饿狼追兔问题数学建模Word格式.doc
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1.1问题的提出
在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；
如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。
图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；
红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（100，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。
建立数学模型需研究一下几个问题：
（1）设野兔的速度我v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。
建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。
（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼渔业突地运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，60）-野兔巢穴的上面还是下面。
（4）用数值方法求解。
根据第一步建立的关于二郎追野兔的运动轨迹微分模型，进行数学运算，讨论兔子能否安全回到巢穴，即所求交点的y值大于60还是小于60.
1.2问题的分析
（1）分析饿狼追野兔的运动模型。
在1.1中已经说了，饿狼追野兔过程中，野兔的目的是要在饿狼捉住自己之前跑到自己的巢穴，假如恶狼知道野兔巢穴的具体位置，根据题目所给，饿狼完全可以先兔子跑到其巢穴，然后在那里守株待兔，野兔则难逃饿狼之口。
那样饿狼的轨迹就是一条直线，只需简单的数学计算就可以完成。
（2）但这是一个理想化的实际问题，在这个问题中由于饿狼不可能知道兔子巢穴的具体位置，因此它的速度的方向永远是朝着兔子的，兔子一直向北跑，相对于饿狼来说兔的角度在时刻的变化，所以最终饿狼的轨迹是一条曲线。
而兔子能否活下来，还是一个需要经过具体较复杂计算的问题。
1.3数值方法求解
初始时刻（t=0）兔子位于原点（0,0），饿狼位于（100,0）；
兔子以常速度v0沿y轴跑，饿狼在t时刻的位置为（x,y），其速度为v1=2v0；
饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：
饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为
Y-y=（dy/dx）*（X-x）=[（dy/dt）/（dx/dt）]*（X-x）
其中（X,Y）为切线上动点。
又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子（0,v0t）在切线上，所以v0t-y=[（dy/dt）/（dx/dt）]*（0-x）
从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定
（dx/dt）*（v0t-y）=（dy/dt）*（-x）
（1）
（dx/dt）2+（dy/dt）2=v12
（2）
由
（1）有（dy/dx）*（-x）=v0t-y，两边对t求导并化简
（d2y/dx2）*（dx/dt）*（-x）=v0（3）
由
（2）有（dx/dt）2{1+[（dy/dt）/（dx/dt）]2}=v12
即dx/dt=-v1/[1+（dy/dx）2]1/2（注这里去负号，是由这个追赶曲线——上图，决定的）
代入（3），并把v1=2v0代入并化简得
（d2y/dx2）*x=[1+（dy/dx）2]1/2/2（4）
这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y（100）=0
令p=dy/dx，这dp/dx=d2y/dx2，这（4）化为
（dp/dx）*x=[1+p2]1/2/2，可分离变量求得
ln{p+[1+p2]1/2/2}=0.5*lnx+c
又p（100）=0，所以c=-ln10，从而
p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10
这p=（x1/2/10-10/x1/2）/2
即dy/dx=（x1/2/10-10/x1/2）/2，从而
y=（x-300）*x1/2/30+c，又y（100）=0
则
y=（x-300）*x1/2/30+200/3
令x=0，得
y（0）=200/3>
60
故兔子没有有危险
1.4解析方法求解（matlab创新求解）
在本题题目中给出了参考的matlab的方程式
【注】常微分方程高阶初值问题的MATLAB库函数为：
ode45。
语法为：
[t,Y]=ode45（odefun,tspan,y0）
例如函数：
functiondy=rigid（t,y）
dy=zeros（3,1）;
%acolumnvector
dy
（1）=y
（2）*y（3）;
dy
（2）=-y
（1）*y（3）;
dy（3）=-0.51*y
（1）*y
（2）;
设置选项：
options=odeset（'
RelTol'
1e-4,'
AbsTol'
[1e-41e-41e-5]）;
求解得：
[t,Y]=ode45（@rigid,[012],[011],options）;
画出解函数曲线图形：
plot（T,Y（:
1）,'
-'
T,Y（:
2）,'
-.'
3）,'
.'
）
但是我们决定不用题目中给的函数，而是采用另一个函数：
r=dsolve（'
eq1,eq2,...'
'
cond1,cond2,...'
v'
），这个函数的作用是把常微分方程（无论是一阶还是高阶）转化成不带有求导的一般性方程，但是一般情况下经过这种函数转化之后，得到的方程式比较复杂，但是如果把已知条件也带进dsolve函数中，得到的函数就会比较简单。
另外还要注意的一点就是在matlab中的Dy，D2y都默认为是对t的求导，所以在用desolve函数的时候，要把所有的x换成t，然后还要借助y=subs（y,t,’x’）函数，把求得的函数式的自变量改为x。
下面开始分析问题模型。
由§
1.3中的（4）方程（d2y/dx2）*x=[1+（dy/dx）2]1/2/2，并且有已知条件：
y（100）=0；
dy/dx（100）=0。
故编写的matlab程序如下：
>
y=desolve（‘t*D2y=sqrt（1+Dy^2）/2’,’y（100）=0’‘Dy（100）=0’）;
y=subs（y,t,‘x’）；
得到y=sqrt（x）.*（x-300）/30+200/3
在饿狼的运动曲线上取点x=25，并借助matlab：
y=sqrt（x）.*（x-300）/30+200/3,x=25,y
得到y=20.833，并且求得切线在（25，20.833）点的斜率为-3/4,故求得饿狼运动曲线在点（25，20.833）处的切线方程：
z=0.75*（25-x）+20.833。
在matlab环境下运行得到函数y=sqrt（x）.*（x-300）/30+200/3，然后再编辑elang.m文件：
x=linspace（0,100,500）;
y=sqrt（x）.*（x-300）/30+200/3;
z=0.75*（25-x）+20.833;
plot（0,y,'
y'
x,y,'
r'
x,z,'
c'
在matlab环境下调用elang.m文件
elang
得到如下图：
由题意知，野兔的巢穴在点（0，60）处，由图中可以看出，在野兔到达自己的巢穴点（0,60）时，饿狼的运动曲线与y轴还没有交点，即饿狼还没有追上兔子，所以，由此可以回答课题提出的问题：
野兔可以安全回到巢穴。
1.5模型的优点与改进
优点：
本模型适用范围较广，追击问题中可以较多应用，在辅助软件的求解下，结果很容易得出。
改进：
由于问题有些理想化，没有考虑实际的具体环境因素和自然因素对野兔和饿狼速度的影响。
所以较问题复杂程度较低。
在真正的实际问题中，本模型可以作为参考，把相关因素考虑进来，同时借助辅助软件同样能很快求解。
参考文献：
[1]方道元（1958.4~）编著
常微分方程
[2]刘会灯（计算机）编著
MATLAB编程基础与典型应用
[3]数学建模原理与案例
冯杰（计算机教授）编著
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