北师大版数学八年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习一遍过《平行线性质》二.docx

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北师大版数学八年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习一遍过《平行线性质》二

八年级上册期末考试考前复习高频考点专题练习一遍过：

《平行线性质》

（二）

1．如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间一点．

（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：

EG⊥FG；

（2）如图2，若∠AEP＝

∠AEF，∠CFP＝

∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论；

（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．

2．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．

（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：

　　；（不需要证明）

如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：

　　；（不需要证明）

（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；

（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．

3．如图1，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP记作∠1，∠BDP记作∠2，∠CPD记作∠3．点P在线段AB上．

（1）若∠1＝20°，∠2＝30°，请你求出∠3的度数．

（2）请你根据上述问题，请你找出图1中∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并说明理由．

（3）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），写出你的结论并说明理由．

4．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；

（2）如图2，在

（1）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，若BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠ABE的度数．

5．已知EM∥BN．

（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．

（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．

①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝　　．

②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．

（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．

6．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．

（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°

（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．

①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．

②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．

7．如图把一个含有30°角的直角三角板的直角顶点A放在直线a上，a∥b，B、C两点在平面上移动，请根据如下条件解答：

（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，∠2＝20°，则∠1＝　　；

（2）如图2，若点C在平行直线a，b内部，点B在直线b的下方，∠2＝n°，求∠1的度数．

8．如图，AB∥CD，直线EF交直线AB、CD于点M、N，NP平分∠ENC交直线AB于点P，∠EMB＝76°．

（1）求∠PNC的度数；

（2）若PQ将∠APN分成两部分，且∠APQ：

∠QPN＝1：

3，求∠PQD的度数．

9．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：

在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．

（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．

（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）

10．如图，AB∥CD，点E在直线CD上，射线EF经过点B，BG平分∠ABE交CD于点G．

（1）求证：

∠BGE＝∠GBE；

（2）若∠DEF＝70°，求∠FBG的度数．

参考答案

1．解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，

∴∠AEG＝∠FEG＝

∠AEF，∠CFG＝∠GFE＝

∠CFE，

∴∠FEG+∠GFE＝90°，

即EG⊥FG；

（2）∵分别过M，N作MG∥AB，NH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥MG∥NH∥CD，

∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠MFC，∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠NFC，

∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC，∠ENF＝∠AEN+∠NFC，

同理：

∠EPF＝∠AEP+∠PFC，

∴∠EMF+∠ENF＝∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，

∵EM平分∠AEN，FN平分∠MFC，

∴∠AEM＝

∠AEN，∠NFC＝

∠MFC，

∴∠EMF+∠ENF＝

∠AEN+

∠MFC+∠MFC+∠AEN＝

（∠MFC+∠AEN），

∵∠AEP＝

∠AEF，∠CFP＝

∠EFC，

∴∠MFC+∠AEN＝

（∠AEF+∠EFC）＝

×180°＝72°，

∴∠EMF+∠ENF＝

（∠MFC+∠AEN）＝

×72°＝108°；

（3）∠FGQ＝

∠EHF．

证明：

∵AB∥CD，

∴∠EHF+∠CFH＝180°，

∵GQ⊥MF，

∴∠FGQ＝90°﹣∠GFQ，

∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，

∴∠GFE＝

∠EFH，∠QFE＝

∠CFE，

∴∠GFQ＝

∠CFH＝

（180°﹣∠EHF）＝90°﹣

∠EHF，

∴∠FGQ＝90°﹣（90°﹣

∠EHF）＝

∠EHF．

2．解：

（1）过E作EH∥AB，如图1，

∴∠BME＝∠MEH，

∵AB∥CD，

∴HE∥CD，

∴∠END＝∠HEN，

∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，

即∠BME＝∠MEN﹣∠END．

如图2，过F作FH∥AB，

∴∠BMF＝∠MFK，

∵AB∥CD，

∴FH∥CD，

∴∠FND＝∠KFN，

∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，

即：

∠BMF＝∠MFN+∠FND．

故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．

（2）由

（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．

∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，

∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，

∵2∠MEN+∠MFN＝180°，

∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，

∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，

即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，

解得∠BMF＝60°，

∴∠FME＝2∠BMF＝120°；

（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．

由

（1）知：

∠MEN＝∠BME+∠END，

∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，

∴∠FEN＝

∠MEN＝

（∠BME+∠END），∠ENP＝

∠END，

∵EQ∥NP，

∴∠NEQ＝∠ENP，

∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝

（∠BME+∠END）﹣

∠END＝

∠BME，

∵∠BME＝60°，

∴∠FEQ＝

×60°＝30°．

3．解：

（1）∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，

∴∠3＝∠1+∠2＝50°；

（2）∠1+∠2＝∠3，

理由：

∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，

∴∠1+∠2＝∠3；

（3）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，

∴∠1＝∠FPC，

∵l1∥l4

，

∴PF∥l2，

∴∠2＝∠FPD，

∵∠3＝∠FPD﹣∠FPC，

∴∠3＝∠2﹣∠1，

当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，

∴∠2＝∠GPD，

∵l1∥l2，

∴PG∥l1，

∴∠1＝∠CPG，

∵∠3＝∠CPG﹣∠GPD，

∴∠3＝∠1﹣∠2．

4．解：

（1）如图1，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，

又∵AB⊥BC，

∴∠CBG+∠ABG＝90°，

∴∠ABD＝∠CBG，

∵AM∥CN，BG∥AM，

∴CN∥BG，

∴∠C＝∠CBG，

∴∠ABD＝∠C，

∴∠C+∠BAD＝90°；

（2）如图2，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，

由

（1）可得∠ABD＝∠CBG，

∴∠ABF＝∠GBF，

设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则

∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝5∠DBE＝5α，

∴∠AFC＝5α+β，

∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，

∴∠FCB＝∠AFC＝5α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得

（2α+β）+5α+（5α+β）＝180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α＝90°，②

由①②联立方程组，解得α＝9°，

∴∠ABE＝9°．

5．解：

（1）过A作AQ∥EM，

∴∠E+∠EAQ＝180°，

∵EM∥BN，

∴AQ∥BN，

∴∠QAB+∠B＝180°，

∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，

∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；

（2）①由

（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，

∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，

∴∠ABN＝100°，

∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，

∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，

∵EM∥BN，

∴∠EDF＝∠FBC＝50°，

∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，

故答案为60°；

②由

（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，

∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，

∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，

∴∠DEF＝

∠AEM，∠FBC＝

∠ABN，

∵EM∥BN，

∴∠EDF＝∠FBC＝

∠ABN，

∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣

∠AEM﹣

∠ABN＝180°﹣

（360°﹣∠A）＝

∠A，

即∠A＝2∠EFD；

（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，

由题意得4•2x＝3（90+x），

解得x＝54°，

答：

∠EFB的度数为54°．

6．解：

（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，

解得，x＝60，

∠H的4系补周角的度数为60°，

故答案为60；

（2）①过E作EF∥AB，如图1，

∴∠B＝∠BEF，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，∠D＝60°，

∴∠D＝∠DEF＝60°，

∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，

即∠B+60°＝∠BED，

∵∠B是∠BED的3系补周角，

∴∠BED＝360°﹣3∠B，

∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，

∴∠B＝75°；

②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．

7．解：

由题意可知：

∠BAC＝90°，∠B＝30°，则∠ACB＝60°．

（1）如图1，

∵a∥b，

∴∠1＝∠3，

∵∠2+∠3＝∠ACB＝60°，∠2＝20°，

∴∠3＝40°，

故答案为40°；

（2）如图2，过C作c∥a，

∴∠1＝∠4，

∵a∥b，

∴c∥b，

∴∠2＝∠5，

∵∠4+∠5＝∠ACB＝60°，

∴∠1+∠2＝60°，

∵∠2＝n°，

∴∠1＝（60﹣n）°．

8．解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠END＝∠EMB＝76°，

∴∠ENC＝180°﹣∠END＝104°，

∵NP平分∠ENC，

∴∠PNC＝

ENC＝52°；

（2）∵∠APQ：

∠QPN＝1：

3，

∴∠QPN＝3∠APQ，

∵AB∥CD，

∴∠MPN＝∠PNC＝52°，

∴∠APN＝180°﹣∠MPN＝128°，

∴∠APQ+∠QPN＝128°，

∴4∠APQ＝128°，

∴∠APQ＝32°，

∴∠PQD＝∠APQ＝32°．

则∠PQD的度数为32°．

9．解：

（1）EF∥GH，理由如下：

在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，

∴∠2+∠3＝90°，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，

∠3+∠4+∠EGH＝180°，

∴∠FEG+∠EGH＝180°，

∴EF∥GH；

（2）β＝2α﹣180°，理由如下：

在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，

∴∠2+∠3＝180°﹣α，

∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，

∴∠2＝∠MEB，

∴∠MEG＝2∠2，

同理可得，∠MGE＝2∠3，

在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，

∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）

＝180°﹣（2∠2+2∠3）

＝180°﹣2（∠2+∠3）

＝180°﹣2（180°﹣α）

＝2α﹣180°；

（3）90°+m或150°．

理由如下：

①当n＝3时，如下图所示：

∵∠BEG＝∠1＝m，

∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，

∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，

∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m），

∵EF∥HK，

∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，

则∠GHK＝120°，

则∠GHC＝30°，

由△GCH内角和，得γ＝90°+m．

②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，

与题意不符；

则只能在CD边反射后与EF平行，

如下图所示：

根据三角形外角定义，得

∠G＝γ﹣60°，

由EF∥HK，且由

（1）的结论可得，

∠G＝γ﹣60°＝90°，

则γ＝150°．

综上所述：

γ的度数为：

90°+m或150°．

10．解：

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABG＝∠BGE，

∵BG平分∠ABE，

∴∠ABG＝∠GBE，

∴∠BGE＝∠GBE；

（2）∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠DEF＝70°，

∴∠ABF＝180°﹣∠ABE＝110°，

∵BG平分∠ABE，

∴∠ABG＝

ABE＝35°，

∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝110°+35°＝145°．

答：

∠FBG的度数为145°．