高中数学必修二《空间几何体》11 第1课时 导学案设计含答案.docx

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高中数学必修二《空间几何体》11第1课时导学案设计含答案

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[学习目标]　1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.

知识点一　空间几何体

1.概念：

如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.

2.多面体与旋转体

类别

定义

图示

多面体

由若干个平面多边形围成的几何体

旋转体

由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，其中定直线叫做旋转体的轴

知识点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

多面体

定义

图形及表示

相关概念

分类

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

如图可记作：

棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′

底面（底）：

两个互相平行的面.

侧面：

其余各面.

侧棱：

相邻侧面的公共边.

顶点：

侧面与底面的公共顶点.

按底面多边形的边数分：

三棱柱、四棱柱、……

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

如图可记作，棱锥S-ABCD

底面（底）：

多边形面.

侧面：

有公共顶点的各个三角形面.

侧棱：

相邻侧面的公共边.

顶点：

各侧面的公共顶点.

按底面多边形的边数分：

三棱锥、四棱锥、……

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.

如图可记作：

棱台ABCD-A′B′C′D′

上底面：

原棱锥的截面.

下底面：

原棱锥的底面.

侧面：

其余各面.

侧棱：

相邻侧面的公共边.

顶点：

侧面与上（下）底面的公共顶点.

由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

思考　

（1）棱柱的侧面一定是平行四边形吗？

（2）棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？

答　

（1）根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.

（2）根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.

题型一　棱柱的结构特征

例1　下列说法中，正确的是（　　）

A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

答案　D

解析　A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点.故选D.

反思与感悟　棱柱的结构特征：

（1）两个面互相平行；

（2）其余各面是四边形；

（3）每相邻两个四边形的公共边互相平行.

求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.

跟踪训练1　下列关于棱柱的说法错误的是（　　）

A.所有的棱柱两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

答案　C

解析　对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.

题型二　棱锥、棱台的结构特征

例2　下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是________.

答案　①②

解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

反思与感悟　判断棱锥、棱台形状的两个方法

（1）举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

（2）直接法：

棱锥

棱台

定底面

只有一个面是多边形，此面即为底面

两个互相平行的面，即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

跟踪训练2　下列说法中，正确的是（　　）

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等.

A.①②B.①③C.②③D.②④

答案　B

解析　由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错.

题型三　多面体的表面展开图

例3　画出如图所示的几何体的表面展开图.

解　表面展开图如图所示：

反思与感悟　多面体表面展开图问题的解题策略：

（1）绘制展开图：

绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.

（2）已知展开图：

若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.

跟踪训练3　如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

解　由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以

（1）为五棱柱；

（2）为五棱锥；（3）为三棱台.

截面周长最小问题

例4　如图所示，在侧棱长为2

的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF分别交VB，VC于点E，F，求截面△AEF周长的最小值.

分析　

→

→

解　将三棱锥V－ABC沿侧棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则△AEF的周长＝AE＋EF＋FA1.

因为AE＋EF＋FA1≥AA1，

所以线段AA1（即A，E，F，A1四点共线时）的长即为所求△AEF周长的最小值.

作VD⊥AA1，垂足为点D.

由VA＝VA1，知D为AA1的中点.

由已知∠AVB＝∠BVC＝∠CVA1＝40°，

得∠AVD＝60°.

在Rt△AVD中，AD＝VAsin60°＝2

×

＝3，

即AA1＝2AD＝6.

所以截面△AEF周长的最小值是6.

解后反思　求几何体表面上两点间的最小距离的步骤

（1）将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；

（2）将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；

（3）结合已知条件求得结果.

1.下列命题中，真命题是（　　）

A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥

B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥

D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥

答案　D

解析　对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；

对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；

对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.

2.下列三个命题：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

其中，正确的有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案　A

解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证（如图），故③错.

3.如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（　　）

A.①③B.②④C.③④D.①②

答案　C

解析　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

4.下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台（仅填相应序号）.

答案　①③④　⑥　⑤

解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.

5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是　　　　.

答案　四棱柱

解析　由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.

1.棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.

2.

（1）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

棱柱

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：

名称

底面

侧面

侧棱

高

平行于底面的截面

棱柱

斜棱柱

平行且全等的两个多边形

平行四边形

平行且相等

与底面全等

直棱柱

平行且全等的两个多边形

矩形

平行、相等且垂直于底面

等于侧棱

与底面全等

正棱柱

平行且全等的两个正多边形

全等的矩形

平行、相等且垂直于底面

等于侧棱

与底面全等

棱锥

正棱锥

一个正多边形

全等的等腰三角形

有一个公共顶点且相等

过底面中心

与底面相似

其他棱锥

一个多边形

三角形

有一个公共顶点

与底面相似

棱台

正棱台

平行且相似的两个正多边形

全等的等腰梯形

相等且延长后交于一点

与底面相似

其他棱台

平行且相似的两个多边形

梯形

延长后交于一点

与底面相似

一、选择题

1.下列四个命题中，真命题有（　　）

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的直平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④直平行六面体是长方体.

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案　B

解析　根据平行六面体的定义，知①为真命题；根据长方体的定义，知②为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以③为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以④为假命题.

2.一般棱台不具有的性质是（　　）

A.两底面相似B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点

答案　C

解析　当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.

3.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为（　　）

A.20B.15C.12D.10

答案　D

解析　正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.

4.某棱台的上、下底面对应边之比为1∶2，则上、下底面面积之比是（　　）

A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1

答案　B

解析　因为棱台的上下底面相似，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.

5.用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4，且截去的棱锥的高是3m，则棱台的高是（　　）

A.12cmB.9cmC.6cmD.3cm

答案　D

解析　由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1∶4，所以上、下底面的边长比为1∶2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2，则棱台的高是3cm.

6.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（　　）

答案　A

解析　两个

不能并列相邻，B、D错误；两个

不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.

7.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③当E∈AA1时，AE＋BF是定值.

其中，正确的说法是（　　）

A.①②B.①C.①②③D.①③

答案　D

解析　显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D.

二、填空题

8.如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.

答案　

解析　由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是

cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是

cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是

cm.

9.下列叙述正确的是________.（只填序号）

①四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；

②三棱锥的四个面都可以是直角三角形；

③用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.

答案　①②

解析　如图，当四棱锥的底面是一个矩形，并且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面就可以都是直角三角形，所以①是正确的；

如图，当三棱锥满足侧棱AD⊥底面DCB（其中△BCD中，∠BCD是直角）时，三棱锥的四个面就都是直角三角形，所以②是正确的；

③中的平面不一定平行于底面，所以③是错误的；

若④中多面体的侧棱延长后不能交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所以④是错误的.

10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.（写出所有正确结论的编号）

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.

答案　①③④⑤

解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：

①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，

所以填①③④⑤.

11.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为______.

答案　

解析　如图所示，将三棱锥S－ABC沿SA剪开，连接AA′，则AA′为最短距离，∠ASA′＝90°，SA＝SA′＝1，∴AA′＝

.

三、解答题

12.

如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.

问：

（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

（3）每个面的三角形面积为多少？

解　

（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.

（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.

（3）S△PEF＝

a2，

S△DPF＝S△DPE＝

×2a×a＝a2，

S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－

a2－a2－a2＝

a2.

13.长方体ABCD-A1B1C1D1（如图所示）中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.

解　把长方体的部分面展开，如图所示.

对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为

、

、

，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为

.

倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。

面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。

在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临…

许下一个愿望，不乞求去实现，至少，曾经，有那么一刻，我那还未枯萎的，青春的，诗意的心，在我最美的年华里，同星空做了一次灵魂的交流…

秋日里，阳光并不刺眼，天空是一碧如洗的蓝，点缀着飘逸的流云。

偶尔，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。

斑驳的印迹里，携刻着深秋的颜色。

在一个落雪的晨，这纷纷扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。

窗外，是未被污染的银白色世界。

我会去迎接，这人间的圣洁。

在这流转的岁月里，有着流转的四季，还有一颗流转的心，亘古不变的心。