3.利用三角形________,可以确定在已知两边的三角形中,第三边的取值范围,以及判断任意三条线段能否构成三角形.
自学反馈
1.小强用三根木棒组成的下列图形,其中符合三角形概念的是( )
2.下列长度的三条线段能否组成三角形?
为什么?
(1)3,4,8 (________);
(2)2,5,6 (________);
(3)5,6,10 (________);(4)5,6,11 (________).
问题:
判断三条线段能否组成三角形,是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条?
根据你刚才的解题经验,你有没有更简便的判断方法?
用较短的两条线段之和与最长的线段比较,若和大,能组成三角形;反之,则不能.
活动1 小组讨论
例1 若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.
解:
设第三边的长为x,
根据两边之和大于第三边,得x<2+7,即x<9.
根据两边之差小于第三边,得x>7-2,即x>5.
∴x的值大于5小于9.
又∵它是奇数,∴x只能取7.
例2 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗?
解:
(1)设底边长为x厘米,则腰长为2x厘米.则
x+2x+2x=18.解得x=3.6.
∴三边长分别为3.6厘米,7.2厘米,7.2厘米.
(2)①当4厘米长为底边,设腰长为x厘米,则
4+2x=18.解得x=7.
∴等腰三角形的三边长为7厘米,7厘米,4厘米;
②当4厘米长为腰长,设底边长为x厘米,
则4×2+x=18.解得x=10.
∵4+4<10,
∴此时不能构成三角形,
即可围成等腰三角形,且三边长分别为7厘米,7厘米和4厘米.
活动2 跟踪训练
1.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )
A.10cm的木棒 B.20cm的木棒
C.50cm的木棒D.60cm的木棒
2.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )
A.9 B.12 C.15 D.12或15
3.若五条线段的长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三条线段为边可构成________个三角形.
4.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为________;若等腰三角形的两边长分别为3和4,则它的周长为________.
5.找一找,图中有多少个三角形,并把它们写下来.
活动3 课堂小结
1.三角形的表示方法,三角形的基本要素.
2.三角形按边的分类.
3.三角形的三边关系,如何判断三条线段能否组成三角形.
【预习导学】
知识探究
(一)1.同一条直线上 顺次相接 2.边 顶点 内角
3.△ABC 三角形ABC
(二)1.相等 2.相等 腰 底边 顶角 底角 3.不相等 4.不等边 等腰 底边和腰不相等的等腰 等边 (三)1.大于 2.小于 3.三边关系
自学反馈
1.C 2.
(1)不能
(2)能 (3)能 (4)不能
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.B 2.C 3.3 4.17 10或11 5.图中有5个三角形.分别是△ABE、△DEC、△BEC、△ABC、△DBC.
课时2:
三角形的高、中线与角平分线
1.认识三角形的高、中线与角平分线.
2.会画一个三角形的高、中线与角平分线.
阅读教材P4~5,完成预习内容.
知识探究
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做____________.
2.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个________________.三角形三条中线的交点叫做三角形的________.
3.在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫________________.
自学反馈
1.三角形的高:
如图1,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的________.AD是△ABC的高,则AD⊥________.
2.三角形的中线:
如图2,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的________.AD是△ABC的中线,则BD=________.
3.三角形的角平分线:
如图3,∠BAC的平分线AD,交∠BAC的对边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的________.AD是△ABC的角平分线,则∠BAD=________.
活动1 小组讨论
1.用工具准确画出三角形的高.
如图,线段AD是△ABC中BC边上的高.
注意:
标明垂直的记号和垂足的字母.
回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”画法.
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高,观察高与三角形的位置关系.
由作图可得出如下结论:
(1)三角形的三条高线相交于1点;
(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部;(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部;(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.
2.画三角形的中线.
如图,线段AD是△ABC中BC边上的中线.
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线,观察中线与三角形的位置关系.
由作图可得出如下结论:
(1)三角形的三条中线相交于1点;
(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部;(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部;(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.
3.画三角形的角平分线.
如图,线段AD是△ABC的一条角平分线,图中∠BAD=∠CAD.
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线,观察角平分线与三角形的位置关系.
由作图可得出如下结论:
(1)三角形的三条角平分线相交于1点;
(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部;(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部;(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.
活动2 跟踪训练
1.一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点,则这个三角形是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
2.如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分线,AF是△ABC的中线,则图中相等的角是________________________________,相等的线段是________.
3.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别?
高与垂线呢?
4.一个三角形有几条高?
几条中线?
几条角平分线?
活动3 课堂小结
1.三角形的高、中线、角平分线的概念及画法.
2.运用三角形的高、中线、角平分线可得到相等的线段和相等的角.
【预习导学】
知识探究
1.三角形的高 2.三角形的中线 重心 3.三角形的角平分线
自学反馈
1.高 BC 2.中线 CD 3.角平分线 ∠CAD
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.B 2.∠BAE和∠CAE,∠ADB和∠ADC BF和CF 3.三角形的角平分线是线段,角的平分线是射线;高是线段,垂线是直线. 4.一个三角形有3条高,3条中线,3条角平分线.
课时3:
三角形的稳定性
1.通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.
2.了解稳定性与不稳定性在生产、生活中的广泛应用.
阅读教材P6~7,完成预习内容.
知识探究
三角形________稳定性,四边形________稳定性.
自学反馈
1.下列图中具有稳定性的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.人站在晃动的公共汽车上,若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了________________________.
3.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是( )
A.活动的四边形衣架B.起重机
C.屋顶三角形钢架D.索道支架
活动1 小组讨论
1.如图,盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?
(防止窗框变形)
2.动手操作探究三角形的稳定性.
(1)三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(不会)
(2)四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(会)
(3)在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(不会)
从上面的实验过程中你能得出什么结论?
与同学交流.
解:
三角形木架形状不会改变,四边形木架形状会改变,这就是说,三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.
第一个三角形不变形,第二个四边形变形,当在四边形的木架上再钉一根木条,然后扭动它,不变形.通过对比得出三角形具有稳定性的结论.
还有什么发现?
解:
还可以发现,斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.原因是斜钉一根木条后,四边形变成两个三角形,由于三角形有稳定性,所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.
现在你知道为什么窗框未安装好之前,要先在窗框上斜钉一根木条了吧.其实就是利用了三角形的稳定性.
3.四边形的不稳定性的应用
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的,那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢?
如果有,你能举出实例吗?
活动2 跟踪训练
1.下列图形中哪些具有稳定性?
判断一个图形是否稳定,关键是看图形中是否都是三角形.
2.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了( )
A.节省材料,节约成本B.保持对称
C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮
3.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF和EG固定门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )
A.两点之间线段最短B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性
活动3 课堂小结
运用三角形的稳定性和四边形的不稳定性解释其在生活中的应用.
【预习导学】
知识探究
具有 没有
自学反馈
1.C 2.三角形的稳定性 3.A
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.图
(1),(4),(6)具有稳定性. 2.C 3.D
第二节 与三角形有关的角
课时4:
三角形的内角和
1.会阐述三角形内角和定理.
2.会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数).
阅读教材第P11~13,完成预习内容.
问题1 揭示三角形的内角和
1.幻灯片出示:
解释“什么是三角形的内角”,并通过“内角三兄弟之争”的数学故事引出本节内容.
数学故事:
在一个直角三角形里住着三个内角,平时,它们三兄弟非常团结.可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:
“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!
”“不行啊!
”老大说:
“这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起来了…….”“为什么?
”老二很纳闷.同学们,你们知道其中的道理吗?
2.利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和.
30°+60°+90°=180° 45°+45°+90°=180°
想一想:
任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
问题2 探索并证明三角形的内角和定理
做一做
1.在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码.
2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.
图1
3.剪下∠A,按图2拼在一起,从而还可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.
图2
图3
4.把∠B和∠C剪下按图3拼在一起,用量角器量一量∠MAN的度数,会得到什么结果.
想一想
如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面结论的正确性呢?
已知△ABC,说明∠A+∠B+∠C=180°,你有几种方法?
结合图1、图2、图3说明这个结论成立.
知识探究
三角形三个内角的和等于________.
自学反馈
1.在△ABC中,∠A=35°,∠B=43°,则∠C=________.
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4则∠A=________,∠B=________,∠C=________.
3.①一个三角形中最多有______个直角?
为什么?
②一个三角形中最多有______个钝角?
为什么?
③一个三角形中至少有______个锐角?
为什么?
④任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为______.
活动1 小组讨论
例1 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
解答过程见教材P12~13.
例2 甲楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为45°,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少?
解:
由题意知
∠ABC=90°,∠ACB=45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-90°-45°=45°.
∴BC=AB=16.
答:
两楼的距离是16米.
活动2 跟踪训练
1.△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
2.一个三角形至少有( )
A.一个锐角B.两个锐角
C.一个钝角D.一个直角
3.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=________.
4.已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5,则这三个内角的度数分别为____________.
活动3 课堂小结
会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数.
【预习导学】
知识探究
180°
自学反馈
1.102° 2.40° 60° 80° 3.1 1 2 60°
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.B 2.B 3.50° 4.20°、60°、100°
课时5:
直角三角形的两个锐角互余
1.通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余.
2.理解并会运用直角三角形的两锐角互余及其逆定理.
阅读教材P13~14,完成预习内容.
如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,由三角形内角和定理,得∠A+∠B+∠C=________,
即∠A+∠B+________=________.
所以∠A+∠B=________.
知识探究
1.直角三角形的两个锐角________.
2.直角三角形可以用符号“________”表示,直角三角形ABC可以写成________.
3.由三角形内角和定理可得:
有两个角互余的三角形是________三角形.
自学反馈
1.若直角三角形的一个锐角为20°,则另一个锐角等于________.
2.在△ABC中,∠A=60°,∠B=
∠A,则△ABC是________三角形.
判断三角形的类型,可根据已知条件推算出三个内角的度数,再进行判断,当已知两角互余时,则是直角三角形.
活动1 小组讨论
例1 如图,DF⊥AB,∠A=40°,∠D=43°,则∠ACD的度数是87°.
“直角三角形的两锐角互余”常常和三角形内角和定理综合起来求角的度数.
例2 在△ABC中,如果∠A=
∠B=
∠C,那么△ABC是什么三角形?
解:
设∠A=x,那么∠B=2x,∠C=3x.
根据题意,得x+2x+3x=180°.
解得x=30°.
∴∠A=30°,∠B=60°.
∴△ABC是直角三角形.
活动2 跟踪训练
1.如图,AB、CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若∠BOD=38°,则∠A=________.
2.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠B,∠2=∠3,则图中共有________个直角三角形.
活动3 课堂小结
运用直角三角形的两锐角互余及三角形内角和定理求三角形中角度.
【预习导学】
180° 90° 180° 90°
知识探究
1.互余 2.Rt△ Rt△ABC 3.直角
自学反馈
1.70° 2.直角
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.52° 2.5
课时:
6:
三角形的外角
1.探索并了解三角形的外角的两条性质.
2.利用学过的定理论证这些性质.
3.利用三角形的外角性质解决与其有关的实际问题.
阅读教材P14~15,完成预习内容.
1.如图1,把△ABC的一边BC延长,得到∠ACD.像这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做____________.
如图2,一个三角形有________个外角.每个顶点处有________个外角.
2.如图1,△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,∠ACD是△ABC的一个外角,则∠ACD=________.试猜想∠ACD与∠A,∠B的关系是____________.
3.试结合图形写出证明过程:
证明:
过点C作CM∥AB,延长BC到D.
则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠B(两直线平行,同位角相等),
所以∠1+∠2=∠A+∠B,
即________=∠A+∠B.
知识探究
一般地,由三角形内角和定理可以推出:
三角形的外角等于与它不相邻的________________.
自学反馈
1.判断下列∠1是哪个三角形的外角:
2.求下列各图中∠1的度数.
活动1 小组讨论
1.如图∠1+∠2+∠3=?
解:
∠1+∠BAC=180°,
∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠ACB=180°,
三个式子相加得到:
∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠ACB=540°.
而∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠1+∠2+∠3=360°.
2.结论:
三角形的外角和是360°.
活动2 跟踪训练
1.求下列各图中∠1的度数.
2.求下列各图中∠1和∠2的度数.
3.已知三角形各外角的比为2∶3∶4,求它的每个外角的度数?
4.如图,AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,求∠1和∠2.
活动3 课堂小结
三角形外角的性质:
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的外角和是360°.
【预习导学】
1.三角形的外角 6 2 2.120° ∠A+∠B=∠ACD
3.∠ACD
知识探究
两个内角的和
自学反馈
1.略. 2.略.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1.∠1=90° ∠1=80° ∠1=95°. 2.略. 3.设三个外角度数分别为2x、3x、4x,由三角形外角和为360°,得2x+3x+4x=360°.解得x=40°.所以三个外角度数分别为80°,120°,160°. 4.∠1=40°,∠2=85°.
第三节 多边形及其内角和
课时7:
多边形
1.了解多边形及有关概念.
2.理解正多边形及其有关概念.
阅读教材P19~20,完成预习内容.
知识探究
1.在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做________.如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做________.(一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.)
2.相邻两边组成的角叫做____________,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做____________.
3.连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做________________.
4.各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做________.
自学反馈
1.下列图形不是凸多边形的是( )
2.n边形有________条边,________个顶点,________个内角.
在多边形的概念中,要分清以下几个方面:
(1)在平面内;
(2)若干线段不在同一直线上;
(3)首尾顺次相接;
(4)所形成的封闭图形.
活动1 小组讨论
1.请列出生活中的一些多边形,并指出其特征.
解:
房屋顶是三角形,因为三角形有稳定性;螺母底面为六边形,是为了方便安装和拆卸;黑板为四边形,是为了满足教学的使用;等等.
生活中存在很多的多边形,它们的形状都是为了与生活相适应.
2.多边形的内角、外角及对角线.
(1)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
(2)多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
(3)连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(4)多边形用表示它的各顶点的大写字母来表示,表示多边形必须按顺序书写,可按顺时针或逆时针顺序.
(5)正多边形各个角都相等,各条边都相等.(如下图所示)
判断一个n边形是正n边形的条件:
(1)各边相等,
(2)各角相等.
3.合作探究,完成下表,将你的思路与同学交流、分享.
多边形边数(n)
四边形
五边形
六边形
…
n边形
从一个顶点作对角线的条数
1
2
3
…
n-3
从一个顶点作对角线得三角形的个数
2
3
4
…
n-2
对角线的总条数
2
5
9
…
活动2 跟踪训练
1.下列不是凸多边形的是( )
2.下列图形中∠1是外角的是( )
3.下列说法正确的是( )
A.一个多边形外角的个数与边数相同
B.一个多边形外角的个数是边数的二倍
C.每个角都相等的多边形是正多边形
D.每条边都相等的多边形是正多边形
活动3 课堂小结
1.多