你能证明它们吗九年级数学教案模板.docx
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你能证明它们吗_九年级数学教案_模板
1.1、你能证明它们吗
（一）一、教学目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例休会反证的含义。
二、教学重点：
了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
三、教学方法：
观察法。
四、教学过程：
复习：
1、什么是等腰三角形？
2、 你会画一个等腰三角形吗？
并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
新课讲解：
在《证明
（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理w 本套教材选用如下命题作为公理:
w 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;w 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;w 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）w 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）w 5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）w 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）证明过程：
已知：
∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：
△ABC≌△DEF证明：
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∠C=180°-（∠A+∠B）∠F=180°-（∠D+∠E）∠C=∠F（等量代换）BC=EF（已知）△ABC≌△DEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
定理：
等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：
等边对等角。
已知：
如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：
∠B＝∠C我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。
实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。
能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？
证明：
取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD （SSS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应边角相等）让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。
想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？
为什么？
由此你能得到什么结论？
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习：
做教科书第4页第1，2题。
课堂小结：
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
探体会了反证法的含义。
五、课外作业：
教科书第5页第1，2题。
六、板述设计：
七、课后记：
1.知识结构：
2.重点、难点分析
（1）本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也可以利用它进一步学习函数的有关内容，所以，它是本节课的重点.
（2）本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为，所以方程右边的符号就由来确定，而方程左边的不可能是一个负数，因此，把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法，对于分类讨论学生感觉到较难，老师应该讲明分类的基本思想。
3.教法建议：
（1）引入要自然、合理
新课引入前，作一个铺垫：
前面我们讲了一元二次方程的解法，我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一个一元二次方程，但是，存在这样一个问题，并不是所有的一元二次方程都有解，我们可以通过把解求出来，来解方程，也可以通过判定方程无解，来解方程，这样我们就面临着一个问题，什么时候方程有解？
什么时候方程无解？
我们不解方程能不能判定根的情况？
那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然，也显露了本节课的重点.
（2）利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导，比较抽象，为了便于学生理解，使用所提供的动画，有助于学生对所讲内容的理解，调动学生主动思维的积极性，活跃课堂气氛，提高学习效率.
（3）本节在推导根的判别式的结论时，利用了分类的思想，对于学生这是一个难点，一定给学生讲清楚分类的依据，分类的基本思想，使学生对所得结论深信不疑.
一、教学目标
1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；
2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；
3．通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点·难点及解决办法
1．教学重点：
会用判别式判定根的情况。
2．教学难点：
一元二次方程根的三种情况的推导.
3．解决办法：
（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。
（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。
三、教学步骤
（一）教学过程（）
1．复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①；②；③。
问题
（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。
问题
（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2．任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。
（1）当时，方程有两个不相等的实数根。
即
（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。
（3）当时，方程没有实数根。
教师通过引导之后，提问：
究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：
。
3．①定义：
把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。
②一元二次方程。
当时，有两个不相等的实数根；
当时，有两个相等的实数根；
当时，没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题：
（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。
正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。
在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
（2）当，说“方程没有实数根”比较好。
有时，也说“方程无解”。
这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。
4．例题讲解
例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）；
（2）；（3）。
解：
（1）
∴原方程有两个不相等的实数根。
（2）原方程可变形为
。
，
∴原方程有两个相等的实数根。
（3）原方程可变形为
。
∴原方程没有实数根。
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，
（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的
（2）计算的值；（3）判别根的情况。
强调两点：
（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出。
（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。
练习：
不解方程，判别下列方程的情况：
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）
学生板演、笔答、评价。
（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。
例2 不解方程，判别方程的根的情况。
解：
。
又 ∵ 不论k取何实数，，
∴ 原方程有两个实数根。
教师板书，引导学生回答。
此题是含有字母系数的一元二次方程。
注意字母的取值范围，从而确定的取值。
练习：
不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）；
（2）；
（3）。
学生板演、笔答、评价。
教师渗透、点拨。
（3）解：
∵ 不论m取何值，，即。
∴ 方程无实数解。
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。
（二）总结、扩展
1．判别式的意义及一元二次方程根的情况。
（1）定义：
把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。
（2）一元二次方程。
当时，有两个不相等的实数根；
当时，有两个相等的实数根；
当时，没有实数根。
反之亦然。
2．通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。
四、布置作业
教材P27A1～4。
5．不解方程，判断下x的方程的根的情况
（1）
（2）
五、板书设计
教学建议 1．知识结构：
本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.
2．重点、难点分析
（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
（2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.
3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的：
当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽∽∽……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin和cos这样的符号.
应当注意：
单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.
4．我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形，，作，我们应正确地写出如下的三角函数关系式：
很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三边的比；如图
（1）和图
（2）所示.
根据定义，有
另一方面，可以想像，当时，边与AC重合（即），所以
当时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有
把以上结果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6．教法建议：
（1）联系实际，提出问题
通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：
锐角三角函数作了十分必要的准备．
（2）动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律：
，再进一步对含的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到,这时，应当即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
（3）加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力．
第一课时
一、教学目标
1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1．教学方法：
引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。
2．学生学法：
在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：
使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2．难点：
学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
3．疑点：
无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4．解决办法：
教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片，一副三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1．如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则、间距离为多少米？
2．长5米的梯子以倾斜角为30°靠在墙上，则、间的距离为多少？
3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则、间距离为多少？
4．若长5米的梯子靠在墙上，使、间距离为2米，则倾斜角为多少度？
前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
（二）整体感知
1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果：
无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。
（三）教学过程（）
1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？
学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。
2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点，，重合在一起，记作，并使直角边，，……落在同一条直线上，则斜边，，……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？
引导学生独立证明：
易知，……，∴∽∽∽……，∴，，因此，在这些直角三角形中，的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。
这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3．练习：
教科书P3练习。
此题为作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
（四）总结、扩展
1．引导学生作知识总结：
本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充：
本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
2．扩展：
当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1．使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用、表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3．渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1．教学方法：
指导发现探索法.
2．学生学法：
自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：
使学生了解正弦、余弦概念.
2．教学难点：
用含有几个字母的符号组、表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
3．疑点：
锐角的正弦、余弦值的范围.
4．解决办法：
通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
（一）明确目标
1．引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2．明确目标：
这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.
（二）整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
（三）教学过程（）
正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：
在中，为直角，我们把锐角的对边与余边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作.
.
若把的对边记作，邻边记作，斜边记作，则，.
引导学生思考：
当为锐角时，、的值会在什么范围内？
得结论，（为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“、”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的中的、和、的值.
解：
（1）∵斜边，
∴，．
，．
（2），．
，
∴，．
学生练习教材P6～7中1、2、3题．
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求、、和、、.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
，，．
，，．
【例2】求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：
（1）．
（2）．
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
（1）；
（2）；
（3）；（4）．
（5）若，则锐角.
（6）若，则锐角.
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，大概在什么范围内，呢？
”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
（四）总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
， （为锐角）．
还发现的两锐角、，，，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2，3.
预习下一课内容.
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