解排列组合应用题的十三种策略及常现背景.docx
《解排列组合应用题的十三种策略及常现背景.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解排列组合应用题的十三种策略及常现背景.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
解排列组合应用题的十三种策略及常现背景
解排列组合应用题的十二种策略导与练
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一、运用两个基本原理
加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们
都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。
例1（2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有种。
（以数字作答）。
分析：
本题只要用两个基本原理即可解决。
解：
根据题意，可分类求解：
第一类，用三种颜色着色，由乘法原理C14C41C12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C14C41C12C11=48种方法。
从而再由加法原理，得24+48=72种方法。
故应填72。
二、特殊元素（位置）优先
例2从a,b,c,d,e这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？
解法一（元素分析法，b为特殊元素）先排b，但考虑到取出的4个元素可以有b,也可以没b,所以分两类：
第一类，取出的4个元素中有b,则排b有A
种方法；再从a,c,d,e中取出3个排另外三个格子有A
种所以此类共有A
种。
第二类，取出的4个元素中没有b，则!
有A
种方法，所以共有A
+A
=96种放法.
解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A
种（从a,c,d,e中取一个）再排另三格有A
种，所以共有A
.A
种放法。
解法三：
（间接法）
三、捆绑法
例3．计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）
A
B
C
D
解：
油画整体、国画整体、水彩画个“元素”先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有
种方法，又幅油画的不同陈列方式有
种，幅国画陈列方式有
种，因而，画展的不同陈列方式有
种，故选D.
四、插空法
例4、道路边上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：
由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：
在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有
种。
练：
（1）三个学校分别有1名，2名，3名学生获奖，这6人排成一排合影，同校任两名学生不能相邻，那么不同的排法有多少种。
（120种）
五、排除法
例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）
A．8种B．12种C．16种D．20种
解：
由六个面任取三个共有C36=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件的共有C36-8=12种。
故选B。
六、对称比例法
有些排列组合应用题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解。
例6由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于5000的偶数共有（）
A．60个B．48个C．36个D．24个
解：
全排列为A55，由题意知满足条件的五位数的个位上出现2，或4的可能性为
，在余下的四个数中，万位上出现满足条件的数字的可能性为
，故满足条件的五位数
共有：
×
×A55=36。
故选C。
例7用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（）
A．24个B．30个C．40个D．60个
解：
五个数字选三个组成的三位数共有A35个，其中2，4为个位数的占
，所以满足条件的偶数共有
A35=24。
故选A。
七、多元分类法
对于元素多、选取情况多的可按要求进行分类讨论，最后总计。
例8有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）
A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种
解：
先从10人中选出2人承担甲项任务，有C210种选法，再从余下的8人中选1人承
担乙项任务，有8种，最后从7人中选1人承担丙项任务，有7种，所以根据乘法原理知共有C210×8×7=2520种。
故选C。
例9一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植
一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种。
解：
先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。
而作物B种植的情况与作物A相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2=12种。
练习
① 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（B）
Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种
②用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（B）
A．324B．328C．360D．648
③从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数（C）
A85B56C.49D.28
④某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48（A）
⑤某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人开会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自不同企业的可能情况的种数为（）（B）
A、14B、16C、20D、48
⑥从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（B）
A.280种B.240种
C.180种D.96种
⑦有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（C）
A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种
⑧一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植
一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有12种。
八、先取后排法
例10．有5个男生和3个女生，从中选5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。
⑴有女生但人数少于男生⑵某女生一定要担任语文科代表。
⑶某男生必须在内，但不担任数学科代表。
⑷某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表。
分析：
比较复杂的排列组合混合问题，一般要遵循先取后排的原则。
解：
⑴可分为1女4男和2女3男，共计不同的选法种数为
，任科代表种数为
，即（
=5400
⑵某女生一定要担任语文科代表，余4门科代表从余下的7人中任选有
种。
⑶某男生从除数学外四科中任选一科代表有
，余4科从余下的7人中任选共有不同种数为
⑷某女生任语文科代表，某男生从余下3
种（数学除外）中任一科有
种，余3科代表由余下6人中选项任，共计不同安排总数为
种。
九、转化法
例11．将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每校至少1个保额，问名额分配的方法共有多少种？
解：
问题等价于将排成一行的12个相同元素分成7份的方法数，相当于用6块隔板插在11个间隔中，共有
种不同的方法。
例12．10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同跨法？
解：
由题意知要有4步单级、3步双级，因此，这是两类不同元素的排列，问题等价于只要在7步中任意选3步双级即可。
故
种。
十、隔板法
例1320个相同的球分放在三个盒中，不允许有盒不放球，有多少种分法？
解：
将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别放在三个盒中，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为C219种方法。
练一练
（1）7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子里,则问每个盒子都不空的放法共有（）种
（2）15个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒中，要求盒中的球数不少于编号数，问有多少种不同的放法。
（3）要从7所学校选出10人参加素质教育研讨会，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有多少种不同的分配方法？
（4）将组成蓝球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1人，问名额的分配方式共有多少种
种不同的方法。
（5）马路上有编号为1，2，3，4，5，。
。
。
10盏路灯，现要关掉其中3盏，但不能同时关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足条件的关灯方法有（20）种。
用隔板法处理该题．
（6）6个人带10汽水去春游,每人至少带一瓶,一共有多少种携带方法（27）
十一、定序问题倍缩法
3在100,101,102,,,,,999之中,由三个不同数码按递增或递减的次序排列成三位数的个数是204个
4某仪表显示屏上一排有7个小孔,每个小孔可以显示出0或1,若每次显示出其中的3个孔,但相邻的两个孔不能同时显示,则这个显示屏可以显示的不同信号种数是（80）
十二均分与不均分的分组问题,定向与不定向的分配问题
1.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（B）
A．300种B．240种C．144种D．96种
3.将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（A）
A．70B．140C．280D．840
4.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（D）
A．
B．
C．
D．
5．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（D）
A.16种B.36种C.42种D.60种
6．将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有选B.
（A）３０种 （B）９０种（C）１８０种 （D）２７０种
7．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（B）
A．40种B．60种C．100种D．120种
（8）某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）种
A、36种B、38种C.、108种D、24种
（9）将5名志愿者分配给3个不同的奥运场馆参加接持工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为：
（D）
A、540种B、300种C.、180种D、150种
10锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（C）
A．
B．
C．
D．
11 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（B）
A．
B．
C．
D．
12甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数量 （用数字作答）.（336）
14将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有36种（用数字作答）．
15为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片则获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为（）
A、
B、
C、
D、
（D）
十二数字背景问题:
1、用1,2,3,4,5,6,7,8,9六个数字组成没有重复数字的四位数中,是9的倍数的有
（24）个
2、在1,2,3,4……..100这100个数字中任取两个不等的数,回答下列各题:
（1）使它们的和是3的倍数,这样的取法共有多少种
（2）使它们的积为3的倍数,这样的取法共有多少种.
（2）
3720的公约数共有多少个,（30个）19．2310的正约数有个，（32）
4用1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字中任取两个不同的数分别作为一个对数的真数和
底数,一共可以得到多少个不同的对数值,其中比1大的数有几个?
（53）
5由0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,且百位上的数字奇数,则这样的四位数
有多少?
6用0,1,2,3,4,5这六个数字
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数?
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数
（3）能组成多少个比1325大的四位数?
（4）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数上的六位数字
分三类:
（1）形如2○○○3○○○,4○○○,5○○○共有
类
（2）形如14○○15○○共有
（3）形如134○, 135○ 共有
故共有270个
（4）先将1,3,5在奇数位上排列,有
再将其余3个偶数排在剩余3个位置上排列,共有
由分步原理,所以符合条件的共有
.
十三交叉问题：
注意用集合的思想处理：
① 50名学生参加甲，乙两项体育活动，每人至少参加了一项。
参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25，则仅参加了一项活动的学生人数为
A50B45C40D35
② 安排A，B，C三人在星期一至星期六值班，每人值班两天，A不值星期一，B不值星期六，则不同的排法有多少种。
（42）
③ 有A，B，C，D，E，F共6个不同的油气罐，准备用甲，乙，丙3台卡车运走，每台运两个，但卡车甲不能运A罐，卡车乙不能运B罐，此外无其它限制，要把这6个油气罐分给这3台卡台，则不同的分配方案有多少种？
（42）
错排问题的题型
（1）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺卡，则这四种贺年卡的不同分配方式有（）种。
（9）种
（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球，和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投入方法的总数有（2
）种。
（3）从4只标号分别为1，2，3，4的小球中，选出3只分别放入编号为甲，乙、丙的盒中，若规定1号球不能放入甲盒，2号球不能放入乙盒，3号球不能放入丙盒，可能的放法有（11）
（4）．如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。
则不同的涂色方法共有《选自2010年天津真题）（B）
A．288种
B．264种C．240种D．168种
（5））有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。
若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______264_种（用数字作答）.
升级会员 