高考数学全国卷一.doc
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星期天（时间50分钟）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）
一．选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，则（）
A.B.C.D.
（2）若，则
A.B.C.D.
（3）设，则
A.B.C.D.2
（4）已知双曲线的离心率为2，则
A.2B.C.D.1
（5）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
A.是偶函数B.是奇函数
C.是奇函数D.是奇函数
（6）设分别为的三边的中点，则
A.B.C.D.
（7）在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为
A.①②③B.①③④C.②④D.①③
8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱
9.执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的（）
A.B.C.D.
10.已知抛物线C：
的焦点为,是C上一点，，则（）
A.1B.2C.4D.8
（11）设，满足约束条件且的最小值为7，则
（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3
（12）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
第II卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分
（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：
我没去过城市；
丙说：
我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
（15）设函数则使得成立的的取值范围是________.
（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.
星期一（7分钟）
已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（I）求的通项公式；
（II）求数列的前项和.
星期二（8分钟）
如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.
（1）证明：
（2）若,求三棱柱的高.
星期三（10分钟）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85）
[85，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125）
频数
6
26
38
22
8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
星期四（15~20分钟）
已知点，圆:
，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积
星期五（15~20分钟）
设函数，曲线处的切线斜率为0
（1）求b;
（2）若存在使得，求a的取值范围。
星期六（三选一（7~10分钟））
（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.
（I）证明：
；
（II）设不是的直径，的中点为，zxxk且，证明：
为等边三角形.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知曲线，直线（为参数）
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.
（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若且
（I）求的最小值；
（II）是否存在，使得？
并说明理由.
文科数学试题答案
一、选择题
（1）B
（2）A（3）B（4）D（5）A（6）C
（7）C（8）B（9）D（10）C（11）B（12）A
二、填空题
（13）（14）A（15）（16）150
三、解答题
（17）解：
（I）方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则故从而
所以的通项公式为……6分
（II）设的前n项和为由（I）知则
两式相减得
所以……12分
（17）解：
（I）
（II）质量指标值的样本平均数为
80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08
=100.
质量指标值的样本方差为
=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
……10分
（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.……12分
（18）解：
（I）连接，则O为与的交点.因为侧面为菱形，所以
又平面，所以，故平面ABO.
由于平面ABO，故……6分
（II）作，垂足为D，连接AD.作，垂足为H.由于，，故平面AOD，所以.又，所以平面ABC.
因为，所以为等边三角形，又BC=1，
可得.由于，所以
由，且，得
又O为的中点，所以点到平面 ABC的距离为故三棱柱的距离为 .
（19）解：
（I）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，
设，则，，
由题设知，故，即.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.……6分
（II）由
（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.
因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.
又，O到的距离为，，所以的面积为.
……12分
（20）解：
（I），
由题设知，解得.……4分
（II）的定义域为，由
（1）知，，
（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，
所以，存在，使得的充要条件为，即，
解得.
（ii）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增.
所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意.
（iii）若，则.
综上，a的取值范围是.
……12分
（22）解：
（I）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以， 由已知得，故……5分
（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知，故O在直线MN上.
又AD不是的直径，M为AD的中点，故，即
所以，故
又，故由（I）知，，所以为等边三角形.
……10分
（23）解：
（I）曲线C的参数方程为（为参数）
直线的普通方程为……5分
（II）曲线C上任意一点到的距离为
则，其中为锐角，且
当时，取得最大值，最大值为
当时，取得最小值，最小值为……10分
（24）解：
（I）由，得，且当时等号成立.
故，且当时等号成立.
所以的最小值为.……5分
（II）由（I）知，
由于，从而不存在，使得.……10分
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