运筹学实例分析及lingo求解.docx
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运筹学实例分析及lingo求解
运筹学实例分析及lingo求解
一、线性规划
某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。
各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
W1
6
2
6
7
4
2
5
8
W2
4
9
5
3
8
5
8
2
W3
5
2
1
9
7
4
3
3
W4
7
6
7
3
9
2
7
1
W5
2
3
9
5
7
2
6
5
W6
5
5
2
2
8
1
4
3
试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。
解：
设
表示从第
个仓库到第
个客户的货物运量。
表示从第
个仓库到第
个客户的单位货物运价，
表示第
个仓库的最大供货量，
表示第
个客户的订货量。
目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：
1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束
数学模型为：
编程如下：
model:
Sets:
Wh/w1..w6/:
ai;
Vd/v1..v8/:
dj;
links（wh,vd）:
c,x;
endsets
Data:
ai=60,55,51,43,41,52;
dj=35,37,22,32,41,32,43,38;
c=6,2,6,7,4,2,5,9
4,9,5,3,8,5,8,2
5,2,1,9,7,4,3,3
7,6,7,3,9,2,7,1
2,3,9,5,7,2,6,5
5,5,2,2,8,1,4,3;
Enddata
Min=@sum（links（i,j）:
c（i,j）*x（i,j））;
@for（wh（i）:
@sum（vd（j）:
x（i,j））<=ai（i））;
@for（vd（j）:
@sum（wh（i）:
x（i,j））=dj（j））;
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
AI（W1）
AI（W2）
AI（W3）
AI（W4）
AI（W5）
AI（W6）
DJ（V1）
DJ（V2）
DJ（V3）
DJ（V4）
DJ（V5）
DJ（V6）
DJ（V7）
DJ（V8）
C（W1,V1）
C（W1,V2）
C（W1,V3）
C（W1,V4）
C（W1,V5）
C（W1,V6）
C（W1,V7）
C（W1,V8）
C（W2,V1）
C（W2,V2）
C（W2,V3）
C（W2,V4）
C（W2,V5）
C（W2,V6）
C（W2,V7）
C（W2,V8）
C（W3,V1）
C（W3,V2）
C（W3,V3）
C（W3,V4）
C（W3,V5）
C（W3,V6）
C（W3,V7）
C（W3,V8）
C（W4,V1）
C（W4,V2）
C（W4,V3）
C（W4,V4）
C（W4,V5）
C（W4,V6）
C（W4,V7）
C（W4,V8）
C（W5,V1）
C（W5,V2）
C（W5,V3）
C（W5,V4）
C（W5,V5）
C（W5,V6）
C（W5,V7）
C（W5,V8）
C（W6,V1）
C（W6,V2）
C（W6,V3）
C（W6,V4）
C（W6,V5）
C（W6,V6）
C（W6,V7）
C（W6,V8）
X（W1,V1）
X（W1,V2）
X（W1,V3）
X（W1,V4）
X（W1,V5）
X（W1,V6）
X（W1,V7）
X（W1,V8）
X（W2,V1）
X（W2,V2）
X（W2,V3）
X（W2,V4）
X（W2,V5）
X（W2,V6）
X（W2,V7）
X（W2,V8）
X（W3,V1）
X（W3,V2）
X（W3,V3）
X（W3,V4）
X（W3,V5）
X（W3,V6）
X（W3,V7）
X（W3,V8）
X（W4,V1）
X（W4,V2）
X（W4,V3）
X（W4,V4）
X（W4,V5）
X（W4,V6）
X（W4,V7）
X（W4,V8）
X（W5,V1）
X（W5,V2）
X（W5,V3）
X（W5,V4）
X（W5,V5）
X（W5,V6）
X（W5,V7）
X（W5,V8）
X（W6,V1）
X（W6,V2）
X（W6,V3）
X（W6,V4）
X（W6,V5）
X（W6,V6）
X（W6,V7）
X（W6,V8）
RowSlackorSurplusDualPrice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。
二、运输规划
重庆有三家电子厂分别是新普,隆宇和恒华,生产的笔记本电脑将要运向北京,天津,广东,上海四个城市销售,其产量和销售量见下表：
（单位：
万台）
表：
1-1
北京
天津
广东
上海
产量
新普
6
2
6
7
30
隆宇
4
9
5
3
25
恒华
8
8
1
5
21
销量
15
17
22
12
-
问：
哪种销售方案将会取得最少的运输费用,费用为多少
针对该运输问题,为了方便计算,可以设新普（A1）,隆宇（A2）和恒华（A3）分别销往北京（B1）、天津（B2）、广东（B3）和上海（B4）四个城市销售量为
.建立以下模型：
表：
1-2
B1
B2
B3
B4
产量
A1
6
2
6
7
30
A2
4
9
5
3
25
A3
8
8
1
5
21
销量
15
17
22
12
-
目标（Theobjective）最少费用：
约束条件：
供应限制（Thesupplyconstrains）指标约束（Thedamandconstrains）
LINGO模型：
model:
sets:
origin/1..3/:
a;
sale/1..4/:
b;
routes（origin,sale）:
c,x;
endsets
data:
a=30,25,21;
b=15,17,22,12;
c=6,2,6,7,4,9,5,3,8,8,1,5;
enddata
[OBJ]min=@sum（routes:
c*x）;
@for（origin（i）:
[SUP]
@sum（sale（j）:
x（i,j））<=a（i））;
@for（sale（j）:
[DEM]
@sum（origin（i）:
x（i,j））=b（j））;
end
lingo结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
Infeasibilities:
Totalsolveriterations:
6
VariableValueReducedCost
X（1,1）
X（1,2）
X（1,3）
X（1,4）
X（2,1）
X（2,2）
X（2,3）
X（2,4）
X（3,1）
X（3,2）
X（3,3）
X（3,4）
RowSlackorSurplusDualPrice
OBJ
SUP
（1）
SUP
（2）
SUP（3）
DEM
（1）
DEM
（2）
DEM（3）
DEM（4）
从计算结果可以得出,新普（A1）分别销往北京（B1）、天津（B2）、广东（B3）和上海（B4）四个城市销售量为分别为2万台,17万台,1万台,0万台,剩余10万台；隆宇（A2）分别销往北京（B1）、天津（B2）、广东（B3）和上海（B4）四个城市销售量为别为13万台,0万台,0万台,12万台,剩余0万台；恒华（A3）分别销往北京（B1）、天津（B2）、广东（B3）和上海（B4）四个城市销售量为分别为0万台,0万台,21万台,0万台,剩余0万台；总费用为161个单位.
三、整数规划
某公司打算向它的3个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设一个。
从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如下表所示。
试求各区应分配几个增设的销售店，才能使总利润最大。
销售点增加数
0
1
2
3
4
A区利润/万元
100
200
280
330
340
B区利润/万元
200
210
220
225
230
C区利润/万元
150
160
170
180
200
要设置集合zone/A,B,C/，表示三个地区。
因为获得的利润与地区和各地的销售点增加数均相关，所以可以仿照运输模型，用number/1..4/表示每个地区可选的销售点增加数，然后用一个派生集links（zone,number）:
c,profit，定义
profit（i,j）为在i地区新增j个销售点能获得的利润。
可写出约束条件为：
所求函数为max=@sum（links:
c*profit）;
Lingo程序如下：
model:
sets:
zone/A,B,C/;!
A,B,C三个地区;
number/1..4/;!
各地区可选择新建的销售点数目，可选1~4中的一个数，通过links把zone和number联系起来;
links（zone,number）:
c,profit;!
若在i地区新建j个销售点，则c（i,j）=1,否则c（i,j）=（i,j）表示在i地区新建j个销售点的利润;
endsets
data:
profit=200280330340
210220225230
160170180200;
enddata
max=@sum（links:
c*profit）;
@for（zone（I）:
@sum（number（J）:
c（I,J））=1）;!
对于每一个地区，新建销售点的数目是一定的，c的和为1;
@sum（zone（I）:
@sum（number（J）:
c（I,J）*J））=6;!
三个地区新建的销售点总数为6;
@for（links（i,j）:
@bin（c（i,j）））;!
每一个c（i,j）只能取0或1;
end
用Lingo求解，结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
C（A,1）
C（A,2）
C（A,3）
C（A,4）
C（B,1）
C（B,2）
C（B,3）
C（B,4）
C（C,1）
C（C,2）
C（C,3）
C（C,4）
则在A，B，C区域应分别新增3，1，2个销售点，可获得的最大利润为710万元。
四、目标规划
有11件任务（A—K）分配到4个工作站（1—4），任务的优先次序如下图。
每件任务所花费的时间如下表。
任务
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
时间
45
11
9
50
15
12
12
12
12
8
9
解：
用变量
表示任务
分配给工作站
的情况，
表示分配，
表示不分配，
表示完成各项任务所需时间，则目标函数为
约束条件
（1）：
每项任务只能且必须分配至一个工作站来做，可以表示为：
；
约束条件
（2）：
各项任务间如果有优先关系，则排在前面的任务
对应的工作站（序号）应当小于（或等于）排在后面的任务
所对应的工作站（序号），即对所有有顺序的任务
：
；
约束条件（3）：
。
这是一个非线性规划（目标函数非线性），但可以化为线性规划，增加一个变量，再增加四个约束条件：
，目标函数变为
。
LINGO程序为：
model:
sets:
task/ABCDEFGHIJK/:
t;
pred（task,task）/A,BB,CC,FC,GF,JG,JJ,KD,EE,HE,IH,JI,J/;
station/1..4/;
tsx（task,station）:
x;
endsets
data:
T=4511950151212121289;
enddata
@for（task（i）:
@sum（station（k）:
x（i,k））=1）;
@for（pred（i,j）:
@sum（station（k）:
k*x（j,k）-k*x（i,k））>=0）;
@for（station（k）:
@sum（txs（i,k）:
t（i）*x（i,k））<=cyctime）;
min=cyctime;
@for（txs:
@bin（x））;
end
计算的部分结果为
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
1255
Objectivevalue:
VariableValueReducedCost
CYCTIME
X（A,1）
X（A,2）
X（A,3）
X（A,4）
X（B,1）
X（B,2）
X（B,3）
X（B,4）
X（C,1）
X（C,2）
X（C,3）
X（C,4）
X（D,1）
X（D,2）
X（D,3）
X（D,4）
X（E,1）
X（E,2）
X（E,3）
X（E,4）
X（F,1）
X（F,2）
X（F,3）
X（F,4）
X（G,1）
X（G,2）
X（G,3）
X（G,4）
X（H,1）
X（H,2）
X（H,3）
X（H,4）
X（I,1）
X（I,2）
X（I,3）
X（I,4）
X（J,1）
X（J,2）
X（J,3）
X（J,4）
X（K,1）
X（K,2）
X（K,3）
X（K,4）
五、非线性规划
现要做一百套钢管,每套要长为、和的钢管各一根。
已知原料长，问应如何下料，使用的原料最省。
2
1
1
1
0
0
0
0
0
2
1
0
3
2
1
0
1
0
1
3
0
2
3
4
料头
0
设用方案Ⅰ,Ⅱ,…,Ⅷ分别裁原料钢管
根,则：
上题中,如果每套的钢管要70根,要求使用的切割模式不超过3种.问应如何下料，使用的原料最省。
解:
设xi—按第i种模式切割的原料钢管根数（i=1,2,3）r1i,r2i,r3i,r4i—第i种切割模式下,每根原料生产、和,的钢管的数量.
目标函数（总根数）
按第i种切割模式下,每根钢管的长度限制:
因三种切割模式的排列顺序无关紧要，所以不妨增加以下约束：
又钢管的总根数有明显的上界和下界。
首先，原料钢管的总根数不可能少于
其次，考虑第一种切割模式下只生产钢管，一根原料钢管切割成2根钢管，100套钢管需要50根原料；如此可计算出钢管的上界：
所以可以增加以下约束：
因此进行lingo编程：
model:
title钢管下料；
min=x1+x2+x3;
x1*r11+x2*r12+x3*r13>=100;
x1*r21+x2*r22+x3*r23>=100;
x1*r31+x2*r32+x3*r33>=100;
x1*r41+x2*r42+x3*r43>=70;
x1+x2+x3>=105;
x1+x2+x3<=152;
*r11+*r21+*r31+*r41>=;
*r12+*r22+*r32+*r42>=;
*r13+*r23+*r33+*r43>=;
*r11+*r21+*r31+*r41<=;
*r12+*r22+*r32+*r42<=;
*r13+*r23+*r33+*r43<=;
x1>=x2;x2>=x3;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;
@gin（r11）;@gin（r21）;@gin（r31）;@gin（r41）;
@gin（r12）;@gin（r22）;@gin（r32）;@gin（r42）;
@gin（r13）;@gin（r23）;@gin（r33）;@gin（r43）;
End
运行结果为：
Feasiblesolutionfound.
Extendedsolversteps:
12
Totalsolveriterations:
346
ModelTitle:
钢管下料；
VariableValueRowSlackorSurplus
X11
R112
X23
R124
X35
R136
R217
R228
R239
R3110
R3211
R3312
R4113
R4214
R43
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