全国高考甲卷数学文试题.docx
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全国高考甲卷数学文试题
2021年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={1.3,5,7,9},N={x|2x>7},则MpN=（）
A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得
根据此须军分布直方图，下面结论中不正确的是（）即该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10・5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.巳知（l—i『Z=3+2i,则1=（）
13.t3.八3.3.
丸-1--ZB.-1+-/C.--+/D.---/
2222
4.下列函数中是增函数为（）
A.f[x）=-xB./（x）=C.f{x}=x2D.f（x）=l/x
5.
6.
点（3.0）到双曲线焉-卷=1的一条渐近线的距离为（）
6C.—
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据£和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV\巳知某同学视力的五分记录法
A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6
的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（晒R1.259）
7.在一个正方体中，过顶点4的三条棱的中点分别为£,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多
面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）
正视图
8.
B.
在aA3c中，巳知8=120。
，AC=M，AB=29则8C=（
D.
9.
记，为等比数列｛《,｝的前〃项和.若S?
=4,1=6,则S.=（
A.
B.8
D.
10
10.将3个1和2个。
随机排成一行，则2个0不相邻
概率为（
A.0.3
B.0.5
0.6
0.8
11.若0,y,tan2a=
乙）
cosa,
不~：
—,则tana=（2—sina
D.
715
亍
A.后
15
12.设/（戈）是定义域为火奇函数，且〃l+x）=〃r）.若/（一：
二.填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若向量3,5满足。
=3,a—B=5"八〃=1,则人=
14.巳知一个BI锥的底面半径为6,其体积为307r则该圆锥的侧面积为
15.巳知函数/（x）=2cos（5+o）的部分图像如图所示，则/-=.
16.巳知尸「生为椭圆gL+二=1的两个焦点，尸,0为C上关于坐标原点对称的两点,164
则四边形PF斯的面积为.
三、解答题：
共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，笫17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分
别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
n（ad-be）2
（a++d）（a+c）（b+d）
P（K2>k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附:
18.记S〃为数列｛《,｝的前〃项和，巳知%>0,生=3q,且数列｛四｝是等差数列，证明：
｛4｝是等差数列.
19.巳知直三梭柱ASC-A4G中，侧面A4//为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和C6的中点，BFLA^.
（1）求三棱锥尸一ESC的体积；
（2）巳知，为棱A4上的点，证明：
BF±DE.
20.设函数/（x）=31nx+l,其中a>0.
（1）讨论/（x）的单调性；
（2）若y=f（x）的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围.
21.抛物线。
的顶点为坐标原点0.焦点在入轴上，直线1:
x=i交C于P,0两点，且OPLO。
.巳知
点”（2,0）,且0M与1相切.
（1）求C,QM的方程;
（2）设A，4,A是，上的三个点，直线AA，AA均与。
m相切.判断直线A^3与OM的位置关系,
并说明理由.
（二）选考题：
共10分.请考生在笫22、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的笫一题计分.
［选修4-4：
坐标系与参数方程］
22.在宜角坐标系中，以坐标原点为极点，n轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程为
p=25/2cos^.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点/的直角坐标为（1,0）,“为C上的动点，点P满足4户=42AM,写出尸的轨迹G的参数方程,
并判断c与G是否有公共点.
［选修4-5：
不等式选讲］
23.巳知函数/（工）=k―2|送。
）=|2工+3卜|2xT|.
（1）画出y=〃x）和y=g（x）的图像；
（2）若/（工+。
）之g（x）,求a的取值范围.
2021年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合"={1,3,5,7,9},9=®2）>7},则（）
A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合N后可求McN.
【详解】N=6,xo），故McN={5,7.9},
故选：
B.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10・5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至&5万元之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组足为1,所以各组的直方图的高度等于须率,样本叛率直方图中的须率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为004+0.02x3=0.10=10%,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为
0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为
3x002+4x004+5x010+6x0.14+7x020+8x020+9x010+10x010+11x004+12x002+13x002+14x002=768（万元），超
过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：
C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的叛率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均
值的估计值.注意各组的频率等于
频率
X组距.
3.巳知（17•尸z=3+2i,则1=（）
3.
D.
——+/
2
【答案】B
【解析】
【分析】由巳知得1=」?
」，根据复数除法运算法则，即可求解.
-2/
【详解】（1-i）为=-2泛=3+万，
3+2/（3+2/）/-2+3z,3.
Z====-1+—/.
-2/-2//22
故选：
B.
4.下列函数中是增函数的为（）
A.f（x）=-xB.f（x）=C./（x）=x2D.f（x）=l/x
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A,=为R上的减函数，不合题意，舍.
对于B,/（x）=f-l为R上的减函数，不合题意,舍.t3,
对于c,f（x）=r在（一*0）为减函数，不合题意，舍.
对于D,7（*）=加为R上的增函数，符合题意，
故选：
D
5.点（3,0）到双曲线看-5=1的一条渐近线的距离为（）
9864
即二B.TC.二D.—
3533
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：
二—二=0,即3x±4y=0,
169
9+09
结合对称性，不妨考虑点（工0）到直线*+4），=0的距离：
d=-===-9
V9+163
故选：
A.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据£和小数记录表的数据，的满足L=5+lgV.巳知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊=1.259）
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据LW关系，当L=4.9时，求出IgV,再用指数表示V,即可求解.
【详解】由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0.1,
-111
则V=1（T°」
、0.8.
=1010=—=«
断万1.259
故选：
C.
7.在一个正方体中，过顶点N的三条棱的中点分别为£,F,G.该正方体裁去三棱锥A-EFG后，所得多
面体的三视园中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）
正视图
【解析】
【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.
【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，
8.在aASC中，巳知8=120。
，AC=M，AB=29则8C=（）
D.3
C.yf5
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理得到关于■长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设A8=c,AC=〃,6C=。
，
结合余弦定理：
//="+c：
-2c（cos8可得：
19=cJ+4-2xaxcosl20,
即：
+2«—15=0»解得：
。
=3（〃二-5舍去），
故50=3.
故选：
D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
（1）巳知三角形的三条边求三个角；
（2）巳知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
（3）巳知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.
9.记S.为等比数列｛〃“｝的前〃项和.若邑=4,S4=6,则Sg=（）
A.7B.8C.9D.10
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目条件可得邑，邑-邑，S6-S,成等比数列，从而求出S6-S」=l,进一步求出答案.
【详解】•・・s〃为等比数列｛〃〃｝的前〃项和，
・・・邑，S4-S29Sg-Sj成等比数列
・・.S,=4,S「S、=6-4=2
：
.S6-S4=l9
/.S6=1+S4=1+6=7.
故选：
A.
10.将3个1和2个。
随机排成一行，则2个。
不相邻的概率为（）
A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：
将3个1和2个。
随机排成一行，可以是:
0011LOlOiLOllOLOlllOaOOlLlOlOlJOllOJlOOLl1010,11100,共10种排法,其中2个。
不相邻的排列方法为:
0101L0U0L01110J0101J0110.11010,共6种方法.
故2个0不相邻的概率为（=0.6,
故选：
C.
11.若aw0,—Ltan2a=
cosa,
z~：
—,则tanc=（
2—sina
即居
15
【解析】
【分析】由二倍角公式可得32°=彩=言需,再结合巳知可求得sma=“利用同角三角函数的基本关系即可求解.
cosa
【详解】vtan2a=
2-siiia
csin2a2smacosacosa
taxiza==；——=,
cos2al-2sin*a2-sina
•・・叫。
，力
2sina
丁•cosaHO，—=-~：
——，1-2sir-a2-sma
解得sina=1,
4
.・.cosa==史，...tana=吧=史.
4cosa15
故选：
A.
【点睛】关键点睛：
本题考交三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.
12.设/"）是定义域为R的奇函数,
则/
）
【答案】c
【解析】
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得；的值.
［详解］由题意可得：
/（g）=/l+g）=/1_'）=_/（g）,
故选：
c.
【点睛】关键点点暗：
本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
二.填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若向量满足。
=3,=5,a・B=l,则b=【答案】3应【解析】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】•:
。
-1）=5
工〃-B=a+b-2ab=9+b-2=25
.朴3立
故答案为，3VI.
14.巳知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万则该圆锥的侧面积为.
【答案】394
【解析】
【分析】利用体积公式求出圆锥的高.进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】・・・丫=：
46/7=30产
//=-
:
.I=V/F+r
（IJ
2
二13
+6・=—
2
13
:
.S慎=7cr\=/rx6x—=39/r.
wj2
15.巳知函数/（x）=2cos（0r+°）的部分图像如图所示，则/
【解析】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解/[?
；的值即可.
・、、■八■■,w-r__「〜3rr,137t7t3乃rry27t、
【详解】由题意可得：
-T=-~-=-一,，丁=;r,0=——=2,41234T
13万，、
当x=时，5+夕=2x
13万
12
13
+9=2左4,二（p=2k亢7r（keZ）,
6
令火=1可得：
。
=一］,O
故答案为：
«
【点睛】巳知fG）=/cos（gx+，）a>0,&>0）的部分图象求其解析式时，力比较容易看图得出，困难的是求待定系数少和。
，常用如下两种方法：
（1）由&=彳即可求出外确定。
时，若能求出高原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标照,则令=0（或公及+/=不），即可求出嫉.
（2）代入点的坐标，利用一些巳知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出9和0,若对人少的符号或对。
的范围有要求，则可用诱导公式交换使其符合要求.
22
16.巳知尸「尼为椭圆。
：
"+?
=1的两个焦点历0为C上关于坐标原点对称的两点，且|P9=|月国,则四边形PF】QA的面积为
【答案】8
【解析】
【分析】根据巳知可得尸身，尸乙，设|P£b〃?
|「心|=〃，利用勾股定理结合〃叶〃=8,求出加〃，四边形?
《。
大面积等于〃〃j即可求解.
【详解】因为P，。
为。
上关于坐标原点对称的两点,且|P。
卜|「E|,所以四边形尸匕。
尼为矩形，设IP"卜见IPF21=〃,则m+n=8,/n2+n2=48,所以64=（/〃+〃）？
=nr+2mn+if=48+2/////,mn=St即四边形尸［。
总面积等于8.
故答案为：
8.
三、解答题：
共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.笫22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一皴品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
n（cid-be）2
（q+b）（c+d）（a+c）（Z?
+d）
P（K/k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：
K2=
【答案】⑴75%；60%；
（2）能.
【解析】
【分析】本题考查须军统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可
【详解】
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频军为益=75%,
120
乙机床生产的产品中的一级品的频率为而=60%.
>10>6.635>
400（150x80-120x50）：
_400
270x130x200x200~19
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
18.记S〃为数列｛〃“｝的前a项和，巳知q>0,生=3《，且数列｛四｝是等差数列，证明：
｛4｝是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先根据户-£求出数列｛、离｝公差d,进一步写出｛、离｝的通项，从而求出｛，〃｝的通项公式，最终得证.
【详解】,・,数列｛店｝是等差数列，设公差为d=叵_&=1&+%_瓜=也
：
・&=M+QlDM="M，（hgN*）
：
.Sn=ajr9（〃£N"）
:
.当〃之2时，an=Sn-S,i=q//一q（〃一I）-=2aji-q
当〃=1时，2qxl-q=q,满足q,=2q〃-q,
・•・｛〃”｝的通项公式为an=2《〃一《，（neN,）
・•・a,~%=（2q〃-q）-[2q（〃-1）-aJ=2q
・•・｛〃“｝是等差数列.
【点睛】在利用q,=S“—S,i求通项公式时一定要讨论〃=1的特殊情况.
19.巳知宜三极柱A5C-ABC|中，侧面AAQF为正方形，AB=BC=29E,b分别为AC和的中点，BF14^.
（1）求三校锥尸一ESC的体积;
（2）巳知，为核Ad上的点，证明：
BFLDE.
【答案】
（1）；；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先求得4c的长度，然后利用体积公式可得三梭锥的体积；
（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.
【详解】
（1）如图所示，连结阳
由题意可得：
BF=^BC2+CF2=>/4+T=V5»
由于血加，BCJ.AB,BBQBC=B,故平面8。
6耳，
而8/u平面0CG4,故A6_L6尸，
从而有AF=^AB2+BF2=74+5=3.
从而AC=《AF2-CF?
=5/^1=2夜，
则AB2+BC2=AC2,.-.ABLBC,△A8C为等腰直角三角形,
s
*4BCE
=；s/=；x（；x2x2）=l,
V-bc
ngxS.c/XCT7=gxlxl=；.
（2）由
（1）的结论可将几何体补形为一个枝长为2的正方体ABCM-A4GM],如图所示，取棱AM.BC的中点”,G,连结A]H,HG,GB「
正方形8cqq中，G,尸为中点，则8尸，8°,又5尸，A&，A51nslG=d,故8尸，平面A4G”，而OEu平面A4G”,
从而BF上DE.
【点睛】求三极锥的体积时要注意三校锥的每个面都可以作为底面，例如三梭锥的三条侧梭两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧梭作为高来求体积,对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.
20.设函数/“）=azx2ax-3111X+1,其中"0.
（1）讨论）（"的单调性；
（2）若y=/（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.
/1\（\\1
【答案】
（1）/（X）的减区间为［OqJ,增区间为小,十8>
（2）«>-.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据/
（1）>0及（D的单调桂性可得/（*）2>0,从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数定义域为（0,+8）,
一门（2ax+3）（ax-l）
又（（刈=1*——
x
因为a>0,x>0,故2ar+3>0,
当0cx时，/'（x）v0；当时，f\x）>0；aa
所以/（x）的城区间为（°，：
），增区间为（：
，+8）.
（2）因为/
（1）=片+。
+1>0且y=/（x）的图与X轴没有公共点，
所以y=/&）的图象在工轴的上方，
由
（1）中函数的单调性可得〃x）1ab=/（：
）=3_31n：
=3+31na,
故3+31na>0即e
【点睛】方法点睛：
不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转
化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
21.抛物线C的顶点为坐标原点焦点在x轴上，直线1：
x=l交C于A。
两点，且OP，OQ.巳知
点"（
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