最新华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固提高知识讲解.docx

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最新华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固提高知识讲解

《全等三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.掌握常见的五种基本尺规作图；理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；

2．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；

4．理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；

5．理解并掌握角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何计算及证明题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、全等三角形的性质和判定

1.全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.

2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1——“角边角”：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

全等三角形判定2——“边角边”：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

全等三角形判定3——“边边边”：

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

全等三角形判定4——“角角边”：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.

要点诠释：

（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等.

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等.

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等.（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

3.判定直角三角形全等的特殊方法——斜边直角边定理

斜边直角边定理（或简记为HL）：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

要点诠释：

判定两个直角三角形全等的方法共有5种：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

要点二、等腰三角形

1.等腰三角形的性质及其作用

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

2.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

3.等边三角形的性质和判定：

性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

　　判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

要点诠释：

由等边三角形的“三线合一”可得：

在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．

要点三、尺规作图、命题、定理与逆命题、逆定理

1.尺规作图

只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．

要点诠释：

（1）要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.

（2）掌握五种基本作图：

作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线．并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法．

2.命题与逆命题

判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.

要点诠释：

（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题.

（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分.

（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定正确.

3.定理与逆定理

数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.

要点诠释：

（1）定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.

（2）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.

要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

1.角平分线性质定理及其逆定理

角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：

角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理及其逆定理

线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

要点诠释：

性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.

【典型例题】

类型一、全等三角形的性质和判定

1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.

【答案与解析】

BE＋CF＞EF；

证明：

延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG

∵D是BC中点

∴BD＝CD

又∵DE⊥DF

在△EDG和△EDF中

∴△EDG≌△EDF（SAS）

∴EG＝EF

在△FDC与△GDB中

∴△FDC≌△GDB（SAS）

∴CF＝BG

∵BG＋BE＞EG

∴BE＋CF＞EF

【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.

举一反三：

【变式】已知：

如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．

求证：

CD＝2CE．

【答案】

证明：

延长CE至F使EF＝CE，连接BF．

∵EC为中线，

∴AE＝BE．

在△AEC与△BEF中，

∴△AEC≌△BEF（SAS）．

∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）

又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．

∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．

∴AB＝BF．

又∵BC为△ADC的中线，

∴AB＝BD．即BF＝BD．

在△FCB与△DCB中，

∴△FCB≌△DCB（SAS）．

∴CF＝CD．即CD＝2CE．

2、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．

【答案与解析】

解：

作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，

∵∠1=∠2，AD⊥BC，

∴EH=ED（角平分线的性质）

∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，

∴四边形EFGD是矩形，

∴ED=FG，

∴EH=FG，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

又∵∠AHE=∠FGC=90°，

∴△AEH≌△CFG（AAS）

∴AE=CF．

【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．

举一反三：

【变式】如图,△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝60°,AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E,已知DE＝2.则AC的长为_________.

【答案】3；提示：

连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE＝AE＝2，CE＝1，所以AC＝3.

类型二、等腰三角形

3、如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．

（1）如图1，填空∠B=　　°，∠C=　　°；

（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2,

①求证：

△ANE是等腰三角形；

②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

【思路点拨】

（1）BA=BC，且DB=DA=AC可得∠C=∠ADC=∠BAC=2∠B，∠DAC=∠B，在△ADC中由三角形内角和可求得∠B，∠C；

（2）①由

（1）可知∠BAD=∠CAD=36°，且∠AHN=∠AHE=90°，可求得∠ANH=∠AEH=54°，可得AN=AE；②由①知AN=AE，借助已知利用线段的和差可得CD=BN+CE．

【答案与解析】

解：

（1）∵BA=BC，

∴∠BCA=∠BAC，

∵DA=DB，

∴∠BAD=∠B，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，

∴∠DAC=∠B，

∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，

∴2∠B+2∠B+∠B=180°，

∴∠B=36°，∠C=2∠B=72°，

故答案为：

36；72；

（2）①在△ADB中，∵DB=DA，∠B=36°，

∴∠BAD=36°，

在△ACD中，∵AD=AC，

∴∠ACD=∠ADC=72°，

∴∠CAD=36°，

∴∠BAD=∠CAD=36°，

∵MH⊥AD，

∴∠AHN=∠AHE=90°，

∴∠AEN=∠ANE=54°，

即△ANE是等腰三角形；

②CD=BN+CE．

证明：

由①知AN=AE，

又∵BA=BC，DB=AC，

∴BN=AB﹣AN=BC﹣AE，CE=AE﹣AC=AE﹣BD，

∴BN+CE=BC﹣BD=CD，

即CD=BN+CE．

【总结升华】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边、等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用．

举一反三：

【变式】已知：

如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则△ADE的周长为　　．

【答案】14cm．

解：

∵DE∥BC

∴∠DOB=∠OBC，

又∵BO是∠ABC的角平分线，

∴∠DBO=∠OBC，

∴∠DBO=∠DOB，

∴BD=OD，

同理：

OE=EC，

∴△ADE的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．

故答案是：

14cm．

4、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．

（1）如图

（1）所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

（2）如图

（2）所示，当点M在BC上时，其他条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请利用图

（2）证明；若不成立，请说明理由．

【答案与解析】

解：

（1）EN＝MF，点F在直线NE上．

证明：

连接DF，DE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC．

又∵D，E，F是△ABC三边的中点，

∴DE，DF，EF为三角形的中位线．

∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．

又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，

∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°

∴∠MDF＝∠NDE．

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.

∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN

∴∠MFN＝60°

∴FN∥AB，

又∵EF∥AB，

∴E、F、N在同一直线上.

（2）成立．证明：

连结DE，DF，EF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC．

又∵D，E，F是△ABC三边的中点，

∴DE，DF，EF为三角形的中位线．

∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．

又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，

∴∠MDF＝∠NDE．

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴MF＝NE．

【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.

（2）题的证明可以沿用

（1）题的思路.

类型三、尺规作图

5、请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）

【思路点拨】

（1）以点B为一顶点作等边三角形；

（2）作等边三角形点B处的角平分线．

【答案与解析】

解：

【总结升华】用到的知识点为：

等边三角形的一个内角为60°，角平分线把一个角分成相等的两个角．

举一反三

【变式】已知：

射线OC．求作：

∠AOB，使OC平分∠AOB．（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】

解：

如图：

∠AOB就是所求的角．

类型四、角平分线、线段垂直平分线性质定理与逆定理

6、如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：

∠BAF＝∠ACF．

【思路点拨】根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠CAF＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC+∠FAC和∠ADF＝∠B+∠BAC推出即可．

【答案与解析】

证明：

∵EF是AD的垂直平分线，

∴AF＝DF，

∴∠FAD＝∠ADF，

∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠ADF＝∠B+∠DAB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB＝∠CAD，

∴∠CAF＝∠B，

∴∠BAC+∠FAC＝∠B+∠BAC，

即∠BAF＝∠ACF．

【总结升华】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角选择，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．

举一反三：

【变式】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．

求证：

点O到三边AB、BC、CA的距离相等．

【答案】

证明：

作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，

D、E、F为垂足，

∵BM为△ABC的角平分线，

OD⊥AB，OE⊥BC，

∴OD＝OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

同理可证：

OF＝OE．

∴OD＝OE＝OF．

即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．