高中物理中动态平衡问题.docx
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高中物理中动态平衡问题
动态平衡分析
动态平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。
根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点。
方法一：
三角形图解法
特点：
三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。
方法：
先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。
然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。
1质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中（）
A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小
【答案】A
【解析】动态平衡问题，
与
的变化情况如图：
可得：
2如图所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。
今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：
在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
【解析】取球为研究对象，如图所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。
因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。
F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。
F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图中一画出的一系列虚线表示变化的F2。
由此可知，F2先减小后增大，F1随
增大而始终减小。
3如图所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？
【解析】绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大
【同类题】如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量为m，斜面倾角α=30°，细绳与竖直方向夹角θ=30°，斜面体的质量M=3m，置于粗糙水平面上．求：
（1）当斜面体静止时，细绳对小球拉力的大小？
（2）地面对斜面体的摩擦力的大小和方向？
（3）若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终处于静止状态，k值必须满足什么条件？
解：
（1）选小球为研究对象，受力分析并合成如图：
由平衡条件：
F′=mg
由平面几何知识可得：
N与F′的夹角为30°，T与F′夹角也为30°
故画出的平行四边形为菱形，连接对角线便可找出直角三角形：
由：
cos30°=
得：
T=
（2）、（3）选小球和斜面组成的系统为研究对象，受力分析如图，由平衡条件得：
N+Tcos30°=（M+m）g，
解得：
N=（M+m）g-
=Mg+
=3.5mg
水平方向上：
f=Tsin30°=
，方向水平向左．
为了使整个系统始终处于静止状态，则最大静摩擦力fmax≥f
所以k·N≥f解得：
k≥
答：
（1）当斜面体静止时，细绳对小球拉力的大小为
；
（2）地面对斜面体的摩擦力的大小为
，方向水平向左；
（3）为了使整个系统始终处于静止状态，k值必须满足k≥
方法二：
相似三角形法
特点：
相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题
原理：
先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。
4一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。
现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（）
A．FN先减小，后增大B.FN始终不变
C．F先减小，后增大D.F始终不变
【答案】B
【解析】取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F）、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G）的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，将三个力矢量构成封闭的三角形（如图中画斜线部分），力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：
（如图所示，设AO高为H，BO长为L，绳长l,）
，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。
正确答案为选项B
5如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是（）。
（A）N变大，T变小，（B）N变小，T变大
（B）N变小，T先变小后变大（D）N不变，T变小
【答案】D
【解析】如图所示，对小球：
受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力
不变，支持力
，绳子的拉力
一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。
由于在这个三角形中有四个变量：
支持力
的大小和方向、绳子的拉力
的大小和方向，所以还要利用其它条件。
实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：
可得：
运动过程中
变小，
变小。
运动中各量均为定值，支持力
不变。
正确答案D。
方法三：
作辅助圆法
特点：
作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：
①物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。
②物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，
原理：
先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。
第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。
6如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变
，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（）。
（A）F1先减小后增大 （B）F1先增大后减小
（C）F2逐渐减小（D）F2最终变为零
【答案】B、C、D
【解析】取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图2所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形（如图3所示的实线三角形CDE），需满足力F3大小、方向不变，角∠CDE不变（因为角α不变），由于角∠DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3中一画出的一系列虚线表示的三角形。
由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90°时，当好为零。
正确答案选项为B、C、D
6如图所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时α+β=90°．然后保持M的读数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ ）。
（A）减小N的读数同时减小β角（B）减小N的读数同时增大β角
（C）增大N的读数同时增大β角（D）增大N的读数同时减小β角
【答案】A
【解析】要保证结点不动，应保证合力不变，则由平行四边形定则可知，合力不变，M方向向合力方向靠拢，则N的拉力应减小，同时应减小β角；
故选A
方法四：
解析法
特点：
解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。
原理：
先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。
当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。
7如图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：
（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？
（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？
【解析】取绳子C点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图2所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于D点，由于是同一根轻绳，可得：
，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。
设角∠OAD为θ；根据三个力平衡可得：
；在三角形AOD中可知，
。
如果A端左移，AD变为如图3中虚线A′D′所示，可知A′D′不变，OD′减小，
减小，F1变大。
如果B端下移，BC变为如图4虚线B′C′所示，可知AD、OD不变，
不变，F1不变。
8如图所示，长度为5cm的细绳的两端分别系于竖立地面上相距为4m的两杆的顶端A、B，绳子上挂有一个光滑的轻质钩，其下端连着一个重12N的物体，平衡时绳中的张力多大？
【解析】由于绳上挂的一个光滑的轻质挂钩不是结点，即左右两部分绳子其实是一根绳子，同一根绳子上的力必然是相等的，设绳与水平方向夹角为α、β，
则水平方向：
Tcosα=Tcosβ，得：
α=β
设两杆间的距离为S，细绳的总长度为L，挂钩右侧长度为L1，左侧长度为L2，由题有S=4m，L=5m．
由几何知识：
得 S=L1cosα+L2cosα=Lcosα
得cosα=
分析挂钩受力情况，根据平衡条件2Tcos[
（π-2α）]=G
解得，T=
=10N
方法五：
极限分析法
特点：
运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。
具有好懂、易学、省时、准确的特点。
原理：
三角形中一条边a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ确定），欲求第三边c的最小值，则必有c垂直于b，且c=btanθ，如图所示。
9如图所示，用等长细绳OA和OB悬挂着一个重物，保持重物的位置不变。
现使OB端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C移动，在这过程中，OB绳中的张力TB的最小值是多少？
【解析】O点在重力G、OA和OB绳的张力TA和TB的三个力作用下处于平衡状态，G、TA、TB组成闭合三角形。
G的大小、方向已知，TA方向与G的夹角为θ，欲求TB最小值，则必需TB垂直于TA，且TB=TAtanθ=Gsinθ。
10如图所示，两个质量都是m的小球A、B用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态．已知墙面光滑，水平地面粗糙．现将A球向上移动一小段距离．两球再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B球的支持力N和轻杆上的压力F的变化情况是（ ）
1.A.N不变，F变大B.N不变，F变小
2.C.N变大，F变大D.N变大，F变小
3.
【答案】B
【解析】：
对整体进行受力分析，知F1=2mg，移动两球后，仍然平衡，则F1仍然等于2mg，所以N不变．
再隔离对A进行受力分析，轻杆对A的作用力等于轻杆上受到的压力，轻杆对A球的作用力F=
，当A球向上移动一小段距离，夹角θ减小，cosθ变大，所以F减小．故B正确，A、C、D错误．
故选B．
【同步练习】
1.半圆形支架BCD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，分析OA绳和OB绳所受力的大小如何变化？
TA是一直变小，而TB却是先变小后增大，当OB与OA垂直时TB最小。
【解析】：
对结点O受力分析如图：
结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．故答案为：
OA绳受力大小变化情况：
变小；OB绳受力大小变化情况是：
先变小后变大
2.如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN１，球对板的压力为FN2．在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是（）
A．FN１和FN2都增大B．FN１和FN2都减小
C．FN１增大，FN2减小D．FN１减小，FN2增大
【答案】B
3.如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时（）
A．绳OA的拉力逐渐增大；B．绳OA的拉力逐渐减小；
C．绳OA的拉力先增大后减小；D．绳OA的拉力先减小后增大。
【答案】D
4：
如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上。
现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动。
在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力FN的变化情况是（ ）
A.F逐渐增大，F摩保持不变，FN逐渐增大
B.F逐渐增大，F摩逐渐增大，FN保持不变
C.F逐渐减小，F摩逐渐增大，FN逐渐减小
D.F逐渐减小，F摩逐渐减小，FN保持不变
【答案】D
【解析】：
物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。
其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力FT与竖直方向的夹角θ减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D正确。
5.如图所示，细绳一端与光滑小球连接，另一端系在竖直墙壁上的A点，当缩短细绳小球缓慢上移的过程中，细绳对小球的拉力F、墙壁对小球的弹力N的变化（）
A．F、N都不变B．F变大、N变小
C．F、N都变大D．F变小、N变大
【答案】C
【解析】：
以小球为研究对象，受力分析如图，设绳子与墙的夹角为θ，由平衡条件得：
F＝
，N＝mgtanθ，把绳的长度减小，θ增加，cosθ减小，tanθ增大，则得到F和N都增大，故选项C正确．答案：
C
6.一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。
现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（）
A．FN先减小，后增大B.FN始终不变
C．F先减小，后增大D.F始终不变
【答案】B
【解析】设物体的重力为G．以B点为研究对象，分析受力情况，作出力图，如图．作出力FN与F的合力F2，
根据平衡条件得知，F2=F1=G．
由△F2FNB∽△ABO得：
得到：
式中，BO、AO、G不变，则FN保持不变．
同理：
得到：
式中，AO、G不变，但是AB逐渐减小，所以F逐渐变大．
故B正确，ACD错误；
故选：
B
7.如图所示，当人向左跨了一步后人与物体保持静止，跨后与垮前相比较，下列说法正确的是:
（）
A．地面对人的摩擦力减小 B．地面对人的摩擦力增加
C．人对地面压力增大 D．绳对人的拉力变小
【答案】A
【解析】对人受力分析，重力G、绳子的拉力T、支持力F与地面给的静摩擦力f，四力处于平衡状态．人向左跨了一步后绳子与竖直方向夹角θ变小时，则对绳子的拉力T进行力的分解得：
Tsinθ=f Tcosθ+F=G
由题意可知，绳子的拉力大小T等于物体的重力不变，所以随着夹角θ变小，得静摩擦力减小，支持力减小，人对地面压力减小；
故选：
A．
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