矩形的性质.docx

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矩形的性质

1．（2015•无锡校级一模）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：

DF=DC．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

求出∠AED=∠EDC，∠DFE=∠C，证△DFE≌△DCE，即可得出答案．

解答：

证明：

∵DF⊥AE于F，

∴∠DFE=90°

在矩形ABCD中，∠C=90°，

∴∠DFE=∠C，

在矩形ABCD中，AD∥BC

∴∠ADE=∠DEC，

∵AE=AD，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠AED=∠DEC，∠DFE=∠C=90°，

又∵DE是公共边，

∴△DFE≌△DCE（AAS），

∴DF=DC．

点评：

本题考查了矩形性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．

2．（2015•临海市一模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：

BD=BE．

考点：

矩形的性质；平行四边形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AB∥CD，

又∵BE∥AC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴AC=BE，

∴BD=BE．

点评：

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键．

3．（2015•济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．

求证：

EB=EC．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE（SAS），即可得出答案．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵点E是边AD的中点，

∴AE=ED，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（SAS），

∴EB=EC．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△ABE≌△DCE是解题关键．

4．（2015•越秀区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．

考点：

矩形的性质．

分析：

由矩形的性质得出AO=BO=

BD，再证明△AOB为等边三角形，得出BO=AB，即可求出BD．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO=

BD，

又∵∠AOB=60°，

∴△AOB为等边三角形，

∴BO=AB=3，

∴BD=2BO=6．

点评：

本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

5．（2015•麒麟区一模）如图，矩形ABCD中，F为CD边上一点，AF=AB，BE⊥AF，EH⊥CD垂足分别为点E、H．

（1）求证：

△ADF≌△BEA；

（2）若AD：

AB=3：

4，EF=3，求EH的长．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

分析：

（1）由矩形的性质得出∠D=90°=∠AEB，AB∥DC，得出∠DFA=∠EAB，由AAS即可证明△ADF≌△BEA；

（2）先证明△EHF∽△ADF，得出对应边成比例，即可求出EH．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AB∥DC，

∴∠DFA=∠EAB，

∵BE⊥AF，

∴∠AEB=90°，

在△ADF和△BEA中，

，

∴△ADF≌△BEA（AAS）；

（2）解：

∵EH⊥CD，∠D=90°，

∴AD∥EH，

∴△EHF∽△ADF，

∴

=

=

=

，

∴EH=

EF=

×3=

．

点评：

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．

6．（2015•临淄区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．求证：

AF=BE．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

利用矩形的性质对边相等且平行以及每个内角都为90°，进而得出△ABE≌△DFA（AAS），求出即可．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

在△ABE和△DFA中，

，

∴△ABE≌△DFA（AAS），

∴AF=BE．

点评：

此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABE≌△DFA是解题关键．

7．（2015•天河区一模）如图，矩形对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线AC和BC的长．

考点：

矩形的性质．

分析：

由矩形对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，易证得△AOB是等边三角形，继而求得OA的长，则可求得矩形对角线AC的长，然后由勾股定理求得BC的长．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC=

AC，OB=OD=

BD，AC=BD，∠ABC=90°，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=4cm，

∴AC=2OA=8cm，

∴BC=

=4

（cm）．

点评：

此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意证得△AOB是等边三角形是关键．

8．（2015•建阳市模拟）如图，矩形ABCD，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE于F．

（1）猜想：

AD与CF的大小关系；

（2）请证明上面的结论．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：

（1）根据已知得出即可；

（2）根据矩形性质求出DC=AB，∠A=90°，DC∥AB，推出∠CDF=∠DEA，求出DC=DE，∠DFC=∠A=90°，根据AAS推出△DAE≌△CFD即可．

解答：

解：

（1）AD=CF；

（2）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴DC=AB，∠A=90°，DC∥AB，

∴∠CDF=∠DEA，

∵DE=AB，

∴DC=DE，

∵CF⊥DE，

∴∠DFC=∠A=90°．

在△DAE和△CFD中

∴△DAE≌△CFD，

∴AD=CF．

点评：

本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直定义，平行线的性质的应用，解此题的关键是推出△DAE≌△CFD，此题是一道中档题目，难度适中．

9．（2015春•无锡校级期中）矩形ABCD中AB=6cm，BC=8cm，AE平分∠BAC交BC于E，CF平分∠ACD交AD于F．

①说明四边形AECF为平行四边形；

②求四边形AECF的面积．

考点：

矩形的性质；平行四边形的判定．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）可证明AE∥CF，又AF∥CE，可证四边形AECF为平行四边形．

（2）先求△AEC的面积，再求平行四边形的面积．

解答：

解：

①∵ABCD是矩形，

∴AD∥BC，即AF∥CE，AB∥CD．

∴∠BAC=∠DCA．

∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，

∴∠EAC=∠ACF．

∴AE∥CF．

∴四边形AECF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．

②作EO⊥AC于O，

∵AE平分∠BAC，∴EO=BE（角平分线的性质），

又∵AC=

=

=10cm，

∴AO=AB=6cm，OC=AC﹣AB=4cm．

在Rt△OEC中，设EO=x，则CE=8﹣x，

那么x2+42=（8﹣x）2

∴x=3．

∴平行四边形AECF的面积等于AC•EO=10×3=30cm2．

点评：

此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和面积的求法．

10．（2015春•平南县期中）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，EF⊥CE交AB于F，且CE=EF，

（1）求证：

△AEF≌△DCE；

（2）若DE=2，矩形ABCD的周长为16，求AE的长．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：

（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，然后根据同角的余角相等求出∠AFE=∠DEC，再利用“角角边”证明即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，然后根据矩形的周长公式列出方程求解即可．

解答：

证明：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，

∵EF⊥CE，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，

又∵∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠AFE=∠DEC，

在△AEF和△DCE中，

，

∴△AEF≌△DCE（AAS）；

（2）∵△AEF≌△DCE，

∴AE=CD，

∵2（AD+CD）=16，DE=2，

∴2（AE+2+AE）=16，

∴AE=3．

点评：

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图，准确找出三角形全等的条件是解题的关键．

11．（2015春•沛县期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED

①△BEC是否为等腰三角形？

为什么？

②若AB=2，∠ABE=45°，求BC的长．

考点：

矩形的性质；等腰三角形的判定．

分析：

①由矩形的性质得出∠A=90°，AD∥BC，证出∠BCE=∠CED，再由已知条件得出∠BCE=∠BEC，即可得出△BEC是等腰三角形；

②根据三角函数求出BE，即可得出BC．

解答：

解：

①△BEC为等腰三角形；理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD∥BC，

∴∠BCE=∠CED，

∵EC平分∠BED，

∴∠BEC=∠CED，

∴∠BCE=∠BEC，

∴BC=BE，

即△BEC是等腰三角形；

②∵∠ABE=45°，∠A=90°，

∴BE=

AB=2

，

∴BC=BE=2

．

点评：

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及三角函数；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

12．（2015春•青山区期中）在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE=EF=FB．

（1）求证：

四边形ACE是平行四边形；

（2）若AE⊥BD，AF=2，AB=4，求BF的长度．

考点：

矩形的性质；勾股定理；平行四边形的判定．

分析：

（1）连接AC交BD于点O，由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，再证出OE=OF，即可证出四边形AFCE是平行四边形；

（2）由线段垂直平分线的性质得出AD=AF，再由勾股定理求出BD，即可得出BF．

解答：

（1）证明：

连接AC交BD于点O，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，

又∵DE=EF=FB，

∴OB﹣BF=OD﹣DE，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）解：

∵AE⊥BD，DE=EF，

∴AD=AF=2，

在Rt△ABD中，BD2=AD2+AB2，

∴BD=

=2

，

∴BF=

．

点评：

本题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

13．（2015春•东台市校级月考）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E．

（1）求证：

四边形BCED为平行四边形；

（2）试说明：

CE=2AO．

考点：

矩形的性质；平行四边形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

（1）由AD∥BC，CE∥DB，根据平行四边形的定义即可得出结论；

（2）由四边形BCED是平行四边形，得出对边相等CE=BD，再根据矩形的性质DB=AC=2AO，即可得出CE=2AO．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC=DB=2AO，

又∵CE∥DB，

∴四边形BCED是平行四边形；

（2）证明：

∵四边形BCED是平行四边形，

∴CE=BD，

由

（1）得：

DB=AC=2AO，

∴CE=2AO．

点评：

本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

14．（2015春•建湖县校级月考）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

（1）求证：

PM=PN；

（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？

请说明理由．

考点：

矩形的性质；菱形的判定．

分析：

（1）连接MN，证明四边形AMNB是矩形，得出∠MNB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；

（2）先证明四边形MPNQ是平行四边形，再由

（1）即可得出结论．

解答：

（1）证明：

连接MN，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，AD∥BC，AD=BC，

∵M、N分别是AD、BC的中点，

∴AM=DM=

AD，BN=CN=

BC，

∴AM=BN，

∴四边形AMNB是平行四边形，

∴平行四边形AMNB是矩形，

∴∠MNB=90°，

∵P是BM的中点，

∴PN=

BM=PM；

（2）四边形MPNQ是菱形；理由如下：

解：

∵DM∥BN，DM=BN，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∴BM∥ND，BM=ND，

又∵P、Q分别是BM、DN的中点，

∴PM=NQ，

∴四边形MPNQ是平行四边形，

由

（1）得PM=PN，

∴四边形MPNQ时菱形．

点评：

本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及直角三角形斜边上的中线性质；证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．

15．（2015春•启东市校级月考）如图，在矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2cm，矩形的周长为32cm，求矩形ABCD的面积．

考点：

矩形的性质．

分析：

根据全等三角形的判定定理AAS证得△AEF≌△DCE，所以由”全等三角形的对应边相等“推知AE=CD，AF=DE=2cm．设AE=CD=xcm．则由矩形的周长公式知2（x+2+x）=32，求出x，即可求出AD、DC，求出面积即可．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，

又∵EF⊥EC，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，

∴∠AEF=∠DCE（同角的补角相等），

在△AEF与△DCE中，

∴△AEF≌△DCE（AAS），

∴AE=CD，AF=DE=2cm．

设AE=CD=xcm．

则2（x+2+x）=32，

解得，x=7．

∴AE=CD=7，AD=BC=9，

∴矩形ABCD的面积是AD×DC=9×7=63（cm2）．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质．此题是借助于方程求得直角三角形的直角边，并进一步求出CD和AD长．

16．（2015春•滨海县校级月考）已知：

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：

AC=EC．

考点：

矩形的性质；平行四边形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

先由矩形的对角线相等得出AC=DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB=CE，即可得出AC=CE．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=DB，AB∥DC，

∴DC∥BE，

又∵CE∥DB，

∴四边形CDBE是平行四边形，

∴DB=CE，

∴AC=CE．

点评：

本题考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键．

17．（2014•泉州）已知：

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：

AF=CE．

考点：

矩形的性质；平行四边形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∴CF∥AE，

∵DF=BE，

∴CF=AE，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴AF=CE．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：

矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等．

18．（2014•天河区一模）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：

BE=DF．

考点：

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

证法一：

根据矩形的对边相等可得AB=CD，四个角都是直角可得∠A=∠C=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

证法二：

先求出BF=DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证．

解答：

证法一：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD，∠A=∠C=90°，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴BE=DF（全等三角形对应边相等）；

证法二：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

又∵AE=CF，

∴AD﹣AE=BC﹣CF，

即ED=BF，

而ED∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形，

∴BE=DF（平行四边形对边相等）．

点评：

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，主要利用了矩形的对边相等的性质，四个角都是直角的性质．

19．（2014•肥东县模拟）如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，OF⊥AC于O，交AB于E，交CB的延长线于F，求证：

OB是OE与OF的比例中项．

考点：

矩形的性质；相似三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

根据矩形的性质，再根据相似三角形的对应边成比例，求解即可．

解答：

解：

∵ABCD为矩形，

∴OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA．

∵OF⊥AC，AB⊥FC，

∴∠F+∠FEB=∠AEO+∠EAO=90°．

∵∠FEB=∠AEO，

∴∠F=∠BAO=∠OBE．

∵∠FOB=∠BOF，

∴△OBE∽△OFB，

∴

=

，

∴OB2=OE•OF．

即OB是OE，OF的比例中项．

点评：

此题考查了学生对矩形的性质及相似三角形的判定的掌握情况．

20．（2014•滨海县模拟）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，DA长为半径画弧，交CD于点E，以点A为圆心，AE长为半径画弧，恰好经过点B，连结BE、AE．求∠EBC的度数．

考点：

矩形的性质；等腰直角三角形．

分析：

根据题意可得AD=DE，AE=AB，再根据矩形的性质可得∠D=∠ABC=∠DAB=90°，然后根据等腰三角形的性质分别算出∠DAE和∠EAB，再根据叫的和差关系可得答案．

解答：

解：

由题意得：

AD=DE，AE=AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°，

∵AD=DE，

∴∠DAE=45°，

∴∠EAB=45°，

∵AE=AB，

∴∠EBA=∠AEB=

=67.5°，

∴∠EBC=90°﹣67.5°=22.5°．

点评：

此题主要考查了矩形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握矩形的四个角都是直角．