圆与二次函数的结合.docx

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圆与二次函数的结合

如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的横坐标是2．

（1）求二次函数的表达式；

（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值；

（3）试确定以点A为圆心，半径为$\frac{7}{5}$的圆与直线OB的位置关系．

（2007•芜湖）已知圆P的圆心在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞1）图象上，并与x轴相交于A、B两点．且始终与y轴相切于定点

C（0，1）．

（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；

（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位

（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

（1998•宁波）如图，在直角坐标系中，OA=OC，AB=4，tan∠BCO=$\frac{1}{5}$，二次函数y=ax2+bx+c图象经过A、B、C三点．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）求过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径．

1）先求出A、B两点坐标，将A、B两点入坐标代入y=ax2+bx即可解得二次函数的表达式；

（2）设点C的坐标为（t，t2），表示出S关于t的解析式，观察解析式可知当t=1时，四边形OABC面积S取最大值；

（3）过点A作AD⊥OB于D，根据三角形的面积公式求出AD的长度，再判断AD与⊙A的半径75的关系，可知圆A与直线OB相交．

解答：

解：

（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，

得A的坐标为（-1，1），B的坐标为（2，4）．

∵A，B在二次函数y=ax2+bx的图象上，

∴{a-b=14a+2a=4，

解得{a=1b=0，

∴二次函数的表达式为y=x2；

（2）如图，设四边形OABC的面积为S，点C的坐标为（t，t2），0＜t＜2，

分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足依次为A1，B1，C1，

则OA1=1，AA1=1，OC1=t，C1C=t2，B1C1=4-t，BB1=4，

于是，S=S梯形AA1B1B-S△OC1C-S梯形CC1B1B-S△OA1A，

=12×（1+4）×（1+2）-12×t×t2-12×（t2+4）×（2-t）-12×1×1，

=-t2+2t+3，

=-（t-1）2+4，

∴当t=1时，S的最大值为4．

即四边形OABC的面积的最大值为4；

（3）可求得OA=2，AB=32，OB=25，

∴OA2+AB2=OB2

∴∠OAB=90°

过点A作AD⊥OB于D，

由12×AD×OB=12×OA×AB，得

AD=OA×ABOB=2×3225=355，

∵AD＜75，

∴圆A与直线OB相交．

1）可用OB表示出OA、OC的长，进而在Rt△OBC中，根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得到OA、OC的长，也就求得了A、B、C的坐标；

（2）用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（3）根据抛物线的解析式可求得D点的坐标；过D作DE⊥x轴于E，根据抛物线与圆的对称性可知DE必过圆心，连接MB（设圆心为M），在Rt△MEB中，可用⊙O的半径表示出ME、MB的长，进而由勾股定理求出⊙O的半径．

解答：

解：

（1）设OB=x，则OA=OC=4+x；

Rt△OBC中，tan∠BCO=OBOC=15，即：

OC=5OB，4+x=5x，

解得x=1；

∴OB=1，OA=OC=5；

∴A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x+5），依题意有：

a（0+1）（0+5）=5，a=1；

∴y=（x+1）（x+5）=x2+6x+5；

（3）由

（2）知：

y=x2+6x+5=（x+3）2-4，则D（-3，-4）

过D作DE⊥x轴于E，则DE必过圆心M，连接BM，

设⊙M的半径为R；

Rt△BME中，BM=R，ME=DE-DM=4-R，BE=12AB=2；

由勾股定理得：

BM2=ME2+BE2，

即R2=（4-R）2+4，

解得R=2.5；

故过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径为2.5．

1）连接PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H．易得PC⊥y轴，进而可得P的坐标，在Rt△APH中，根据勾股定理可得AB点坐标关于k的表达式，即可得答案；

（2）由

（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-k2）；故DH=k2-1．若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH；代入k，易得k=2时，PH=DH．故可得答案．

解答：

解：

（1）连接PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H．（1分）

∵⊙P与y轴相切于点C（0，1），

∴PC⊥y轴．

∵P点在反比例函数y=kx的图象上，

∴P点坐标为（k，1）．（2分）

∴PA=PC=k．

在Rt△APH中，AH=PA2-PH2=k2-1，

∴OA=OH-AH=k-k2-1．

∴A（k-k2-1，0）．（3分）

∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB．

∴OB=OA+2AH=k-k2-1+2k2-1=k+k2-1，

∴B（k+k2-1，0）．（4分）

故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k．

可设该抛物线解析式为y=a（x-k）2+h．（5分）

又∵抛物线过C（0，1），B（k+k2-1，0），

∴得：

{ak2+h=1a（k+k2-1-k）2+h=0

解得a=1，h=1-k2．（7分）

∴抛物线解析式为y=（x-k）2+1-k2．（8分）

（2）由

（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-k2）

∴DH=k2-1．

若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH．（10分）

∵PH=1，

∴k2-1=1．

又∵k＞1，

∴k=2（11分）

∴当k取2时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形．（12分）

（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．

由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．

（2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据

（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可．

（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．（也可根据C点的坐标求出M，N点的坐标，然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，经过比较即可得出平移的距离，即t的值）．

解答：

解：

（1）把A（-4，4）代入y=kx+1

得k=-34，

∴一次函数的解析式为y=-34x+1；

∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，

∴设二次函数解析式为y=ax2，

把A（-4，4）代入y=ax2

得a=14，

∴二次函数解析式为y=14x2．

（2）由{y=-34x+1y=14x2

解得{x=-4y=4或{x=1y=14，

∴B（1，14），

过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A'，B'，

则AA′=4+1=5，BB′=14+1=54．

∴直角梯形AA'B'B的中位线长为5+542=258，

过B作BH垂直于直线AA'于点H，

则BH=A'B'=5，AH=4-14=154，

∴AB=52+（154）2=254，

∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，

∴以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）平移后二次函数解析式为y=（x-2）2-t，

令y=0，得（x-2）2-t=0，x1=2-2t，x2=2+2t，

∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，点C为定点，B要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离，

此时，半径为2，面积为4π，

设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE=1，

在三角形CEM中，ME=22-1=3，

∴MN=23，而MN=|x2-x1|=4t，

∴t=34，

∴当t=34时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π．