数学学习障碍学生的认识与教学杨坤堂.docx

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数学学习障碍学生的认识与教学杨坤堂

第二章　數學學習障礙的課程

第一節　數學課程的決定因素

數學教育的兩大課題乃是課程（教材）與教學（教法），而數學課程的意義和內涵則深受數學定義、數學學科本質以及數學課程模式發展等因素的影響。

一、數學的定義：

（1）1910年代，數學教育是一種心智訓練的工具。

（2）1920年代，數學教育在教學生實際的計算技能，俾益未來的職業準備。

（3）1950年代中葉至1975年，新數學著重數學邏輯結構的瞭解（Glennon,1975）。

（4）近代的數學則是回歸基礎（back-to-basics）數學課程：

強調數學計算技巧的密集教學，而忽視數學概念、數量思考與問題解決的教學（Lerner,2003）。

（5）現代的數學課程：

肇始於四十多年前美國政府擔憂其國家的數學國際競爭力（Lerner,2003）。

美國學生在國際數學成就競賽的成績屬於低成就的事實導致美國的第二次數學教育改革，其中主張設立較高的數學指標，實施較多的數學能力考試，增加中學的數學課程等（Ginsburg,1997）。

（6）數學能量（mathematicalpower）（NCTM,2000）：

係指個體的邏輯探索、推測和推理能力，以及有效地使用系列的數學方法以解決非例行問題的能力。

本信念建基於下列的數學認知：

數學並非只是需要學生熟悉的一系列概念與技巧而已；數學更包括調查與推理、溝通以及理念等。

此外，數學能量亦涵蓋個人自信的發展。

（7）概念導向數學課程（NCTM,1989,2000）：

積極引導學生參與數學的學習活動（或者說是做數學，而不是學數學），強調發展學生的數學思考與推理能力，學生不再是學習運算的被動學習者，而是基於自己的數學經驗，發展其概念理解的主動執行者。

重視問題解決的數學課程，包含文字應用題、日常生活問題、問題解決策略以及開放式問題等。

統整數學課程，進行教學；數學課程的連結是課程的主要特色。

課程內涵豐富而廣大，注重幾何、測量、或然率和統計、型、關係與功能等課程，以及使用學習輔具與多媒體教學等。

（8）在數學中使用語言：

教師鼓勵學生在早期的數學概念發展過程中，使用口語討論和（或）書寫表達自己的想法，藉此協助學生了解數學的概念知識、程序（procedure）知識以及兩者之間的連結：

諸如程序知識的規則（rules）和歷程（processes）有其概念基礎與意義化的理則（rationals），而數學符號是紀錄與代表想法和概念的一種方法。

上述著重數學技巧與概念之間的關係的課程能協助學生理解以及應用數學（Cegelka&Berdine,1995）。

二、數學學科的本質（Cawley,1984）：

（1）規律性（discipline）：

例如數學的答案只有對或錯之分，而不受個人的意見和情緒的影響。

學生的個人經驗、口語表達能力或其他語文能力，並不能彌補其數學概念與技巧的不足。

（2）預述性與一致性（predictableandconsistent）：

學生必須擁有數學的先備技巧，方能有效地學習數學以及在相關的領域裡應用其數學的知識與技巧。

（3）累積性：

當學生沒學會某一單元的數學課程，就無法學習下一個單元的數學課程。

基於上述數學學科的本質，數學課程乃是具有次序、條理、系統與組織的科學。

三、數學課程模式的發展：

Robitaille和Dirks（1980）認為學校的數學課程是基於數學的學科本質和課程發展過程，進行過濾、調整與重建而成的結果，其發展過程受到下列因素的影響（如圖2-1所示）：

1.社會學因素（SociologicalFactors）──社會價值影響數學課程。

2.心理學因素（PsychologicalFactors）──心理學的理論，諸如不同年齡階段的學生有不同的學習方法和學習能力，會影響數學的教學內涵和教學方法。

3.教學法因素（PedagogicalFactors）──教師的教學方法、教材與教師的數學知識一樣會影響課程及學生的學習內容。

4.科技因素（TechnologicalFactors）──科技的革新會影響課程的內涵與教學方法。

社會學因素

心理學因素

教學法的因素

科技因素

數學課程模式

數學：

內涵與過程

圖2-1　數學課程模式的發展（Robitaille&Dirks,1980）

基於上述因素而發展下列三種常用的數學模式（Robitaille和Dirks1980）：

1.純數學模式（PureMathemmaticsModel）：

強調數學的邏輯結構。

「新數學」（NewMath）年代的課程深受純數學模式的數學結構的影響。

2.應用數學模式（AppliedMathematicsModel）：

強調在相關的學科領域中應用數學。

3.基礎數學模式（BasicMathemathicsModel）：

強調數學在日常生活中的應用。

4.一般常用的數學課程：

乃綜合統整上述三種數學模式，並均衡數學的概念、技巧與應用（Trafton,1981）

第二節　一般的數學課程

教師期望學生學習大量的敘述性（declarative）和程式性（procedual）的數學知識，敘述性知識是有關數字及其關係的實際知識，而程式知識則是指解答數學問題的步驟與方法等。

下列是從最早期的數學發展階段直到中學的一些相互關聯的數學技巧（Cegelka&Berdine,1995;Lerner,2003）：

1.數前（Prenumber）和數的概念

2.位值（placevalue）和基本符號

3.基本定理與計算程序

4.分數與小數

5.估算與心算

6.度量衡

7.代數

8.幾何

9.解決現實生活中的數學問題

一般數學教學的課程（Lerner,2003）如下：

年級

內　　　　　　　　　　　　　　　　　容

幼稚園

基本的數字意義、計算、分類、排序、數字的認識與書寫。

一年級

1到20的加法運算，1到20的減法運算，個位數及十位數位值，可辨認時間至半點整，認識金錢，簡單的測量。

二年級

1到100的加法運算，1到100的減法運算，0到100的排序，2的倍數運算，百位數的位值，加、減法的重組。

三年級

99乘法，奇、偶數的倍數運算，千位數的位值，二、三位數的加減法運算，會看時間。

四年級

除法運算，乘法的應用，2位數的乘法運算。

五年級

分數，分數的加減運算，四則混合運算，長除，二位數的除法運算，小數。

六年級

百分比，三位數的乘法運算，二位數的除法運算，小數及混合小數的加、減法運算，整數與小數及混合小數的乘、除法運算。

七年級

幾何，圓，比率，簡單的或然率

八年級

科學概念，使用座標，複分數，更複雜的運算應用，應用題。

第三節　數學學習障礙學生的數學課程

特殊教育的數學課程發展遠遠落後普通教育（Cawley,1977），而普遍又認為沒有適合身心障礙學生的替代課程。

茲列舉特殊教育學生的數學課程如下：

一、直接教學數學（DirectInstructionalMathematics）（Silbert,Carnine,&Stein,1990）：

科學研究會（ScienceResearchAssociates,SRA）提供許多直接的教學方法，數學直接教學（Silbert,Carnine及Stein,1990）就是一本謹慎編排的教師手冊。

二、聯結數學概念（ConnectingMathConcepts）（Englemann&Carnine,1991）：

係為所有學生所研發的，且特別關注有特殊學習需求的學生；著重聯結各項數學概念和精通數學的高階思考技巧。

強調數學概念與高階思考技巧間的關聯性，結合相關主題安排課程，不以單一主題組織教材，提供教學指引與獨立練習，重視問題解決教學，施行合作學習、物料操作教學（可發展學生的概念理解與鼓勵學生的實驗學習）以及擴大概念教學等（ScienceResearchAssociates,SRA）。

三、結構數學（Structuralarithmetic）（HoughtonMifflinCo.）：

包括幼稚園學童至小學三年級學生的課程，含具體物料、學生作業本以及教師教學指引；其教學法是數學實驗法，藉以協助學生發現數學的關係與原則。

四、方案數學（ProjectMath）（Cawley,Fitzmaurice,Goodstein,Lepore,Sedlak,&Althaus,1976;Englemann&Carnine,1972,1975,1976）：

分別對數學課程和數學教學提出不同的觀點。

方案數學是一套為輕度障礙學生設計的數學方案，係依照四個層級的內容設計多元化課程，每一項目都訂有明確的行為目標，以評估學生的精熟程度。

3＆4

數字和運算（Numbers＆Operations）

亦包括公制測量與計算機的使用教學

1＆2

集合和型式的概念（Sets＆Patterns）

方案數學兼具發展性及矯治性，發展性部分是指此方案是根據「MCI」測驗結果來發展多元化的課程內容（MCI用來評估學生在四則運算、分數、小數點、百分比等概念與技巧的能力和問題，因此，能縮小評估和教學間的差距）。

學生的測驗結果會直接納入多元化課程設計中。

若學生顯現某方面的困難，就要施以臨床數學晤談（ClinicalMathematicsInterview）。

臨床數學晤談是一種密集式診斷的過程，統整內容、方式與演算的漸進式探究過程。

首先，學生先以書寫的方式做作業，接著要求學生以口頭闡述其解題過程，最後再換以互動單位中的其他組合模式來解題。

臨床數學晤談之後，進行方案中的矯治工作。

其最終目的是矯治學生演算上的困難問題。

一旦學生熟練了一些補救策略或技巧，就可以安置在適當的多元課程中。

許多研究顯示方案數學是學習障礙學生有效的數學方案，能改正許多學生基礎數學的問題。

其主要特色如下：

1.評量與教學相結合。

2.以熟練為教學過程的基準。

3.清楚列出每項目標的教學方法與學生精熟的行為標準。

4.藉著互動單位的理念，提供學生個別化的教學。

5.同時考量學生數學能力的矯治與發展。

五、DISTAR數學（DISTARArithmatic）（Englemann&Carnine,1972,1975,1976）

DISTAR數學共分為三個等級的內容。

3

基本演算的擴大計算，文字敘述題

2

加法、減法、乘法、金錢、時間、公制標準測量、分數和文字敘述題

1

回答問題、加法、減法、倒數、文字敘述題、大於和等於、順序算數

DISTAR數學模式建基於直接教學模式（DirectInstruction）或精熟學習（MasteryLearning）的理論上，將複雜的作業程序分成小單元的技巧，利用操作制約的原理教導學生，教師示範如何將分類的技巧組合成更複雜的行為。

教師在過程中要不斷地替學生做形成性評量，以確保學生在熟練每一步驟的技巧後，再進一步的學習。

DISTAR數學模式是經過仔細設計的方案計畫，教學步驟與方法都有詳細標示。

學生經能力測驗後，接受適合其程度的教學。

教學採一位教師對一組學生的形式。

教師依授課手冊的內容施教，其中的「楷模─領導─測驗─延遲測驗」的教學方法常常被用到。

步驟

舉例

教師做正確示範

教師示範以2的倍數算從2數到20

教師帶著學生做一次

教師帶著學生數一遍

由小組一同完成作業行為

由小組同學試著做一遍

由個人自行表現行為

教師指定個別的學生演練

DISTAR數學模式使用許多行為主義的操作原理，協助學生學習時集中注意力，像是要求學生一起練習，立即給予學生回饋，錯誤更正（制約），以及經常的讚美（增強）等。

六、其他特殊教育學生數學課程

Cawley（1984）在「學習障礙者之數學教學」一書中，討論以概念為導向，探索發現為基礎，來教導唸課本有困難的學生數學。

Cawley,FitzmuriceHayes及Shaw建議用多面向題法來教數學。

除了基礎和綜合課程之外，還有許多數學補充教材，其中有些是矯正性質，有些是為了練習特定技巧而設計的，有些則是各種不同的實作教材，以有效促進概念理解，並鼓勵實驗，例如：

（1）Cuisenaire桿（美國Cuisenaire公司出品）：

內含291根重量、顏色各異的木棍，各代表不同數值，對教導整數及分數運算和快速技巧時很有用。

（2）新數學學習教材（學習發展公司）：

適合六歲以前的幼稚園各年級使用。

本教材包括：

練習快速的實習教具，數字順序表、分數卡、算盤、公制數學的教具，還有教導概念及程式的各種遊戲。

（3）蒙特梭利教材（教學教具）：

包括圓柱積體、珠子框架、數字卡、公制尺、附有木柱及圓孔的運算學習皮等實習教具，提供學生具體的學習經驗。

（4）算術結構（HoughtonMiffin公司）：

適用於幼兒和幼稚園小班（三歲）的各階段。

本課程提供具體的教具、學生工作簿和教師手冊，引導學生發現數學的原則和關係，並體驗數學。

（5）Unifix教材（教學教具）：

本教材非常多樣，內含連鎖的Unifixz方塊，可用來教導基本的算術概念和技巧。

Gawley因應障礙兒童能力優缺點的差異，而研發一套互動單位（InteractiveUnit）原理的補救教學模式。

互動單位提供教師四種教學方法：

操作（Manipulate）、展示（Display）、說和寫。

教師可單獨使用一種或合用互動單元中各種方式進行教學，以符合學生的個別需求。