初三数学复习试题阅读理解型问题归类复习试题.docx
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初三数学复习试题阅读理解型问题归类复习试题
初三数学复习试题：
阅读理解型问题归类复习试题
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初三数学复习试题：
阅读理解型问题归类复习试题
21．（2012四川达州，21，8分）（8分）问题背景
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为，面积为，则与的函数关系式为：
﹥0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
提出新问题
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？
若有，最大（小）值是多少？
分析问题
若设该矩形的一边长为，周长为，则与的函数关系式为：
（﹥0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了.
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数（﹥0）的最大（小）值.
（1）实践操作：
填写下表，并用描点法画出函数（﹥0）的图象：
（2）观察猜想：
观察该函数的图象，猜想当
=时，函数（﹥0）
有最值（填“大”或“小”），是.
（3）推理论证：
问题背景中提到，通过配方可求二次函数﹥0）的最
大值，请你尝试通过配方求函数（﹥0）的最大（小）值，以证明你的
猜想.〔提示：
当＞0时，〕
解析：
对于
（1）按照画函数图象的列表、描点、连线三步骤进行即可；对于
（2），由结合图表可知有最小值为4；对于（3），可按照提示，用配方法来求出。
答案：
（1）
…………………………………………..（1分）
………………………………………….（3分）
（2）1、小、4………………………………………………………………………..（5分）
（3）证明：
………………………………………………（7分）
当时，的最小值是4
即=1时，的最小值是4………………………………………………………..（8分）
点评：
本题以阅读理解型的形式，考查学生画函数图象的基本步骤及结合图表求函数最值的观察力，考察了学生的模仿能力、配方思想和类比的能力。
28．（2012江苏省淮安市，28，12分）阅读理解
如题28-1图，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．
情形一：
如题28-2图，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；
情形二：
如题28-3图，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角?
．（填：
“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系．
根据以上内容猜想：
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之问的等量
关系为．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15º，60º，l05º，发现60º和l05º的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4º，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
【解析】
（1）利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决；
（2）根据第
（1）问的结论继续探索；（3）利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解之．具体过程见以下解答．
【答案】解：
（1）由折叠的性质知，∠B=∠AA1B1.因为∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，而∠B=2∠C，所以∠A1B1C=∠C，就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合，因此∠BAC是△ABC的好角.
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C．如图12-4所示.
图12-4
因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C．
由上面的探索发现，若∠BAC是△ABC的好角，折叠一次重合，有∠B=∠C；折叠二次重合，有∠B=2∠C；折叠三次重合，有∠B=3∠C；…；由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C．
（3）因为最小角是4º是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4mº，4mnº（其中m、n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，所以m（n+1）=44．
因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，因此有：
m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．
所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：
4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º．
【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握，本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
23．（2012湖北咸宁，23，10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且，．
理解与作图：
（1）在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．
计算与猜想：
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明
（2）中的猜想．
【解析】
（1）根据网格结构，作出相等的角得到反射四边形；
（2）图2中，利用勾股定理求出EF＝FG＝GH＝HE的长度，然后可得周长；图3中利用勾股定理求出EF＝GH，FG＝HE的长度，然后求出周长，得知四边形EFGH的周长是定值；
（3）证法一：
延长GH交CB的延长线于点N，再利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF＝MF，EC＝MC，同理求出NH＝EH，NB＝EB，从而得到MN＝2BC，再证明GM＝GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出MK＝MN＝8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长；
证法二：
利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF＝MF，EC＝MC，再根据角的关系推出∠M＝∠HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GK⊥BC于K，根据边的关系推出MK＝BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长．
【答案】
（1）作图如下：
2分
（2）解：
在图2中，，
∴四边形EFGH的周长为．3分
在图3中，，．
∴四边形EFGH的周长为．4分
猜想：
矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．5分
（3）如图4，证法一：
延长GH交CB的延长线于点N．
∵，，
∴．
而，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴，．6分
同理：
，．
∴．7分
∵，，
∴．∴．8分
过点G作GK⊥BC于K，则．9分
∴．
∴四边形EFGH的周长为．10分
证法二：
∵，，∴．
而，∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴，．6分
∵，，
而，∴．
∴HE∥GF．同理：
GH∥EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴．而，
∴Rt△FDG≌Rt△HBE．∴．
过点G作GK⊥BC于K，则
∴．
∴四边形EFGH的周长为．
【点评】本题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解“反射四边形EFGH”特征是解题的关键．
25．（2012贵州黔西南州，25，14分）问题：
已知方程x2＋x－1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：
设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2．
把x=y2代入已知方程，得（y2）2＋y2－1=0．
化简，得：
y2＋2y－4=0．
故所求方程为y2＋2y－4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：
把所求方程化成一般形式）：
（1）已知方程x2＋x－2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【解析】按照题目给出的范例，对于
（1）的“根相反”，用“y=－x”作替换；对于
（2）的“根是倒数”，用“y=1x”作替换，并且注意有“不等于零的实数根”的限制，要进行讨论．
【答案】
（1）设所求方程的根为y，则y=－x，所以x=－y．………………（2分）
把x=－y代入已知方程x2＋x－2=0，
得（－y）2＋（－y）－2=0．………………（4分）
化简，得：
y2－y－2=0．………………（6分）
（2）设所求方程的根为y，则y=1x，所以x=1y．………………（8分）
把x=1y代如方程ax2＋bx＋c=0得．
a（1y）2＋b•1y＋c=0，………………（10分）
去分母，得，a＋by＋cy2=0．……………………（12分）
若c=0，有ax2＋bx=0，于是方程ax2＋bx＋c=0有一个根为0，不符合题意．
∴c≠0，故所求方程为cy2＋by＋a=0（c≠0）．……………………（14分）
【点评】本题属于阅读理解题，读懂题意，理解题目讲述的方法的基础；在实际解题时，还要灵活运用题目提供的方法进行解题，实际上是数学中“转化”思想的运用．
八、（本大题16分）
26．（2012贵州黔西南州，26，16分）如图11，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴．
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数．请你直接写出点P的坐标．
（3）连接AC，探索：
在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？
若存在，请你求出N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）已知抛物线上三点，用“待定系数法”确定解析式；
（2）四边形AOMP中，AO=4，OM=3，过A作x轴的平行线交抛物线于P点，这个P点符合要求“四条边的长度为四个连续的正整数”；（3）使△NAC的面积最大，AC确定，需要N点离AC的距离最大，一种方法可以作平行于AC的直线，计算这条直线与抛物线只有一个交点时，这个交点即为N；另一种方法，过AC上任意一点作y轴的平行线交抛物线于N点，这样△NAC被分成两个三角形，建立函数解析式求最大值．
【答案】
（1）根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为y=a（x―1）•（x―5），………………（1分）
把点A（0，4）代入上式，得a=45．………………（2分）
∴y=45（x―1）（x―5）=45x2―245x＋4=―45（x―3）2―165．………………（3分）
∴抛物线的对称轴是x=3．…………（4分）
（2）点P的坐标为（6，4）．………………（8分）
（3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，由题意可设点N的坐标为（t，45t2―245t＋4）（0＜t＜5）．………………（9分）
如图，过点N作NG∥y轴交AC于点G，连接AN、CN．由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：
y=―45x＋4．………………（10分）
把x=t代入y=―45x＋4得y=―45t＋4，
则G（t，―45t＋4）．………………（11分）
此时NG=―45t＋4―（45t2―245t＋4）=―45t2＋205t．………………（12分）
∴S△NAC=12NG•OC=12（－45t2＋205t）×5
=―2t2＋10t=―2（t－52）2＋252．………………（13分）
又∵0＜t＜5，
∴当t=52时，△CAN的面积最大，最大值为252．………………（14分）
t=52时，45t2－245t＋4=－3．………………（15分）
∴点N的坐标为（52，－3）．……………………（16分）
【点评】本题是一道二次函数、一次函数、三角形的综合题，其中第（3）问也是一道具有难度的“存在性”探究问题．本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质的应用．
专项十阅读理解题
19.（2012山东省临沂市，19，3分）读一读：
式子“1+2+3+4+……+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=.
【解析】式子“1+2+3+4+……+100”的结果是，即=；
又∵，，………，
∴=++…+=1-，
∴==++…+=1-=.
【答案】
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题重点除首位两项外，其余各项相互抵消的规律．
23.（2012浙江省嘉兴市，23，12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,∠BAB′＝θ,,我们将这种变换记为[θ,n].
（1）如图①,对△ABC作变换[60°,]得△AB′C′,则:
=_______;直线BC与
直线B′C′所夹的锐角为_______度;
（2）如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使
点B、C、在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;
（3）如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,
使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.
【解析】
（1）由题意知,θ为旋转角,n为位似比.由变换[60°,]和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得:
=3,直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60°;
（2）由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝60°.由直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半得n＝＝2.
（3）由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°.再由两角对应相等,证得△ABC∽△B′BA,由相似三角形的性质求得n＝＝.
【答案】
（1）3;60°.
（2）∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′＝90°.
∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°.
在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°,∠BAB′＝60°,
∴n＝＝2.
（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC＝36°
∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°
∴∠C′AB′＝∠ABB′＝∠BAC＝36°,而∠B＝∠B,
∴△ABC∽△B′BA,∴AB2＝CB•B′B＝CB•（BC+CB′）,
而CB′＝AC＝AB＝B′C′,BC＝1,∴AB2＝1•（1+AB）
∴AB＝,∵AB＞0,
∴n＝＝.
【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题.读懂定义是解题的关键所在.
本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.
27.（2011江苏省无锡市，27，8′）
对于平面直角坐标系中的任意两点,我们把叫做两点间的直角距离，记作.
（1）已知O为坐标原点，动点满足=1，请写出之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形；
（2）设是一定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离，试求点M（2,1）到直线的直角距离。
【解析】本题是信息给予题，题目中已经把相关概念进行阐述，按照给出的定义题就可以。
（1）已知O（0,0）和利用定义可知
=；
（2）由=，
则利用绝对值的几何意义可以求出点M（2,1）到直线的直角距离为3.
【答案】解：
（1）有题意，得，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示。
（2）∵
∴x可取一切实数，表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.
∴M（2,1）到直线的直角距离为3.
【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力。
这是中考的发展的大趋势。
27．（2012江苏盐城，27，12分）知识迁移
当a＞0且x＞0时，因为（）2≥0，所以x-2+≥0，从而x+≥2（当x=2时取等号）．记函数y=x+（a＞0,x＞0）,由上述结论可知：
当x=2时，该函数有最小值为2.
直接应用
已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0）,则当x=时，y1+y2取得最小值为.
变形应用
已知函数y1=x+1（x＞-1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞-1）,求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值.
实际应用
已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：
一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为，设汽车一次运输路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？
最低是多少元？
【解析】本题考查了函数等知识．掌握和理解阅读材料是解题的关键.
（1）通过阅读发现x+≥2（当x=2时取等号）．然后运用结论解决问题；
（2）构造x+≥2，运用结论解决.
（3）解决实际问题.
【答案】直接应用1,2
变形应用=≥4，所以的最小值是4，此时x+1=,（x+1）2=4，
x=1.
实际应用
设该汽车平均每千米的运输成本为y，则y=360++，当x=8时，y有最小值，最低运输成本是424（元）.
【点评】数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值.
24．（2012四川省资阳市，24，9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）（3分）BD＝DC吗？
说明理由；
（2）（3分）求∠BOP的度数；
（3）（3分）求证：
CP是⊙O的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：
“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：
“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．
【解析】
（1）连接AD，由∵AB是直径得∠ADB=90°及等腰三角形的三线合一性质得出BD＝DC
（2）由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧DE，得BD=DE，得出∠DEC=∠DCE=75°，所以∠EDC=30°，BP∥DE，∴∠PBD=∠EDC=300，∴∠OBP=∠OPB=75°-30°=45°，∴∠BOP=90°
（3）要证CP是⊙O的切线即证OP⊥CP，在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴又∵，∴，∴又∵∠AGO=∠CGP
m]∴△AOG∽△CPG得∠GPC=∠AOG=90°得证结论成立.
【答案】
（1）BD=DC……………………………………1分
连结AD，∵AB是直径,∴∠ADB=90°……………………………………………2分
∵AB=AC，∴BD=DC……………………………………………………………3分
（2）∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线∴∠BAD=∠CAD∴弧BD与弧DE是等弧，
∴BD=DE……………4分
∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=（180°－30°）=75°，∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°－75°－75°=30°
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°……………………………5分
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°－30°=45°
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°…………6分
（3）证法一：
设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90°
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴………………7分
又∵，∴，∴
又∵∠AGO=∠CGP[w&@%ww︿.zzst~]
∴△AOG∽△CPG…………………………………8分
∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙的切线………………………9分
证法二：
过点C作CH⊥AB于点H，则∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH
在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴………………7分
又∵，∴PO=CH，∴四边形CHOP是平行四边形
∴四边形CHOP是矩形……………………………8分
∴∠OPC=90°，∴CP是⊙的切线………………………9分[来@源#:
︿%中*教网]
【点评】本题属于几何知识综合运用题，主要考查了等腰三角形的三线合一性质及常用辅助线、三角形相似判定、圆的性质及圆切线的判定等知识．解答此类题应具备综合运用能力
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