插板法原理及应用.docx
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插板法原理及应用
插板法理论分析:
假定M个元素,分成N组。
M个元素中间有（M-1）个空,如果想分为N组的话需要插入（N-1）个木板,所以方法数为:
C（M-1,N-1）;
注意插板法的三要件:
①相同元素分配;②所分组就是不相同的;③每组至少分到一个。
插板法的三种基本形式:
（1）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法？
A、21B、28C、32D、48
楚香凝解析:
8个球中间有7个空,分到3个盒子需要插两块板,插板法C（72）=21种,选A
●△●△●△●△●△●△●△●
对于不满足第三个条件---即“每组至少一个”的情况,要先转化为标准形式,再使用插板法。
（2）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放两个球,一共有多少种方法？
A、3B、6C、12D、21
楚香凝解析:
先往每个盒子里提前放一个、还剩下5个;转化为5个相同的球分到3个不同的盒子,每个盒子至少一个,插板法C（42）=6种,选B
（3）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,一共有多少种方法？
A、15B、28C、36D、45
楚香凝解析:
此时因为每个盒子可以分0个,先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去;转化为11个相同的球分到3个不同的盒子,每个盒子至少一个,插板法C（102）=45种,选D
此时也可以根据八个球之间9个空,两个板子插不同的空有C（92）=36种、插同一个空有C（91）=9种,36+9=45种;
对比三种不同的考法,其实它们之间就是存在密切联系的。
8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放0个球,有C（102）种;
8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,有C（72）种;
8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放两个球,有C（42）种;
这三种基本形式,要牢牢掌握。
例1:
某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放9份材料。
问共有多少种不同的发放方法？
【国家2010】
A、12B、10C、9D、7
楚香凝解析:
每个部分先提前分8份材料,还剩下30-3×8=6份;相当于6份材料分给3个部门,每个部门至少分1份,插板法C（52）=10种,选B
例2:
某办公室接到15份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。
假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份,也不得多于10份,则共有（）种分配方式。
【广州2014】
A、15B、18C、21D、28
楚香凝解析:
每人先分2份、还剩下15-3×2=9份;相当于9份公文分给三个人,每人至少1份、至多8份,插板法C（82）=28种,选D
例3:
某单位共有10个进修的名额分到下属科室,每个科室至少一个名额,若有36种不同分配方案,问该单位最多有多少个科室？
【黑龙江2015】
A、7B、8C、9D、10
楚香凝解析:
C（10-1,n-1）=36,代入n=8满足,选B
补充:
若问最少有多少个科室,因为C（92）=36,此时为3个科室。
例4:
把10个相同的球放入编号为1,2,3的三个盒子中,使得每个盒子中的球数不小于它的编号,则不同的方法有（ ）种。
A、10B、15C、20D、25
楚香凝解析:
第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球,还剩下10-1-2=7个球;相当于把7个相同的球放入三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,插板法C（62）=15种,选B
例5:
把10个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以放空球,有几种情况？
A、15B、28C、36D、66
楚香凝解析:
第二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球,还剩下10-2+1=9个球;相当于把9个相同的球放入三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,插板法C（82）=28种,选D
例6:
现有9块巧克力（其中5块有夹心）,若将这些巧克力分给3个小朋友,平均每个人都有3块,问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力的情况有多少种？
【粉笔模考】
A、6B、9C、12D、25
楚香凝解析:
相当于把5块夹心巧克力分给3个人,每人至少1块、至多3块,插板法C（42）=6种,然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可,选A
对于插板法的基础题型来说,最关键的一步就就是把题中的条件转化成插板法的标准形式,即“每组至少一个”。
★插板法技巧进阶篇
①在直接使用插板法时,有时会出现不满足题意的情况,需要减掉。
例6:
某单位购买了10台新电脑,计划分配给甲、乙、丙3个部门使用。
已知每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台,那么电脑分配方法共有（）种。
【广东2013】
A、9B、12C、18D、27
楚香凝解析:
插板法C（92）=36种;然后去掉不满足题意的情况（即有的部门多于5台）:
选一个部门C（31）、先分给这个部门5台,再把剩下的5台分给3个部门,插板法C（42）,则不满足题意的情况有C（31）×C（42）=18种,满足题意的情况有36-18=18种,选C
例7:
有3个单位共订300份《人民日报》,每个单位最少订99份,最多101份。
问一共有多少种不同的订法？
【黑龙江2010】
A、4B、5C、6D、7
楚香凝解析:
解法一:
分类:
99+100+101的情况有A（33）=6种,100+100+100的情况有一种,共7种,选D
解法二:
每个单位先提前分98份,还剩下300-3×98=6份;相当于把6份日报分给3个单位,每个单位至少分1份、至多分3份,插板法减去有单位分到4份的情况,C（52）-C（31）=7种,选D
②有时直接正面使用插板法,因为需要减掉的情况比较多,可以考虑从反面入手,利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。
例3:
四个小朋友分17个相同的玩具,每人至多分5个,至少分1个,那么有多少种分法？
【河南招警2011】
A、18B.19C.20D.21
楚香凝解析:
每个小朋友先分5个、共分了20个,再收回20-17=3个,每人至少交回0个,插板法C（63）=20种,选C
例4:
某快问快答节目第一关设置4道题,选手答错任意一题则立即停止答题。
比赛规定:
第一题到第四题的答题时间分别限定在10、8、6、3秒内（选手每题的答题时间都计为整秒且至少为1秒）,某位选手通过第一关,答题用时24秒,则该选手在4道题上的答题用时组合有多少种:
【粉笔模考】
A、8B、15C、19D、20
楚香凝解析:
总的时间上限=10+8+6+3=27秒,相当于从27秒中去掉3秒,每题可以去0秒、第四题最多去2秒;转化为三个名额分给四道题,每道题至少分0个,再去掉三个名额都分给第四题的情况,插板法,C（63）-1=19种,选C
如果对于以上知识都已理解,可以通过下面几道练习题进行巩固。
练习1:
有3个单位共订300份《人民日报》,每个单位最少订99份,最多102份。
问一共有多少种不同的订法？
A、6B、7C、8D、10
楚香凝解析:
每个单位先提前分98份,还剩下300-3×98=6份;相当于把6份日报分给3个单位,每个单位至少分1份、至多分4份,插板法C（52）=10种,选D
练习2:
某办公室接到15份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。
假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份,也不得多于10份,则共有多少种分配方式:
A、52B、53C、54D、55
楚香凝解析:
每人先分1份、还剩下12份;相当于把12份公文分给3个人,每人至少1份、至多9份,插板法C（112）=55种,去掉有人分到多于9份的情况（即10+1+1）、有C（31）=3种,则满足题意的情况有55-3=52种,选A
练习3:
某办公室接到18份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。
假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份,也不得多于10份,则共有多少种分配方式:
A、43B、46C、51D、55
楚香凝解析:
每人先分2份、还剩下12份;相当于把12份公文分给3个人,每人至少1份、至多8份,插板法C（112）=55种,去掉有人分到多于8份的情况:
先选一个人分给她8份,剩下的4份分给3个人,每人至少1个,有C（31）×C（32）=9种,则满足题意的情况有55-9=46种,选B
练习4:
某办公室接到16份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。
假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份,也不得多于5份,则共有多少种分配方式:
A、20B、27C、31D、35
楚香凝解析:
每人先分5份、共分了20份,再收回4份,每人至少交出0份、至多交出3份,插板法C（73）=35种,去掉有人交出4份的情况C（41）=4种,则满足题意的情况有35-4=31种,选C
练习5:
袋中有红、白、黑三种颜色的球各10个,从中抽出16个,要求三种颜色的球都有,有多少种不同的抽法？
A、35B、45C、75D、105
楚香凝解析:
相当于16个名额分给三种颜色,每种颜色至少一个名额,插板C（152）=105种;去掉某种颜色多于10个球的情况,先选一种颜色C（31）、先分给它10个,剩下6个名额再分给三种颜色,每种颜色至少一个名额,插板C（52）=10,则满足题意的情况有105-3×10=75种,选C
★插板法技巧之比赛得分计算
（1）某社区组织开展知识竞赛,有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节,抢答环节共5道题。
计分方式如下:
每个家庭有10分为基础分;若抢答到题目,答对一题得5分,答错一题扣2分;抢答不到题目不得分。
那么,一个家庭在抢答环节有可能获得（）种不同的分数。
【广东2013】
A、18B、21C、25D、36
楚香凝解析:
有没有基础分并不影响得分的情况数;相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C（72）=21种,选B
通过分类可以瞧的更加清楚,答对一道与答错一道相差5+2=7分;
①抢到0道时,得分只有一种,即基础分10分;
②抢到1道时,得分有两种,答错为8分、答对为15分;
③抢到2道时,得分有三种,分别就是6、13、20;
④抢到3道时,得分有四种,分别就是4、11、18、25;
⑤抢到4道时,得分有五种,分别就是2、9、16、23、30;
⑥抢到5道时,得分有六种,分别就是0、7、14、21、28、35;
共1+2+3+4+5+6=21种,选B
（2）某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法就是答对一道得4分,答错一道扣1分,不答得0分。
设这次竞赛最多有N种可能的成绩,则N应等于多少？
【深圳2008】
A、45B、47C、49D、51
楚香凝解析:
相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C（122）=66种,但就是注意此时有些情况的得分就是重复的,出现重复的原因就是4×1+（-1）×4=0,即答对一道+答错四道=不答五道=0分。
如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分的情况有两种,所以在对剩余的五道题进行插板分配时C（72）=21,这21种情况出现的得分跟前五道题的0分合起来,每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次,所以满足题意的情况数有66-21=45种,选A
也可以结合一个具体的得分进行说明,比如8这个得分,8=4×2=4×3+（-1）×4,有两种可能:
（1）答对两道、不答八道,
（2）答对三道、答错四道、不答三道;两种可能性进行对比,消掉相同部分（答对两道、不答三道）后,
（1）不答五道,
（2）答对一道、答错四道。
这其实就就是出现重复的根源,或者说,对于任何一种重复得分,消掉相同部分后,剩下的部分都就是不答五道=答对一道+答错四道,即如果先拿出五道题,对剩下五道题进行插板,这C（72）=21种情况都会出现重复、需要减掉。
（3）某测验包含10道选择题,评分标准为答对得3分,答错扣1分,不答得0分,且分数可以为负数。
如所有参加测验的人得分都不相同,问最多有多少名测验对象？
【浙江B2018】
A、38B、39C、40D、41
楚香凝解析:
相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C（122）=66种,但就是注意此时有些情况的得分就是重复的,出现重复的原因就是3×1+（-1）×3=0,即答对一道+答错三道=不答四道=0分。
如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分的情况有两种,所以在对剩余的六道题进行插板分配时C（82）=28,这28种情况出现的得分跟前四道题的0分合起来,每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次,所以满足题意的情况数有66-28=38种,选A
也可以结合一个具体的得分进行说明,比如15这个得分,15=3×5=3×6+（-1）×3,有两种可能:
（1）答对五道、不答五道,
（2）答对六道、答错三道、不答一道;两种可能性进行对比,消掉相同部分（答对五道、不答一道）后,
（1）不答四道,
（2）答对一道、答错三道。
这其实就就是出现重复的根源,或者说,对于任何一种重复得分,消掉相同部分后,剩下的部分都就是不答四道=答对一道+答错三道,即如果先拿出四道题,对剩下六道题进行插板,这C（82）=28种情况都会出现重复、需要减掉。
对于加分与减分不互质的情况,需要进行一步转化。
（4）某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法就是答对一道得4分,答错一道扣2分,不答得0分。
设这次竞赛最多有N种可能的成绩,则N应等于多少？
A、21B、30C、38D、51
楚香凝解析:
相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C（122）=66种,但就是注意此时有些情况的得分就是重复的,出现重复的原因就是4×1+（-2）×2=0,即答对一道+答错两道=不答三道=0分。
如果先拿出3道题、这三道题共得了0分、而得到0分的情况有两种,所以在对剩余的七道题进行插板分配时C（92）=36,这36种情况出现的得分跟前三道题的0分合起来,每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次,所以满足题意的情况数有66-36=30种,选B
（5）某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法就是回答完全正确得5分,不完全正确得3分,完全错误得0分。
设这次竞赛最多有N种可能的成绩,则N应等于多少？
A、30B、38C、45D、60
楚香凝解析:
先做一步转化,使之转化为标准型。
鸡兔同笼思想:
假设初始为30分,相当于10道题全部不完全正确,在此基础上,每对一道增加2分、每错一道减少3分,那么就变成了回答完全正确得2分,不完全正确得0分,完全错误得-3分。
插板法C（122）=66种,去掉重复的部分:
先拿出3+2=5道题,剩下的五道题插板C（72）=21种,66-21=45种,选C
（6）在一次数学考试中,有10道选择题,评分办法就是:
答对一题得4分,答错一题倒扣1分,不答得0分,已知参加考试的学生中,至少有4人得分相同。
那么,参加考试的学生至少有多少人？
A、91B、103C、136D、199
楚香凝解析:
先求得分情况有多少种;插板法,C（122）-C（72）=45种,抽屉原理之最不利原则,每种得分先分3个人,再分一个人必然满足题意,45×3+1=136人,选D
（7）学生参加数学竞赛,共20道题,有20分基础分,答对一题给3分,不答给0分,答错一题倒扣l分,若有l978人参加竞赛,至少有多少人得分相同？
A、26B、27C、49D、50
楚香凝解析:
先求得分情况有多少种;插板法,C（222）-C（182）=78种,抽屉原理之平均分配问题,1978÷78=25…28,所以每种得分先分25人,剩下的28个人也尽可能平均分配,则至少有25+1=26个人得分相同,选A
（8）小梁买了一个会走路的机器猫玩具,这个机器猫只能走直线不能拐弯,并且只有向前走1cm、3cm、5cm这三种步伐。
小梁可以通过遥控器控制机器猫的每一种步伐。
若在小梁的控制下机器猫走了4步,该机器猫可以到达（）种不同的距离。
A、8B、9C、10D、11
楚香凝解析:
解法一:
最少走4cm、最多走20cm,所以4～20之间的偶数都可以到达,选B
解法二:
转化为4道题,每道题完全答对加5分、部分答对加3分、答错加1分,鸡兔同笼转化为完全答对加2分、部分答对加0分、答错加-2分,插板法C（62）-C（42）=9种,选B
（9）有1元、10元、100元的纸币共60张,每种至少一张,总钱数有多少种可能？
A、583B、592C、604D、617
楚香凝解析:
转化为完全正确得100分,不完全正确得10分,完全错误得1分;利用鸡兔同笼再转化为完全正确得90分,不完全正确得0分,完全错误倒扣9分;插板法C（592）=1711种;去掉重复的情况:
1道完全正确+10道完全错误=11道不完全正确,先拿出11道题,剩下的插板C（482）=1128种;1711-1128=583种,选A
★插板法技巧之常见应用模型
（1）方程a+b+c=10有多少组正整数解？
A、15B、20C、28D、36
楚香凝解析:
相当于把10个相同的苹果分给三个人,每人至少一个,插板法C（92）=36种,选D
（2）不等式a+b+c≤10有多少组非负整数解？
A、66B、78C、84D、286
楚香凝解析:
补一个字母d,转化为a+b+c+d=10,此时a、b、c、d都就是≥0的,相当于把10个相同的苹果分给四个人,每人至少0个,插板法C（133）=286种,选D
（3）（A+B+C）10的展开式中共有多少项？
A、36B、45C、66D、91
楚香凝解析:
对于（A+B+C）10的展开式中的任何一项Ax×By×Cz,都有x+y+z=10,其中
x、y、z都就是≥0的;相当于把10个相同的苹果分给三个人,每人至少0个,插板法C（122）=66种,选C
（4）有10颗糖,如果每天至少吃一颗（至多不限）,吃完为止,问有多少种不同的吃法？
A、144B、217C、512D、640
楚香凝解析:
解法一:
若1天吃完,只有1种;若2天吃完,插板法有C（91）种;若3天吃完,插板法有C（92）种…,共C（90）+C（91）+C（92）+…+C（99）=29=512种,选C
解法二:
10颗糖之间有9个空,每个空都可以选择就是否插板,对应的吃糖数就不同,共29=512种,选C
（5）有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好就是它前面两个数字之与,直至不能再写为止,如257、303369、1347等等,这类数共有多少个？
A、36B、45C、55D、66
楚香凝解析:
前两位固定,则第三位及之后的数都固定,首位+第二位≤9,补成a+b+c=9,其中b、c都可为0,插板法C（102）=45个,选B
（6）有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好就是它前面两个数字之差,直至不能再写为止,如7523、9817、63303等等,这类数共有多少个？
A、45B、50C、54D、55
楚香凝解析:
从最后两位考虑,若个位与十位固定,则往前依次固定,个位+十位≤9,补成a+b+c=9,其中a、b、c单独都可为0,插板法C（112）=55,去掉a、b同时为0的情况,满足题意的情况有55-1=54种,选C
补充:
这类自然数中最大的为
（7）4位同学分五个苹果、1个梨,每位同学至少分到一个水果,有多少种不同的分法？
A、16种B、24种C、40种D、48种
楚香凝解析:
先分梨有C（41）=4种,假设分给了甲;接下来把五个苹果分给甲乙丙丁,其中甲可以分0个,插板法C（53）=10种;共4×10=40种,选C
（8）5个相同的苹果与3个相同的梨分给4个小朋友,每人至少分1个水果,有多少种分配方式？
A、210B、420C、630D、840
楚香凝解析:
解法一:
先分梨,分类;
（1）3个梨分给同一个人,C（41）=4种,假设都分给了甲;接下来5个苹果分给甲乙丙丁,乙丙丁每人至少分1个苹果,插板法C（53）=10种,共4×10=40种;
（2）3个梨分给了两个人,C（42）×2=12种,假设分给甲2个、乙1个;接下来5个苹果分给甲乙丙丁,丙丁每人至少分1个苹果,插板法C（63）=20种,共12×20=240种;
（3）3个梨分给了两个人,C（43）=4种,假设分给甲乙丙各1个;接下来5个苹果分给甲乙丙丁,丁至少分1个苹果,插板法C（73）=35种,共4×35=140种;
共40+240+140=420种,选B
解法二:
直接容斥,苹果与梨分别插板-至少1人没分到+至少2人没分到-至少3人没分到=C（83）×C（63）-C（41）×C（72）×C（52）+C（42）×C（61）×C（41）-C（43）=420种,选B
（9）有一个两位数A,将其个位数字与十位数字互换得到与之不同的两位数B,再将A与B相加,结果仍为一个两位数。
问这样的两位数A有多少个？
【粉笔模考】
A、9B、32C、36D、64
楚香凝解析:
ab+ba=11（a+b）,则2＜a+b＜10,补上百位、用百位去凑满10;相当于把10个名额分给百十个位,每位至少分1个名额,插板法C（92）=36种,去掉a=b的四种（11、22、33、44）,满足题意的有36-4=32个,选B
（10）小明将一颗质地均匀的正六面体骰子,先后抛掷2次,两次点数之与大于5的概率就是多少？
【粉笔事业模考】
A、1/6B、5/18C、5/6D、13/18
楚香凝解析:
总情况数有6×6=36种;不满足题意的情况数,两次点数与＜6,相当于6个名额分给三个人,每个人至少分1个,插板法C（52）=10种,概率=（36-10）/36=13/18,选D
★插板法技巧应用之取球问题
（1）箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗,每次从中摸出3颗为一组,问至少要摸出多少组,才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合就是一样的？
【联考2014】
A、11B、15C、18D、21
楚香凝解析:
相当于三个名额分给3种颜色,每种颜色至少分0个,插板法C（52）=10种,抽屉原理,10+1=11种,选A
刚学插板法时应用起来不熟练,为了更加便于记忆,特做如下总结:
三种颜色的球各一颗,取三颗,有C（3,3）=1种取法。
三种颜色的球足够多,取三颗,【取三补二】,有C（3+2,3）=C（53）=10种取法。
n种颜色的球足够多,取m颗,【取m补m-1】,有C（n+m-1,m）种取法。
（2）从5个相同的苹果、6个相同的橘子、7个相同的香蕉中取4个水果,有多少种取法？
A、15B、20C、35D、3060
楚香凝解析:
相当于四个名额分给3种水果,每种水果至少分0个,插板法C（62）=15种,选A
（3）一个袋里有四种不同颜色的小球若干个,每次摸出两个,要保证有10次所摸的结果就是一样的,至少要摸多少次？
A、55B、87C、41D、91
楚香凝解析:
解法一:
相当于两个名额分给4种颜色,每种颜色至少分0个,插板法C（53）=10种,抽屉原理,每种情况分9次,此时刚好不满足题意,再分一次必然满足,10×9+1=91次,选D
解法二:
四种颜色的球足够多、取两个,取2补1,C（4+1,2）=10种,抽屉原理,每种情况分9次,此时刚好不满足题意,再分一次必然满足,10×9+1=91次,选D
（4）有四种颜色的文件夹若干,每人可任取1～2个文件夹,如果要保证有3人取到完
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