届上海松江区一模数学试题.docx

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届上海松江区一模数学试题

2020届上海松江区一模数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

1．已知二次函数yax2bxc的图像如图所示，那么下列判断正确的

A．a0，b

0，c0

B．a0，b

0，c0

C．a0，b

0，c0

D．a0，b

0，c0

2．如果点A（

1，3）、B（m，3）是抛物线y

2

h上两个不同的点，那么

m的

ax2

值为

A．2

B．3

C．4

D．5

3．在以O为坐标原点的直角坐标平面内，有一点

A（3

，4

），射线OA与x轴正半轴的

夹角为

，那么cos的值为

3

4

4

3

A．

B．

C．

D．

5

3

5

4

4．下列两个三角形不一定相似的是

A．两条直角边的比都是2:

3的两个直角三角形

B．腰与底的比都是2:

3的两个等腰三角形

C．有一个内角为

D．有一个内角为

50

50

的两个直角三角形

的两个等腰三角形

5

r

r

r

r

r

r

，且

．如果a

b

c，a

b

3c

rrA．a=b

rr

C．a与b方向相同

r

r

c

0，下列结论正确的是

r

r

B．a

2b0

r

r

D．a与b方向相反

6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重

叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么sin的值为（）

试卷第1页，总6页

3

1

2

D．

3

A．

B．

C．

2

4

2

3

7．已知：

x

2

，那么2x

y

．

y

3

x

y

8．已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a2，b

3，那么c

．

9．若两个相似三角形的面积比为

3:

4

，则它们的相似比为

．

10

．已知点P是线段AB上的黄金分割点，APPB，且AP

2，那么PB

________.

11

．已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为

．

12

．已知二次函数

f

x

1x2

bx

c图像的对称轴为直线

x

4，则f

1

2

f

3．（填“＞”或“＜”）

13

．在直角坐标平面中，将抛物线

y

2

1

个单位，再向右平移

1个

2x1先向上平移

单位，那么平移后的抛物线表达式是

．

14

uuur

r

uuur

r

．如图，已知

D是△ABC的边AC上一点，且AD＝2DC．如果AB

a

，AC

b，

uuur

r

r

那么向量BD关于a

、b的分解式是

．

15

．如图，在正方形网格中，点

ABC

tan

∠

BAC

的值为

．

，，是小正方形的顶点，那么

16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB的

坡度为．

试卷第2页，总6页

17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角

形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的

“

”.

肩心距

如果一个等腰直角三角形的腰

长为2，那么它的“肩心距”

．

18．如图，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝k.将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°得

到矩形ABCD．联结AD，分别交边CD，AB于E、F．如果AE＝2DF，那么k

＝．

3

2cos45

2

3tan30

19

．计算：

260

cos60

cot30

2sin

20

．已知二次函数

y

x2

4x1.

1）将函数y

x2

4x

1

的解析式化为yaxm

2

（

k的形式，并指出该函数图像

顶点B坐标；

（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线yx24x1与y轴交点为C，抛物线

的对称轴与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.

21．如图：

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝AB＝13，BD＝24.求边DC的

长.

22．如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以

试卷第3页，总6页

每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏

西60°的方向上.小岛A离港口P有多少海里？

23

．已知：

如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，

2

CFCA

.

CD

（

1）求证：

EF∥BD；

（

2）如果ACCFBCCE，求证：

BD2

DEBA.

24．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A（3,0）、点B（0,3）．点M（m,0）在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，

联结BQ．

（1）求抛物线表达式；

（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；

（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．

试卷第4页，总6页

25．已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F.

（1）如图

（1），作AE⊥ON，垂足为点E.当m=2时，求线段EF的长度；

图

（1）

（2）如图

（2），联结OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；

图

（2）

（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.

试卷第5页，总6页

图（3）

试卷第6页，总6页

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参考答案

1．C

【解析】

【分析】

利用抛物线开口方向、对称轴的位置、抛物线与y轴的交点位置进行判断．

【详解】

解：

抛物线开口向下a＜0；对称轴在y轴右侧，b＞0（与a异号）；图像交y正半轴，c＞0，

故选：

C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象系数的关系：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定

抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一

次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在

y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）；常数项c决定

抛物线与y轴交点：

抛物线与y轴交于（0，c）．

2．B

【解析】

【分析】

由抛物线的对称性，抛物线上的点，纵坐标相同，则关于对称轴对称，由顶点式可知对称轴

是x=2，则可求出.

【详解】

解：

∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线yax2

2

h上两个不同的点，

∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，

∴由顶点式可知对称轴是x2，对称轴位于A点的右侧，

∴2m，

∴1m2，解之得：

m3，

2

故选：

B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象的对称性等知识点，能熟记二次函数的性

质是解此题的关键．

答案第1页，总24页

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3．A

【解析】

【分析】

利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．

【详解】

解：

∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点

A（3，4）

∴OA32

42

5，

3

∴cos

5

故选：

A.

【点睛】

本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识．

4．D

【解析】

【分析】

根据图形相似的定义判定，用排除法求解．

【详解】

解：

A.两条直角边的比都是2:

3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两

个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；

B.腰与底的比都是2:

3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比

例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；

C.有一个内角为50的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相

似，故正确，不符合题意；

D.有一个内角为50的两个等腰三角形，内角是50的等腰三角形需要注意的是，这个角

是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.

故选：

D.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关

键．

5．D

答案第2页，总24页

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【解析】

【分析】

根据向量的性质进行计算判断即可.

【详解】

解：

将rrr

abc

r

r

r

，

代入a

b

3c

rr

计算得：

a-2b（方向相反）.

故选：

D

【点睛】

本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.

6．C

【解析】

【分析】

重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE，再根据面积求出sin．

【详解】

解：

如图示：

作BCCD交CD于C点，ADCD交CD于D点，

由阴影部分是两条宽度都为

1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，

则有ABAE，AD

1

，

1

∴ABAE

sin

∴S阴影=ABgAD

1

1

1.5

sin

解之得：

sin

2

，

3

故选：

C

【点睛】

答案第3页，总24页

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本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．

1

7．

5

【解析】

【分析】

设x2k，y3k，代入求解即可.

【详解】

x2

解：

∵

y3

2xy

∴设x2k，则y3k，代入

xy

得：

22k

3k

k

1，

2k

3k

5k

5

故答案为：

1

5

【点睛】

本题考查了比例的性质，根据题意利用参数设x2k，y3k是解题的关键.

4

8．

3

【解析】

【分析】

根据比例中项的定义可得a2bc，从而易求c．

【详解】

解：

∵线段a是线段b、c的比例中项，

∴a2

bc，

2

3c，

即2

∴c

4

，

3

故答案是：

【点睛】

4

3

本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．

答案第4页，总24页

9．

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3

2

【解析】

【分析】

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可

【详解】

解：

∵两个相似三角形面积的比为

3:

4，

33

∴它们的相似比=

42

3

故答案为：

2

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质：

相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

10．51；

【解析】

【分析】

根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝51AB，代入数据即可得出AP的

2

长，于是得到结论．

【详解】

由于P为线段AB的黄金分割点，且

AP是较长线段；

则AP＝AB×

5

1＝2，

2

∴AB＝51

∴PB＝AB-PA＝51-2=51，

故答案为：

51.

答案第5页，总24页

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【点睛】

本题考查黄金分割的概念：

把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段

的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．

3

11．

2

【解析】

【分析】

AC

根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA即可得出答案．

BC

【详解】

解：

如图，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，

AC

3

cotA

，

BC

2

故答案为：

3

.

2

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．

12．>

【解析】

【分析】

根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．

【详解】

解：

∵二次函数fx

1x2

bxc的图象开口向上，对称轴为直线

x4，

2

∴当x的取值越靠近

4函数值就越小，反之越大，

∴f1>f3，

故答案为：

＞．

【点睛】

答案第6页，总24页

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考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性．

13．y2x21

【解析】

【分析】

根据二次函数图像平移的特征：

函数平移遵循“上加下减，左加右减”求解即可.

【详解】

解：

根据二次函数图像平移的特征：

函数平移遵循“上加下减，左加右减”

则抛物线y2x12平移后为：

y2x11212x21

故答案为：

y2x21

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．

2

r

r

14．

b

a

3

【解析】

【分析】

根据向量的运算法则计算即可.

【详解】

解：

∵AD＝2DC，

uuur

2uuur

∴AD

3

AC，

根据题意，可得：

uuur

uuur

uuur

r

2uuur

r

2r

DB

AB

AD

a

AC

a

b

3

3

uuur

2r

r

∴BD

b

a，

3

故答案为：

2r

r

b

a

3

【点睛】

本题考查的是向量的运算法则，熟悉向量的计算遵循三角形法则是解题的关键.

15．2

【解析】

【分析】

答案第7页，总24页

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在正方形网格中构造一个∠BAC为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义求解．

【详解】

解：

如图示：

连接BC，根据题意可得：

222

AC3110

AB212122

222

BC228

∴AB2

BC2

AC2

∴ABC90o，

BC

8

∴在Rt△ABC中，tanBAC

2

AB

2

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义：

在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比

值．

2

16．

3

【解析】

【分析】

根据坡度的概念计算，得到答案．

【详解】

解：

斜面AB的坡度为：

202，

303

故答案为：

2．

3

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽

度l的比是解题的关键．

答案第8页，总24页

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17．32+6

3

【解析】

【分析】

延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2，VDBA和VEAC是等边三角形，

可以求得G1MG2N3，并且可证MN∥G1G2，利用平行线之间的线段对应成比例即可

3

求解.

【详解】

解：

如图示：

等腰直角三角形的腰长为2，

即：

ABAC2，

∵VDBA和VEAC是等边三角形，VABC等腰直角三角形∴BC=22，DM=EN=3

延长DF交边BC于点F

∵G1、G2分别是等边△ABD和等边△ACE的重心

3

∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，G1MG2N

3

又∵∠BAC=90°

∴AC∥DF

∴点F是BC的中点

同理可得EN的延长线也交

BC于点F

∴MF

1AC

1，FN

1AB1，MN

1BC2

2

2

2

FN

1

FM

1

∵NG2

3，MG1

3

3

3

FN

FM

∴

MG1

NG2

答案第9页，总24页

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∴MN∥G1G2

MN

FM

2

1

6.

，即G1G2

3，解得G1G22

∴

FG1

1

G1G2

3

3

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，

等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，

熟悉相关

性质定理，灵活运用是解题的关键

.

18．k21

【解析】

【分析】

由矩形的性质和旋转的性质可求

AD=A'D'=1，AB=A'B=k，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC，

通过证明△ADE∽△FA'D'，可得AD

DE

AE，可求DE，A'F的长，通过证明

AF

AD

DF

△A'D'F∽△CEF，由相似三角形的性质可求解．【详解】

解：

∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D，′∴AD=A'D'=1，AB=A'B=k，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC，∴A'D'∥BA∥CD

∴∠A'D'F=∠FEC=∠DEA，且∠D=∠A'=90°，

∴△ADE∽△FA'D'，

∴AD

DE

AE，且AE＝

2DF，

AF

AD

DF

∴DE

2A'D'

2，A'F

1AD

2，

2

2

∵∠A'=∠DCF=90°，∠A'FD'=∠EFC，

∴△A'D'F∽△CEF，

∴ECFC，

AD

AF

k

2

k1

2

2，

∴

2

1

2

∴k

21

答案第10页，总24页

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故答案为：

21

【点睛】

本题考查了