最新人教版八年级下册初二数学《第十八章平行四边形》教学案导学案.docx

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最新人教版八年级下册初二数学《第十八章平行四边形》教学案导学案

18.1平行四边形

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质．

2、了解平行四边形在生活中的应用实例，能根据平行四边形的性质解决有关的问题．

【重点难点】平行四边形性质的探究及应用；平行四边形性质的探究.

知识概览图

新课导引

平行四边形是我们常见的图形，小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等，都是平行四边形的形象。

平行四边形在生活中比比皆是，那么它有什么样的性质？

又如何判断一个四边形是平行四边形呢？

教材精华

知识点1平行四边形的概念

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

表示方法：

平行四边形用“”表示，如图19-1所示，平行四边形ABCD记作“ABCD”,其中表示顶点的字母要按顺时针或逆时针的顺序排列.

相关概念：

对边有AD和BC，AB和CD；对角有∠DAB和∠DCB，∠ABC和∠ADC；对角线是AC和BD.

知识点2平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边相等.

（2）平行四边形的对角相等.

（3）平行四边形的对角线互相平分.

知识点3平行四边形的面积

平行四边形的面积等于平行四边形的底与底边上的高的积。

用式子可表示为

，其中a为底边长，h为底边上的高（即相应的两条平行线之间的距离）.

如图19-3所示，

知识点4平行四边形的判定

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

知识点5三角形的中位线概念

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

如图19-6所示，若点D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，则线段DE，EF，DF均是△ABC的中位线.

知识点6三角形的中位线定理

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

如图19-6所示，若D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，则DE

，EF

，DF

.

【方法拓展】

（1）三角形的中位线定理在同一条件下具有两个结论；一个定性的是平行于第三边，另一个定量的就是等于第三边的一半，此结论用途比较广泛，又因为中位线具有平移角度、倍分转化的功能，因此当遇到中点或三角形中线时，应考虑是否作中位线，这种思想方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”.

知识点7两条平行线间的距离

两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离.

课堂检测

基本概念题

1、如图19-10所示，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，一条边AB的长为8m，则其他三边的长度各是多少？

基础知识应用题

2、平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对边平行B.对边相等

C.对角线互相垂直D.对角线互相平分

3、如图19-11所示，已知

的周长是28cm,AC与BD交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大4cm，则AB＝cm，BC＝cm.

综合应用题

4、已知平行四边形的一边长为14，则下列各组数据中，能分别作为它的两条对角线长的是（）

A.10和16B.12和16

C.20和22D.10和40

5、如图19-16所示，已知D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DF＝AF，将FD延长到G，使FG＝2DF，连接AG，求证：

ED，AG互相平分.

探索创新题

6、如图19-20所示，在四边形ABCD中AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，几妙后四边形ABQP是平行四边形？

体验中考

1、如图19-22所示，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）

A.AD＝BCB.CD＝BF

C.∠A＝∠CD.∠F＝∠CDE

2、如图19-23所示，在

中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD.

（1）求证△ADE≌△CBF；

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？

请证明你的结论.

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、解：

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB＝CD，AD＝BC.

又因为AB＝8m，所以CD＝8m.

因为AB+BC+CD+DA＝36m，

所以AD＝BC＝

所以

2、C

3、95

4、C

5、解：

连接AD，EG.

因为DE＝AF，DF∥AF，

所以四边形AEDF为平行四边形，所以AE

FD.

因为FG＝2DF，所以GD＝DF，

所以AE＝DG，即AE

DG.

所以四边形AEGD为平行四边形.

所以ED，AG互相平分

6、解：

设经过x秒后，AP＝BQ，

则AP＝x,BQ=BC-CQ=6-2x，

所以x=6-2x，所以x=2。

所以2秒后四边形ABQP是平行四边形

体验中考

1、D

2、证明：

（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD，

∵E，F分别为AB，CD的中点，∴AE＝CF.

∴要△AED和△CFB中，

∴△AED≌△CFB（SAS）.

解：

（2）

，则四边形BFDE是菱形.证明如下：

∵

，∴△ADE是直角三角形，且AB是斜边.

∵E是AB的中点，∴

.

由题意可知EB∥DF且EB＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形.

又∵DE=BE,∴四边形BFDE是菱形.

18.2特殊的平行四边形导学案

学习目标、重点、难点

【学习目标】掌握矩形、菱形和正方形的定义、性质、判定及其之间的关系.

【重点难点】矩形、菱形和正方形性质的灵活运用及其的判定.

知识概览图

新课导引

工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形。

测量两组对边的长度分别相等，可以说明这个四边形是平行四边形；如果再测得它们的两条对角线相等，则这个平行四边形是矩形，这其中的道理是什么呢？

在平行四边形的前提下，再加一个什么条件才能判定这个图形是矩形呢？

教材精华

知识点1矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

知识点2矩形的性质

（1）矩形具有平行四边形的所有性质.

（2）矩形的四个角是直角.

（3）矩形的对角线相等.

（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴.

知识点3直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

如图所示，在Rt△ACB中，

，点D是AB的中点，则

.

知识点4矩形的判定

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

拓展：

（1）若已证一个四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得为矩形.

（2）对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），对角线相等且互相平分的四边形为矩形.

知识点5菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

如图所示，在

中，AB＝BC，则四边形ABCD是菱形.

知识点6菱形的性质

（1）菱形具有平行四边形的所有性质.

（2）菱形的四条边都相等.

（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴.

知识点7菱形的面积公式

菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.

知识点8菱形的判定

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

（3）四边相等的四边形是菱形.

菱形判定的几种常见情况：

（1）用边来判定：

①先说明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等；②说明四边形的四条边都相等.

（2）用对角线进行判定：

①先说明四边形是平行四边形，再说明四边形的对角线互相垂直；②说明四边形的对角线互相垂直平分.

知识点9正方形的定义

一组邻边相等的矩形是正方形.

知识点10正方形的性质

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.

知识点11正方形的判定

（1）一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）有一个内角是直角的菱形是正方形.

（3）对角线相等的菱形是正方形.

判断四边形是正方形的正确的命题有：

（1）对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.

（2）对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形.

（3）对角线相等的菱形是正方形.

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.

（5）既是菱形又是矩形的四边形是正方形.

规律方法小结

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

课堂检测

基础知识应用题

1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形的对角线的长.

2、如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）

A.

B.

C.

D.

综合应用题

3、如图所示的是一种“羊头”形图案，其作法是：

从正方法①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②＇……依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为cm.

4、如图所示，在△ABC中，

，BD平分

求证四边形DFBE是正方形.

探索创新题

5、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12㎝，BC＝6㎝.现有两动点P，Q，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动。

点Q没DA边点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间

.

（1）t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论.

体验中考

1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，

，则矩形的对角线AC的长是（）

A.2B.4C.

D.

2、如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，

，则对

角线AC等于（）

A.20B.15C.10D.5

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析由矩形的性质可知AC=BD=2OA=2OB，所以OA=OB，因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以OA=OB=AB，即可求出OA，OB的长，进而求得矩形对角线的长.

解：

因为四边形ABCD是矩形，

所以AC与BD相等且互相平分，所以OA=OB.

又因为∠AOB=60°，

所以△OAB是等边三角形，所以OA=OB=AB=4cm.

所以矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8（cm）.

2、B.分析由已知，易证△ODF≌△OBE，即S△AOE+S△DOF＝S△AOE+S△OBE＝S△AOB，又因为S△AOB＝

S矩形ABCD，所以S阴影部分＝

S矩形ABCD.

3、8分析由勾股定理可得正方形②、正方形③、正方形④的边长依次是

由此可归纳正方形⑦的边长为

.

4、分析先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等.

证明：

因为

，

所以DE∥AB。

同理，DF∥BC。

所以四边形DFBE是平行四边形。

又因为

，所以

是矩形。

因为BD平分

，

所以DE＝DF，所以四边形DFBE是正方形。

【解题策略】本题也可以在证明四边形DFBE是平行四边形的前提下，先证明它是菱形，再证明它是正方形，解题时要灵活发选择方法.

5、分析

（1）观察△AQP的形状，要使它成为等腰直角三角形，用t的代数式表示AQ，AP，求当AQ＝AP时t的值即可。

（2）四边形QAPC的面积＝△QAC的面积+△PAC的面积.

解：

（1）对于任何时刻t

，有

当

时，△QAP为等腰直角三角形

所以

，解得t＝2

所以，当

时，△QAP为等腰直角三角形

（2）在△QAC中，

边上的高DC＝12，

所以S△QAC

在△APC中，

所以S△APC

所以S四边形QAPC＝S△QAC+S△APC＝

（

）

经探索，可以得出如下结论：

当P，Q两点移动时，四边形QAPC的面积始终不变，是36

，并且P，Q两点到AC的距离之和不变.

体验中考

1、B分析根据矩形的性质知：

矩形的对角线相等且互相平分，所以AO＝BO，在△AOB中，

，所以△AOB为等边三角形，所以AO＝AB＝2，所以AC＝2AO＝4.故选B.

2、D分析在菱形ABCD中，AB∥CD，∴

∵

，∴

∵AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5故选D