高教社杯全国大学生数学建模竞赛A另一份.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛A另一份
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
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日期：
年月日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
题目城市表层土壤重金属污染分析
关键词城市表层重金属；地积累指数法；偏微分方程模型；三元回归分析；
摘要
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
废气和污水的任意排放，化学物质的任意燃烧，最终导致了各种重金属元素的含量有所增加，这些元素的增加对居民周围的生活环境造成了不可估量的影响。
因此对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
所以我们要对所给区域的重金属元素的含量进行认真仔细地检测，以便准确地来确定污染源的特征，最后来探究下本地区原始环境的历史演变。
对于问题一、二，用地积累指数法，求出地积累指数及其频率，按照地积累指数分级以确定该城区内不同区域重金属的污染程度和重金属的污染原因。
问题三，由于重金属的传播特征多样，从不同角度分析得出不同的污染源位置，而我们假设其传播特征是从高污染地区向周围地区扩散，建立扩散规律的偏微分方程模型，再求其中参数，我们用到三元回归分析的方法，得出其传播方程。
以确定各种元素的污染源的位置。
问题四，是我们模型优化和改进的过程，之后我们搜集各种重金属的权威传播特点，综合我们所建立的模型和新的信息，更好地研究城市地质环境的演变模式。
本文结合地积累指数法、偏微分方程等方法，对城市表层土的重金属含量进行了统计并对每一区域的重金属污染进行了科学细致的分析，以便确定污染源的具体位置，通过其他影响环境的因素来分析和模拟本地原始环境的历史演变。
一、问题重述
随着中国经济的高速发展，污染问题越来越严重，已经被提上国家的议事日程！
城市交通的尾气排放，居民生活污水的肆意排放使得人类赖以生存的环境得到了严重的破坏。
重金属污染物的含量直线上升，这直接危害着居民的身心健康和环境的和谐稳定。
可见，对城市中各区域的污染物含量进行细致的测量，掌握重金属元素的具体空间分布来确定最终的污染源，通过对周围环境条件的分析来推算本地域原始的地质条件这都是对人们的生产和生活都有重要的意义的事情。
二、模型假设及符号说明
1、假设该地区没有发生地震等自然灾害；
2、假设本地区的气候没有什么大的反差；
3、假设该地区没有其他的等有污染的工厂企业的迁入和迁出；
4、假设本地区近期没有城区规划改建；
5、假设取点数据正确反映该地区重金属污染物浓度
Igeo：
地积累指数
Cn：
实际测量重金属浓度
Bn：
重金属浓度背景值
Pi：
地积累指数一级以上所占的频率
z:
海拔
U（x，y，z）：
此坐标处的重金属浓度
M（x0，y0，z0）：
扩散源坐标
三、问题分析
为了更好地解决这几个问题，我们应用了地积累指数法和扩散问题的偏微分方程模型；首先我们来对这两种方法的基本原理以及我们所讨论的问题进行一些简要分析。
地积累指数法是用来评价沉积物种的重金属污染程度的一种方式，我们可以分别计算出五个区域之中各个元素的地积累指数，来确定哪种重金属的污染最为严重。
假设重金属传播特征符合扩散规律，建立其传播的微分方程，得出传播函数，上述问题解决后，最后的问题就是收集数据，进行仔细地研究来推测该地区原始地质条件的演变过程。
四、模型的建立与求解
问题一求解：
首先我们用MATLAB软件做出该地区重金属的空间分布图：
该城区空间地形图
各重金属元素在该城区的空间分布
该城区内不同区域重金属的污染程度，有很多方法去分析，得到的结果可能大同小异，现在我们用地积累（Igeo）指数法来分析。
地积累指数定量的分析评价沉积物中重金属污染程度，并规定相应的污染程度分级标准，这种评价方法是可以用来分析评价表层土重金属污染程度，对于各区的污染程度，用地积累指数分级频率（Pi=地积累指数1级以上所占的频率）分析由此我们可以得出该城区内不同分区的污染程度，表零给出地积累指数分级标准。
表一到表五分别为各区重金属地积累指数频率
地积累指数的公式：
Igeo=log2［Cn实测/（k×Bn）］
Igeo：
地积累指数；Cn实测：
实际测量浓度；Bn：
背景值（平均值）附表3的数值是在自然区测得的，可视为自然区无污染，把它的平均值看成本地区的背景值。
表零：
地积累指数分级表
地积累指数（Igeo）
分级
污染程度
56
极严重污染
45
强-极严重污染
34
强污染
23
中等-强污染
12
中等污染
01
轻度-中度污染
Igeo<=0
0
无污染
表一：
生活区内的各种重金属元素地积累指数频率
污染程度
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
无污染
0
0.318
0.295
0.477
0.205
0.455
0.5
0.477
0.432
轻度-中等污染
1
0.636
0.545
0.432
0.386
0.295
0.5
0.386
0.273
中等污染
2
0.045
0.136
0.068
0.227
0.159
0
0.091
0.205
中等-强污染
3
0
0.023
0
0.136
0.068
0
0.023
0.045
强污染
4
0
0
0
0.045
0.023
0
0.023
0.023
强-极严重污染
5
0
0
0.023
0
0
0
0
0.023
极严重污染
6
0
0
0
0
0
0
0
0
从表一中不难看出，在生活区内污染最严重的是Cr和Zn元素，其次是Cu元素，之后依次是Hg、Pb、Cd、Cr、As元素。
所以在生活区内最主要的污染元素是Cr和Zn元素。
表二：
工业区内的各种重金属地积累指数频率
污染程度
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
无污染
0
0.389
0.167
0.583
0.056
0.306
0.5
0.222
0.25
轻度-中等污染
1
0.528
0.444
0.361
0.417
0.194
0.472
0.5
0.361
中等污染
2
0.056
0.306
0.028
0.333
0.167
0.028
0.222
0.25
中等-强污染
3
0.028
0.083
0.028
0.139
0.139
0
0
0.056
强污染
4
0
0
0
0.028
0.056
0
0.056
0.083
强-极严重污染
5
0
0
0
0
0.083
0
0
0
极严重污染
6
0
0
0
0.028
0.056
0
0
0
从表二中不难看出，在工业区内污染最为严重的是Hg和Cu，其他几种元素污染也较为严重，整体污染较重。
表三：
山区内的各种重金属地积累指数频率
污染程度
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
无污染
0
0.833
0.758
0.742
0.697
0.773
0.758
0.848
0.909
轻度-中等污染
1
0.152
0.212
0.242
0.273
0.212
0.212
0.121
0.076
中等污染
2
0.015
0.03
0.015
0.03
0.015
0.015
0.03
0.015
中等-强污染
3
0
0
0
0
0
0.015
0
0
强污染
4
0
0
0
0
0
0
0
0
强-极严重污染
5
0
0
0
0
0
0
0
0
极严重污染
6
0
0
0
0
0
0
0
0
从表三中不难看出，在山区内含量最多的是Ni元素，其次是Cu元素，但整体污染情况较轻，没有强污染等和更强的。
表四：
交通区内的各种重金属地积累指数频率
污染程度
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
无污染
0
0.5
0.239
0.587
0.159
0.493
0.681
0.391
0.326
轻度-中等污染
1
0.478
0.442
0.3478
0.326
0.188
0.304
0.42
0.355
中等污染
2
0.007
0.261
0.0435
0.348
0.188
0.007
0.188
0.225
中等-强污染
3
0.014
0.051
0.0145
0.123
0.072
0.007
0
0.058
强污染
4
0
0.007
0
0.036
0.014
0
0
0.022
强-极严重污染
5
0
0
0.0072
0
0.007
0
0
0.007
极严重污染
6
0
0
0
0.007
0.036
0
0
0.007
从表四中不难看出，在交通区Cu的污染率（污染率=1-无污染率）达到了84.1%，Cd到了76.1%，而Hg极严重污染为3.6%，其他各元素的除了Ni污染率低于50%，都高出很多。
表五：
公园绿地区内的各种重金属地积累指数频率：
污染程度
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
无污染
0
0.257
0.486
0.743
0.257
0.486
0.771
0.629
0.543
轻度-中等污染
1
0.714
0.314
0.229
0.686
0.229
0.229
0.2
0.343
中等污染
2
0.029
0.114
0.029
0.029
0.171
0
0.143
0.057
中等-强污染
3
0
0.086
0
0.029
0.086
0
0.029
0.029
强污染
4
0
0
0
0
0
0
0
0.029
强-极严重污染
5
0
0
0
0
0.029
0
0
0
极严重污染
6
0
0
0
0
0
0
0
0
从表五中不难看出，在公园绿地区As和Cu的污染率均达到74.3%，Cd、Zn和Hg的污染也相对较高，
问题二求解
接着以上方法，我们求出8种主要重金属元素在该城区的地积累指数及其分级情况（表六）和分级频率分布（表七），从这当中我们分析出重金属污染的主要原因，
表六：
8种主要重金属元素在该城区的地积累指数及其分级情况
重金属
统计个数
平均值
最小值
最大值
标准偏差
标准范围
分级
污染程度
As（μg/g）
319
0.0722
-1.7459
2.5273
0.9
-1.585
0
1
轻度-中等污染
Cd（ng/g）
319
0.633
-2.2854
3.0543
30
-1.478
-0.037
1
轻度-中等污染
Cr（μg/g）
319
0.2026
-1.6018
4.3076
9
-1.839
0.0756
1
轻度-中等污染
Cu（μg/g）
319
1.4757
-3.1121
6.9966
3.6
-1.722
0.0431
2
中等污染
Hg（ng/g）
319
2.5132
-2.615
8.2515
8
-1.466
-0.042
3
中等-强污染
Ni（μg/g）
319
-0.096
-2.1113
2.9493
3.8
-1.973
0.1091
0
无污染
Pb（μg/g）
319
0.409
-1.2405
3.345
6
-1.291
-0.113
1
轻度-中等污染
Zn（μg/g）
319
0.959
-1.6552
5.1833
14
-1.336
-0.094
1
轻度-中等污染
表七：
8种重金属元素的地积累指数分级频率分布表
污染程度
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
无污染
0
0.5047
0.373
0.6207
0.2759
0.5235
0.6614
0.5047
0.4765
轻度-中等污染
1
0.4639
0.395
0.326
0.373
0.2132
0.3229
0.3386
0.2853
中等污染
2
0.0219
0.185
0.0376
0.2288
0.1442
0.0094
0.1411
0.163
中等-强污染
3
0.0094
0.0439
0.0094
0.0909
0.0658
0.0063
0.0063
0.0408
强污染
4
0
0.0031
0
0.0251
0.0157
0
0.0094
0.0251
强-极严重污染
5
0
0
0.0063
0
0.0157
0
0
0.0063
极严重污染
6
0
0
0
0.0063
0.0219
0
0
0.0031
分析表六的数据，该地区的各种重金属含量都有不同程度的超标。
As、Cd、Cr、Pb、Zn这在该地区已是轻度-中等污染，Cu则致使该地区出现中度污染状态，Hg这种元素则处于中等-强污染，而只有Ni元素的含量在正常范围之内，没有超标。
表七我们得出在该地区的8种主要的重金属元素的含量都有不同程度的超标，也可以看出Cu、Hg、Zn三种重金属元素的含量严重超标，都达到了极严重污染的程度，Cu元素的地积累指数分级频率为0.0063，Zn元素的地积累指数分级频率为0.0031，而Hg元素极严重污染的地积累指数分级频率为0.0219，是主要的污染元素
问题三求解
模型假设：
设u（x,y,z,t）是t时刻（x,y,z）处的一种重金属浓度，取一闭合曲面S，他所围成的区域为Ω，由于扩散，从t到t+Δt时刻这段时间，通过S流入Ω的质量为
由高斯定理得：
其中，a2b2c2分别为沿x，y，z方向的扩散系数，由于元素的渗透和减少，Ω内的质量减少为：
其中k2是衰减系数。
由于物质守恒定律，则Ω内的质量增加为
显然M3=M1—M2，即
由Δt，t，Ω的任意性得
加上初始条件和边界条件即可求出相应的解，
假设重金属的从污染浓度高的污染源向其他地方扩散，设扩散源M（x0，y0，z0），z0为海拔。
这一点的重金属浓度为m0,则满足：
进行付立叶变换，
且令
由于
故得微分方程
：
得唯一解：
对其求逆计算，由于
则可以得到u（x,y,z,t）为
模型参数值求解：
认为经过长时间后扩散已经终止，物质分布处于平稳状态，令t=1，对上述公式取对数可得：
令
则上述公式可以写成：
而我们已经测得（Xi，Yi，Zi，Wi）i=1,2，…，n
用三元回归分析方法求出α，β，γ，ε的估计值如下：
其中
上方程组可用MATLAB建立矩阵求出唯一解，
其中
得
至此得到参数a2b2c2k2的估计值
代入方程分别代替a2b2c2k2则得到不含未知参数的解u（x,y,z,t）的近似表达式。
我们代入附表2中的各重金属元素的浓度，得到以下八种重金属元素的传播方程：
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
由模型求出的传播方程求出的估测值与原实测数据相比较，其数据也较符合实际值，由此我们假设成立，故得出各重金属污染源分别为：
重金属
x0
y0
z0
功能区
As（μg/g）
18134
10046
41
4交通区
Cd（ng/g）
21439
11383
45
4交通区
Cr（μg/g）
3299
6018
4
4交通区
Cu（μg/g）
2383
3692
7
2工业区
Hg（ng/g）
2708
2295
22
4交通区
Ni（μg/g）
3299
6018
4
4交通区
Pb（μg/g）
4777
4897
8
1生活区
Zn（μg/g）
13797
9621
18
4交通区
由此得出，对于As，Cd，Cr,Hg，Ni和Zn元素的主要污染源在交通区，Cu在工业区，Pb在生活区（各重金属污染源的具体坐标如上图所示），很多时候人们会认为主要污染源在工业区，人们忽略了元素在正常条件下是以化合物的形态存在的，金属元素常以阳离子形态存在，而非原子分子形态，这与各功能区土壤的性质有关，我们认为经过长时间后扩散已经终止，物质分布处于平稳状态，通过以上数学模型分析，在交通区的土壤性质适合As，Cd，Cr,Hg，Ni和Zn元素存在，工业区则适合Cu，生活区适合Pb的沉积。
问题四求解
模型的优点：
用MATTLAB软件进行计算时不需要太多的数据，而且计算起来简单方便精确度高，能很好的确定出污染源的具位置；采用微分方程提出的数学模型其真实性强，精确度高。
模型的缺点：
其不足之处在于这个模型只考虑了元素扩散的因素而没有考虑其他的因素对结果的影响。
问题四是对问题三所建立的模型进行优化和改进的过程，我们通过分析问题三的结论推出各个污染源位置上表层土壤的特征，这样我们可以更好地研究该地区地质环境的情况，收集该城市历年的地质环境情况，并对这两种情况进行仔细地分析，最终研究出该地区地质环境的演变模式。
我们应该分析其他因素对污染物含量的影响，并对该地区的地质演变进行深入的了解。
具体方式：
1、收集该区历年的年降水量，分析降水量对当地土壤中重金属元素含量的影响；
2、查询本地区每年的平均气温和空气湿度，分析各种元素在潮湿条件下的降解情况；
3、对本区的各种车辆进行登记检查，看下本地区尾气的总的排放情况；
4、搜集此地区常年的风向，对迎风和被风处的同种元素含量做一个对比；
5、查询各区域的重工业污染物的排放情况，分析污染物的主要成分；
6、分析本地区现有土壤的类型；
虽然每种因素各自都会对地质的演变产生或多或少的影响，但是我们要把握全局，我们要从总体上出发，要在原有的模型基础之上充分考虑这几种因素的影响，综合各种可能来考虑，最终我们利用回归分析、函数拟合等一系列的方法来确定函数模型,得出城市地质环境的演变模式。
参考文献：
[1]柴世伟等，地积累指数法在土壤重金属污染评价中的应用，同济大学学报（自然科学版）第34卷第12期，2006.12。
[2]姜启源等，数学模型（第三版），北京：
高等教育出版社，2003.8。
[3]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993。
[4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，1974。
[5]肖华勇.《基于MATLAB和LINGO的数学实验》，西安：
西安工业大学出版社，2009（3）.114。
[6]马莉，MATLAB语言实用教程，清华大学出版社，2010.1。
[7]邢文训，谢金星，《现代优化算法》，北京:
清华大学出版社,1999。
[8]姜启源，谢金星，叶俊，《数学模型》，北京:
清华大学出版社，2003。
附录：
（本题模型计算MATLAB程序）
基于MATLAB的编程：
通过运行下列程序在Excel中读取数据然后进行计算，再将数据写入Excel中；
在A中读取三维坐标做网格图：
clearall
A=xlsread（'A'）;%地区的三维坐标（xyz）和功能区
fori=1:
319
x（i）=A（i,1）;
y（i）=A（i,2）;
Z（i）=A（i,3）;
end
Z=Z'*Z;
[XI,YI,ZI]=griddata（x,y,Z,XI,YI）;
surf（XI,YI,ZI）;
在Cn和Bn中读取数据，然后进行计算求得平均地积累指数：
Cn=xlsread（'Cn'）;%读取平均值
Bn=xlsread（'Bn'）;%读取背景值
fori=1:
8
Igeo（i）
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