第四节简谐激励振动理论的应用讲解.docx
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第四节简谐激励振动理论的应用讲解
第四节简谐激励振动理论的应用
一、旋转不平衡质量引起的强迫振动
（一）运动方程及其解
在高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源之一。
M
m
<1-
lc|
//
/
xt
一个旋转机械的力学模性：
设旋转机械总质量为M，
转子的偏心质量为m，偏心距为e，转子的转动角速度为■■选静平衡位置为坐标原点，坐标x表示机器离开静平衡位置的垂直位移，而偏心质量的位移为
xesint
根据牛顿运动定律，列出系统的振动微分方程
22
…、dxdz.,、
dt
（M-m）―7m2（xesint）二dt2dt2
整理后，得
MXc*kx二me2sint（3-18）
Fo，
上式的形式与方程（3-1）相似，只是由me2代替了
故前面所有的分析都可适用。
设
2Mn
则方程（3-18）的稳态响应为
x（t）二Xsin（t~）
式中振幅X为
2
me
（k-M2）2（c）2
2/
me1
k（1-r2）2（2r）2
2
mer
M（Vr2）2（2r）2
显然，相位差:
为
tg
c2r
22
km1-r
正比。
为了减小振动，旋转机械的转子通常要作平衡试验，使质量分布尽可能均匀。
（二）幅频特性
放大因子定义为
以放大因子MX为纵坐标，频率比r为横坐标，阻尼比为
me
参数，画出幅频特性曲线。
MX
1.当r=——■0时，MX‘0，即振幅接近于零
me
1时，
MX
>1,即振幅趋近于常数，即
co
me
me
而与激励频率及阻尼比基本上无关
3.共振发生在
V1
时，位于r=1的右边，共振振幅为
x二me
M
当阻尼很小时（匚兰0.2），可以认为当
发生共振，共振振幅为
me
2M
me
c
例题：
一台惯性式激振器安放在机器正上方，以测定机器的振动特性。
激振器有一对带有偏心质量、等速反向旋转的齿轮组成。
当旋转角速度3为时，偏心质量的离心惯性力在水平方向合力为零，在垂直方向合成激振力me®2sin3t,其中m为总的偏心质量，e为偏心距。
通过改变转速，测得共振时的垂直振幅为
1.07cm，而超过共振很远时，垂直振幅趋于定值0.32cm。
若偏心质量为12.7kg，偏心距为15cm,支承弹簧刚度为k=976.7N/cm。
计算
（1）支承阻尼器的阻尼比；
（2）转速为
N=300r/min时机器的垂直振幅。
解：
设机器和激振器的总质量为M。
系统的振动微分方程为
MXcXkx=me2sint
（1）共振时
（r=1）的振幅为
Xmax
=1.OCm
2M
me二0.32m
M
所以阻尼比
60
频率比
12・8（rad/s）
由'n
-驚如.4（rad/s）
60
则机器的振幅为
例3-2:
桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动，轴的两
端由调位轴承支承，轴上无别的零件。
空心轴的内径d1为，外径为d2，两支承间距离为I，求轴的临界转速（r/min）。
El,2m
I1
60
轴的临界转速ncr为：
ncr-。
故只要知道梁的固
2兀
有频率即可求出轴的临界转速ncr。
求连续梁第一阶固有频率时，其模型可按如下简化（离
散化）：
将梁离散为三点：
两个端点和一个中点，其中梁的
两端端点的质量各为总质量的四分之一，即细=m，中
42
点的质量为总质量的二分之一，即细=m。
如图所示。
这
2
样处理后，可以把梁看作是抗弯刚度为EI、无质量的弹性梁。
m/2mElm/2
式中△是梁中点的静变形，由材力知
mgl3
48EI
二、基础运动引起的强迫振动
在许多情况下，系统受到的激励来自于支承的运动，例
如固定在机器上的仪表，汽车在不平的路面行驶时的振动等等，都是支承运动引起的强迫振动。
（一）运动方程及其解
Ixm」
k（xy）c（xy）
J
如图所示是受基础激励的振动力学模型。
以系统静平衡
位置为坐标原点建立坐标系：
x----质量块的位移
y----基础的位移
设基础运动规律为
y二Ysint
由牛顿运动定律，得
mX二-k（x「y）「c（X「*）（3-20）
即
mXcXkx二kycy（a）
或也可写成：
mxexkx二kYsintcYcost
利用复指数法求解上式。
用y=Ye'"代换y二Ysin，t,
所以y=卩丫尹,代入式（a）,得
m*c*kx二kYej"jcYej*
•t（b）
=（kjc）Yej
假定方程（b）的解为
（c）
x（tpXej七
式中X----复振幅则X（t）二jXejt
X（t）=-2Xejt
带入方程（b），得
[（k-m2）jc]Xej（kjc）Yej'
则实振幅为
k（c）2
（k-m2）■（c）2
（e）
「（2r）2
⑴r2）2（2r）2
相位差
tg
mc
22
（3-27）
k（k-m2）（c）2
2r3
1-r2（2r）2
故方程（b）的解为
x（t）=Xej（（f）
由于方程（3-20）中的激励力y=Ysin「t是正弦函数，
所以方程（3-20）的解也只能取式（f）的虚部，故方程（3-20）
的解为
x（t）二Xsin（t-）（g）
（二）幅频特性
令振幅放大因子为
（3-28）
X]「（2r）2
Y\（1r2）2（2r）2
X
以放大因子为纵坐标，频率比r为横坐标，阻尼比为参
Y
数，画出幅频特性曲线。
由此可见，它与简谐激励力
1.当r=：
2C=\2■n）时，振幅X等于基础运动振幅
Y，与阻尼无关
2.当「•v2「•、、2n）时，振幅X小于基础运动振幅Y，增加阻尼反而使振幅X增大。
kk1
。
ki
例题：
试求图示系统在上端有基
础运动的稳态响应。
已知
x^=asint
和激励频率川二2、
m
解：
系统的运动微分方程为
mX（kk1）x=k1x1
即
mX（k&）x二k1asint
固有频率为
思考问题:
（1）此题是用3.2中的式（3-4）还是用3.4.2基础激励中的公式（h）来求解该题的响应?
（2）此题相位差'：
为多少？
振幅为
3kk1
相位差为二二
则系统的响应为
x二Xsin（t-二）…Xsint
例题3-3:
如图为汽车的拖车在波形道路上行驶，引起垂
v=ioo叫。
满载时拖车质量g=1000kg，•厂0.5。
空载时拖车质量m^=250kg。
2vt
路面成正弦波形，可表示成y=Ysin，其中L=5m
L
解：
（1）基础激励的频率
On
2v2
100103
（6^皿34.9（
（2）空载时的阻尼比2
•••阻尼系数c=2[Jgk=22\/m2k
2二1
1000
=1
m=0.5m2250
（3）满载和空载时的频率比
满载时系统的固有频率
k
350103
'n1
100018.7冋S）
满载时频率比
n1
八1.87
18.7
空载时系统的固有频率
35°T°'=37.4严巧）
250
空载时频率比
co
n2
汪%93
37.4
（4）满载和空载时车辆的振幅比
2
X
满载时1
Y
1（2苗）2
（「『）2（2苗）2
二0.68
X
空载时2
Y
1（22叨2
（1-J）2（22叨2
=1.13
0.6
三、隔振机器超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿命，而且还造成环境污染，影响周围设备的正常工作和人体健康，有效地隔振是相当重要的问题。
隔振就是在振源和振体之间设置隔振系统或隔振装置，以减少或隔离振动的传递。
隔振分为两类：
主动隔振隔离机械设备通过支座传递至地基的振动，以减少动力的传递。
被动隔振防止地基的振动通过支座传递至需保护的精密设备或仪器仪表，以减少运动的传递。
隔振装置通常由合适的弹性材料及阻尼材料组成，例如钢弹簧、橡胶、软木、毡类等。
1.主动隔振
F0sint
F0sint
CP
kX
/ZZz//Z7Z
振源是机器本身。
主动隔振的目的是减少传递到地基上
的力。
其隔振效果用力传递率（系数）Tf表示，它定义为
隔振后传递到地基上的力（Ft）
T1
F隔振前传递到地基上的力（F。
）
隔振后机器的强迫振动为
x=Xsin（r），x=Xsin（t-）
故机器通过弹簧传递到地基上的力为kX
机器通过阻尼器传递到地基上的力为kX二kX
其合力为
所以力传递率为
2.被动隔振
厂Ysint
血y
被动隔振振源来自地基运动。
被动隔振的目的是减小传
递到机器的运动，其隔振效果用位移传递率（系数）TD来表示，它定义为
隔振后机器的振幅（X）
隔振前机器的振幅（Y）
显然有
1（2r）
（3-28）
比较主动隔振式（3-29）和被动隔振式（3-28）可知，主动隔振式和被动隔振的原理是相似的。
故此，力传递率（系数）Tf和位移传递率（系数）TD统称为传递率（系数），用符号T表示。
所以有
传递率T有如下特点：
（1）不论阻尼大小，只有当频率比rJ2（即——2）
时，才有传递率T1，即隔振才起作用。
（2）当频率比rJ2后，随着r的增加，传递率T逐渐减小；当频率比r■5之后，传递率T的减小趋于平缓。
故隔振效果提高是有限度的。
通常频率比r取值范围在2.5-5内。
（3）当频率比rJ2后，增加阻尼反而使隔振效果变坏，
即
例题3-4一电动机质量为68kg，安装在质量为1200kg的隔振铁块上，两者装在一起后的固有频率为2.667Hz,阻尼比•=0.1，因电机失衡而产生激振力
F（tp100sin（31.4t）N。
试求：
（i）隔振块的振幅；
（2）传递到基础上的力Fp。
基础
m
1
!
o=
=1
F0snt
X
解：
（1）由题已知
F0TOON,=0.1
质量m=681200二1268kg
n=22.667=16.757（rads）
⑷31.4
r1.874
J16.757
k=m2=126816.7572=356050.7（Nm）
由式（3-3），得隔振块的位移
V（vr2）2（2r）2
100
356050.7
\（1一1.8742）2（20.11.874）2
=1.10610「4（m）0.11（mm）
（2）则通过弹簧和阻尼器传递到地基上的合力为
亓二X\/k2（c）2二kX\1（2r）2
=356050.71.10610_\/1（20.11.874）2
二42.05442（N）
阻尼系数
c=2mn
二2126816.7570.1二4249.6（N
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