电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析.docx
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电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析
电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析
教学案例
近年来高考试题、各地模拟试题频频出现电磁感应中求解电热能即焦耳热的题
2型，其解题途径往往有两条:
一是用公式Q=IRt求解;二是计算克服安培力做的功W，克安运用W,Q来间接计算。
学生在解题中常常因为不能很好的理解和应用而陷入迷茫，克安
为了提高学生的甄别能力，避免解题时出错，本文将几种电磁感应问题中焦耳热的求解方法归类总结如下:
2一、用公式Q=IRt计算的三种情形
21、用公式Q=IRt直接计算
2Q=IRt直接应用的前提是电流恒定或电流I以方波规律变化，对于动生电动势E,
,E,n，BLV一般指在匀强磁场中导体棒切割磁感线的速度V不变;而对于感生电动势,t
,则要求不变。
t
例1、如图所示，矩形金属线圈的质量为m，电阻为R，放在倾角为的光滑斜面上，其中ab边长度为L，且与斜面底边平行。
MN、PQ是斜面上与ab平行的两水平虚线，间距为D。
在t=0时刻加一变化的磁场，磁感应强度B大小随时间t的变化关系为B=B-Kt，0开始方向垂直斜面向上，Kt,B,Kt。
在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放，在t=t。
1021时刻ab边进入磁场，t=t时刻ab边穿出磁场，穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0。
（重力2
加速度为g）求:
（1）从t,0到t,t运动过程中线圈产生的热量Q;1
（2）在t,t时刻，线圈中电流大小;1
（3）线圈的ab边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W。
MaLbP
N
Qd
c
θ
解析:
（1）求解的是均匀变化磁场引起的感生电流产生的焦耳热，在0到t时间内:
1
1
EBLDK,感生I,,E,S,LDK是恒定不变的，感应电流大小，所以在0到t时1感生RRt,
222LDK2间内产生的焦耳热Q,IRt,，t11R
（2）在0到t时间内，矩形线圈做初速度为0加速度a,gsin,的匀加速直线运动，1
t时刻，速度v,gsin,t，t时刻，线圈中既有感生电动势，又有动生电动势，根据楞次1111
定律和右手定则，两个电动势同向，所以E,（B,Kt）Lv，LDK，2011
E,（B,Kt）Lgsin,t，LDK，2011
E（B,Kt）Lgsin,t，LDK0112I,,所以2RR
（3）t时刻，ab边穿出磁场瞬间的速度为v，此时只有动生电动势22
E,（Kt,B）Lv，2023
E3I,，3R
由于t时刻加速度为0，根据牛顿第二定律:
mgsin,（Kt,B）IL,0，2203考虑ab边进入MN到ab边离开PQ的过程中，利用动能定理:
1122,mgDsin,W,mv,mv克安2122
3222mgsinR1,222,,解得:
W,mgDsin，mgsint,克安14422（Kt,B）L202、用电流I的有效值计算
当导体棒垂直切割磁感线运动时，产生的动生电动势E,BLV，公式中只要B、L、
V任意一个物理量按正弦（余弦）规律变化，回路中都会产生正弦（余弦）交流电，此时
就可以用电流的有效值来计算焦耳热。
例2、如图所示，矩形裸导线框
ll长边的长度为2，短边的长度为，在
两个短边上均接有电阻R，其余部分电
阻不计，导线框一长边与轴重合，左x
边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框
平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关
x,BB,sin（）系。
一光滑导体棒AB0l2
与短边平行且与长边接触良好，电阻也是R，开始时导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，
2
导体棒AB在沿x方向的力F作用下做速度为v的匀速运动，求:
（1）导体棒AB从x=0到x=2l的过程中力F随时间t变化的规律;
（2）导体棒AB从x=0到x=2l的过程中回路产生的热量。
解析:
（1）根据题意，在t时刻AB棒的坐标为x,vt;动生电动势E,Blv
vt13,Blvsin;而回路总电阻R,R，R,R;所以回路总电流总02l22
vt2Blvsin0E2l,,IR3R总
因为棒匀速运动，则有F,F,BIL安
vt,2222Blvsin02l2l解得F,（0?
t?
）v3R
（2）导体棒AB在切割磁感线过程中产生半个周期的正弦交流电，电流的有效值为
2Blv2BlvI1m00I，,,,有3R3R22
2根据Q=IRt总有
232Blv0解得:
Q,3R
3、用微元法（或基本积分）来计算
现在的高三学生，高中数学已经教授了导数和微积分的基本知识，例如常数的导
nn,1数为0，幂函数的导数为，sinx的导数为cosx，cosx的导数,sinx，对于电磁感xnx
应问题中，电流I随时间有规律变化的题型，可以尝试用微元法或积分进行计算。
0,例3、如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角=37的绝缘斜面上，两导轨间距L=1m，导轨的电阻可忽略。
M、P两点间接有阻值为R的电阻。
一根质量m=1kg，电阻r=0.2Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。
整套装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，自图示位置起，杆ab受到大小为F=0.5V+2（式中V为杆ab运动的速度，力F的单位为N）、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。
g取
2010m/s，sin37=0.6。
3
（1）试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，并写出推理过程;
（2）求电阻的阻值R;
（3）求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m所需的时间t和该过程中整个回路产生的
焦耳热Q;
RMP
ab
Fx
B
NQ
EBLVI,,,Kt解析:
（1）根据题意，I,Kt（K为定值），而，R，rR，r
（R，r）Kt所以:
V==at，所以a为恒量，金属棒ab在匀强磁场中做初速度为0的匀BL
加速直线运动。
BLVI,
（2）根据闭合电路欧姆定律:
，由牛顿第二定律:
R，r
F，mgsin,F,ma安
F,BIL安
F,0.5v，2
联立以上式子，可解得
11,+8,a,,V2（4R，0.2）
11,由第
（1）题知:
加速度a为恒量，与V无关，所以,=0，可解得R=0.3，2（4R，0.2）
2并且a=8m/s。
（3）由于F=0.5V+2，F是变力，F与位移x的关系比较复杂，在中学阶段，求解金
属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m做的功对于一般学生是比较困难的，而
BLatI,,8t，所以可以用微元法或积分来计算焦耳热。
R，r
4
12由x=at，得t=0.5s，t=0.5s内产生的焦耳热2
143222,t,?
32,32?
32×（0.5）,J微元法:
Q=?
I（R+r）t,tt,t33
33t（0.5）40.50.5220.5简单积分:
Q==32×,J,32tdt,32,tdt,32,000333
三、用W=Q间接计算的三种情形克安
1、用动能定律求解W克安
动能定理告诉我们，外力对物体所做的功，等于物体动能的变化，
1122mVmV,W,,,E合t0K22
例4、如图所示,一根质量为m的金属棒MN水平放置在两根竖直的光滑平行金属导轨上,并始终与导轨保持良好接触,导轨间距为L,导轨下端接一阻值为R的电阻,其余电阻不计.在空间内有垂直于导轨平面的磁场,磁感应强度大小只随竖直方向y变化,变化规律B=ky,k为大于零的常数.质量为M=4m的物体静止在倾角θ=30?
的光滑斜面上,并通过轻质光滑定滑轮和绝缘细绳与金属棒相连接.当金属棒沿y轴方向从y=0位置由静止开始向上运动h时,加速度恰好为0.不计空气阻力,斜面和磁场区域足够大,重力加速度为g.求:
（1）金属棒上升h时的速度
（2）金属棒上升h的过程中,电阻R上产生的热量;
解析:
（1）当金属棒上升h时，加速度为0，由整体法得:
0Mgsin30=mg+F安
金属棒受到的安培力F=BIL=KhIL安
KhLVmgR而感应电流I=，所以联立解得:
V=;222RKhL
（2）电阻R上产生的热量为Q，对整体运用动能定理:
12,（m，M）VMghsin,mgh,W=克安2
5
3225mgR所以W=mgh,克安4442KhL
3225mgR所以Q=W=mgh,克安4442KhL
可见，如果所研究的物体（物体系）同时受几个力的作用，这几个力中只有F是变安力，其余为恒力，并且初末速度已知，用动能定理来解决问题事半功倍。
2、用功能原理来求解W克安
机械能守恒定律告诉我们，在只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒，言下之意，如果除重力和弹力以外的其他力对物体也做功，系统的机械能就会发生变化，而且这些力做了多少功，系统的机械能就转化了多少，这就是功能原理。
例5、相距L,1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m,1kg的金属棒ab和质1
量为m,0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，2
虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。
ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ,0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计。
ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。
（1）求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小;
（2）已知在2s内外力F做功26.8J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热;
解析:
（1）由（b）图可得:
外力F=11+1.8t,对ab棒分析:
BLVF,mg,BL,ma11R总
6
而V=at，代入数据可解得:
2B2.25at2，利用（b）图，当t=0时，a=1m/s，所以:
1，（1.8t,）,a1.8
22.25Bat=0，所以B=1.2T，1.8t,1.8
（2）2s内，ab棒上升的距离
12h,at,2m;2
ab棒增加的重力势能:
E,mgh,20JP1
12,E,mV,2Jab棒增加的动能:
K12
Eab棒增加的机械能:
=,E，,E,22JPK机
E由功能关系得:
W,W=也就是外力F做的功加上安培力做的功等于ab棒增克安F机
E加的机械能。
所以，W=W,=26.8,22,4.8J克安F机
从以上例题可以看出，功能原理也可以推广到电磁感应问题中，除重力（弹力）以外的外力（包括安培力）做的功等于物体机械能的变化量。
3、用能量守恒定律来求焦耳热Q
能量的转化与守恒定律是自然界的基本规律，也是物理学的重要规律，在电磁感应中用能量守恒来求解焦耳热历来是高考的热点、重点与难点。
例6、如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接，两导轨间距为L，导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为s，相邻磁场区域的间距也为s，s大于L，磁场左右两边界均与导轨垂直。
现有一质量为m，电阻为r，边长为L的正方形金属框，由圆弧导轨上某高度处静止释放，金属框滑上水平导轨，在水平导轨上滑行一段时间进入磁场区域，最终线框恰好完全通过n段磁场区域。
地球表面处的重力加速度为g，感应电流的磁场可以忽略不计，求:
（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度;
（2）整个过程中金属框内产生的电热
7
解析:
设金属框刚好完全进入水平轨道时的速度为V，考虑金属框进入第一个匀强磁0
场区域时受到安培力，由动量定理:
，即F,t,m,v安
2222BLBL;进行求和，，得到:
v,t,m,vv,t,m,v,,rr
22BLL,m,Vr
23BL所以:
，也就是金属框完全进入第一个磁场区域，速度变化量大V,,mr
23BL小为:
，根据对称性:
金属框从第一个磁场区域完全出来，速度变化量大小V,,mr
23BL也为:
，因此，金属框穿过第一个磁场区域，速度变化量大小为:
V,,mr
23BL2,U,V,2,mr
23nBL2,U根据题意，最终金属框完全通过n段磁场区域，所以:
V,0,n,0mr
设刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度为h，则有机械能守恒得:
22461VnBL202mgh,mVh，所以:
,0222g2mrg
（2）考虑整个过程，由能量守恒，金属框减少的机械能转化为焦耳热Q，所以:
4262BnLQ,mgh,2mr
电磁感应问题中焦耳热的求解是教学难点，在上述实例中，从不同角度、用不同的方法阐述了如何求解焦耳热，在实际教学中，通过归类讨论，有利于提高学生灵活运用所用知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路。
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