专题02 中点模型巩固练习提优冲刺中考几何专项复习解析版.docx

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专题02中点模型巩固练习提优冲刺中考几何专项复习解析版

中点模型巩固练习（提优）

1.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：

BF⊥FD.

【解答】见解析

【解析】如图，连接CF.

∵AC＝CE，F为AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFD＋∠DFC＝90º，

∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º，

在Rt△ABE中，∵F为AE的中点，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB，

∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，

又∵AD＝BC，FA＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC，

∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，∴BF⊥FD.

2.如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：

BC－AD＝2EF.

【解答】见解析

【解析】如图，过点E作EM∥AB交BC于点M，EN∥DC交NC于点N.

∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴四边形ABME和四边形DCNE为平行四边形，∴BM＝AE，CN＝DE，

∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝ED，BF＝CF，∴FM＝FN，

∵EM∥AB，EN∥DC，∴∠EMN＋∠B，∠ENM＝∠C，

又∵∠B＋∠C＝90º，∴∠EMN＋∠ENM＝90º，即∠MEN＝90º，∴EF＝

MN，

∴EF＝

[BC－（BM＋NC）]＝

（BC－AD），即BC－AD＝2EF.

3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于点E交BC于点F，求证：

BF＝2FC.

【解答】见解析

【解析】如图，过点C作CN⊥BD交BD的延长线于点N.

∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠N，

∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN（AAS），∴DE＝DN，

∵AF⊥BD，CN⊥BD，∴AF∥CN，∴

，

∵∠BAC＝90º，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴

，即

，

同理可证

，∴

，

∵AB＝AC＝2AD，

，又∵DN＝DE，

，