,3
【解析】
试题分析：
作出满足不等式组的平面区域，如图所示，因为对任意的实数
x,y不等式axy3恒成立，由图可知斜率a0或aRab乞』3，解01
得a3，所以实数a的取值范围是,3.
考点：
简单的线性规划问题.
【技巧点睛】
（1）求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在
含有参数的问题中注意对参数的聚会范围进行讨论；
（2）在刻有参数的二
元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案.
6.83
3,2
【解析】
考点：
1、线性规划；2、函数单调性求最值.
丿t，
x
行域中的点与原点的连线斜率，可知，t取得最大值和最小值的最优解分别为点P和点Q,从而t[丄,2]，此时目标函数为zt1，结合函数单调性
3t
可求z83
3'2
7.9
【解析】
试题分析：
由zaxbya0,b0得y-x-，平移直线y-x-,由
bbbb
图象可知，当y-x-过A1,1时目标函数的最大值为1，即zab1,bb
则1414（ab）
abab
14b52b4a549，当且仅当b4a，即b2a-时,ab\abab2
取等号，故丄4的最小值为9.
ab
考点：
1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和幵放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.
8.（1,3）
22
【解析】
试题分析：
设fxx2ax2b，因为其一根在区间（0,1）内，另一根在区间
3）的斜率，所以答案应填：
（1号
考点：
1、函数的零点；2、二次函数的性质；3、线性规划.
【思路点睛】本题主要考查的是函数的零点二次函数的性质利用线性规划的方法来解决，属于中档稍难题，分析问题结合图象利用斜率知识点解决问题.
9.-1.
【解析】
试题分析：
由题意作出其平面区域，当|y|最小，x最大，即过（1,0）时,最小.
由题意作出其平面区域，由图可知，|y|-x的最小值为0-1二-1.故答案为：
-1.
考点：
简单线性规划.
10.11
【解析】
试题分析：
作出不等式组作出平面区域如图所示，由zx3y，得
y-x—，平移直线y1xZ
3333
由图象可知当过点C时，直线截距最大，此时—最大，由y2x1，得
yx1
x2，即A2,3
y3
此时—max23311，故答案为11.
考点：
线性规划的应用•
11.（I）证明见解析；（II）当P为棱CG中点时，MC平面ABP.
【解析】试题分析：
（I）取AB中点0,连接0M,0C,先证M0丄AB,再证AB丄
CO,进而可证AB平面OMC；（II）连接C1M,OP,欲证MC平面ABP,需在平面ABP找出两条相交的直线与MC垂直，由（I）知M0丄AB，关键是证明MC0P，当P为棱CCi中点时，PC.6，在直角梯形PCOM中,PC//MO,MO2,6,OC23,OCOM，通过三角形相似易证直角梯形PCOM的对角线互相垂直MCOP，进而根据线面垂直的判定定理可得MC平面ABP.
试题解析：
（I）取AB中点O,连接OM,OC,
TM为AiBi中点，•••MO//AAi//CCi，又AAi丄平面ABC,
•••MO丄平面ABC,
•••MO丄AB.
•••△ABC为正三角形，二AB丄CO又MOAOCO,
•••AB平面OMC
又•••MC平面OMC二ABMC.
（II）当P为棱CCi中点时，MC平面ABP.证明如下：
连接CiM,OP.因为CCi丄平面ABC,OC平面ABC,
所以CCiOC,又MO//CCi,MOCCi,
四边形MOC6是矩形，
OCCiM23,OMCCi26
当P为棱CCi中点时，
空CiM'2,所以RtPCO~RtMCiC,
OCCCi2
所以MCOP又因为ABMC，ABIOPO,
所以MC平面ABP，即当P为棱CC1中点时，MC平面ABP.
考点：
1、柱体的结构特征；2、线面垂直；3、线线垂直．【方法点晴】证明线线垂直的常有方法有等腰三角形底边上的高线，菱形的对角线，勾股定理，圆中直径所对的圆周角为直角，直线与平面垂直的定义；证明线面垂直的常用方法有定义法，线面垂直的判断定理.本题主要考查的是空间直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，属于中档题．考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，将空间问题转化为平面问题的能力．
12．
（1）见解析；
（2）见解析；（3）60°．
【解析】
试题分析：
（1）由于DE是三角形的中位线，因此有DE//BC，再写上线面平行的条件，线在面内，线在面外可得线面平行；
（2）由
（1）可得ABDE，如果有ABPE，则必有AB平面PDE，因此可先证明AB平面PDE后可得ABPE，而为此可证ABPD，这由等腰三角形的性质可得；（3）要求二面角，可以DB,DE,DP为坐标轴建立空间直角坐标系后，写出各点坐标，求出平面APB和平面EPB的法向量，由法向量的夹角可得二面角大小（它们相等或互补，注意判别二面角的大小）．
试题解析：
（1）DE分别为ABAC中点，
DE//BC.DE平面PBCBC平面PBC
DE//平面PBC
（2）连结PDPA=PBPD丄AB.
DE//BCBC丄AB,
DELAB.
又PDIDED,.•.AB丄平面PDE•/PE平面PDE
AB丄PE
（3）
平面ABC=ABPD丄AB
•/平面PAB丄平面ABC平面PAB
PD丄平面ABC如图，以D为原点建立空间直角坐标系
B（1,0,0），P（0,0,.3），E（0,3,0）,
2
UUUUUU3
PB=（1,0,、、3），PE=（0,3,,3）
2
x.3z0则3
y3z0
2
令z.3得带（2,3,6）.
考点：
线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，二面角.
【名师点睛】求二面角的大小如图①,AB,CD是二面角a-l-B的两个半平面内与棱I垂直的直线，则二面角的大小9=.
iruu
如图②③，m，n2分别是二面角a-I-B的两个半平面a,B的法向量，则
irun、irun
二面角的大小9满足cos9=cosvn,n2>或-cos
13.
（1）垂直，理由见解析；
（2）所求二面角的余弦值为3\
【解析】
试题分析：
（1）判断垂直.证明AE丄BC.PALAE推出AE±平面PAD然
后证明AELPD
（2）由
（1）知AEAD,AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平
面AFC的一个法向量.通过向量的数量积求解二面角的余弦值.
解：
（1）垂直.
证明：
由四边形ABCD为菱形，/ABC=60，
可得MBC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE!
BC
又BC//AD因此AE!
AD
因为PA丄平面ABCDAE?
平面ABCD
所以PALAE.
而PA?
平面PADAD?
平面PAD且PAHAD二A
所以AE丄平面PAD又PD?
平面PAD
所以AELPD.
（2）由
（1）知AE,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，又E,F分别为BC,PC的中点，•••A（0,0,0）,B（近，-1，①，卩〔馅，1，〔1）,D（0，2,0），P（0，0，2），
E（后0,0）,F（孕务1）,
所以忑二（品0,0），丽=（孚寺1）•
广f■
设平面AEF的一个法向量为匸（小“巧），则匸逻二°,
1tm*AF=0
因为BD丄AC,BD丄PAPAAAC=A
所以BD丄平面AFC故血为平面AFC的一个法向量.
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为考点：
二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质.
14.（I）证明见解析；（II）证明见解析；（山）线段PB上不存在点M,
使得EM平面PCD.
【解析】试题分析：
（I）先证明AB//平面PCD，即可证明AB//EF;（II）利用平面
PAD平面ABCD,证明CDAF,PAAD,所以AFPD,即可证明AF
平面PCD;（III）在（II）的条件下，线段PB上存在点M，使得EM平
面PCD.
试题解析：
（I）证明：
因为底面ABCD是正方形，所以AB//CD.又因为AB平面PCD，CD平面PCD，
所以AB//平面PCD.
又因为A,B,E,F四点共面，且平面ABEFI平面PCDEF,
所以AB/EF．
（U）在正方形ABCD中，CDAD.
又因为平面PAD平面ABCD，
且平面PADI平面ABCDAD，
所以CD平面PAD．
又AF平面PAD所以CDAF．
由（I）可知AB//EF,又因为AB/CD,所以CD/EF.
由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点.
在厶PAD中，因为PAAD，所以AFPD.
又因为PDICDD，所以AF平面PCD.
（川）不存在.假设线段PB上是否存在点M,使得EM平面PCD
取AB中点N,连接NE,易知EM//AF,EN//AF,过E有两条直线与AF平行矛盾
线段PB上不存在点M,使得EM平面PCD考点：
直线与平面垂直的判定；空间直线与直线的位置关系的判定．
15．
（1）证明见解析；
（2）当点F满足D1F3BF时，直线OF面BMD1N．【解析】
试题分析：
（1）证明AN//CM，且ANCM，得四边形ACMN为平行四边形，所以AN/MN;
（2）当点F满足DlF3BF时，利用线面位置的判定定
理，证明BD1°F、MNOF，从而得到直线OF面BMDiN.
试题解析：
（1）连接MN，因为M,N均为中点，所以AN-AA1,CM-CCi，
22
又因为AA1//CCl，且AA1CCl，所以AN//CM，且ANCM，
所以四边形ACMN为平行四边形，所以AN/MN，
又因为MN面BMDNAC面BMDd，所以ac/面BMD1N;
（2）当点F满足D1F3BF时，面ACF面BD1E，证明如下：
连接BD交AC于O,则BD经过点O,取BD1中点G,连接OF,DG，
则OF为三角形BDG边DG上的中位线，所以OF//DG，
因为BD122DD1，且g为BD1的中点，所以BD1DG，所以BD1°F，因为底面ABCD为正方形，所以ACBD，又DD1底面ABCD，所以
ACDD1
又BDIDD1D，所以AC面BDD1，又OF面BDD1，所以ACOF，
由第
（1）问知AC/MN，所以MNOF,
又mn，BD1是平面四边形BmD1N的对角线，所以它们必相交，所以OF面
BMD1N
考点：
线面位置关系的判定与证明；立体几何的探索性问题的证明.
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