现代控制理论第版课后习题答案.docx
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现代控制理论第版课后习题答案
习题答案
Documentnumber:
WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：
系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
令0（s）=y,则，=册
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。
以电压"⑴为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R?
上的电压作为输出量的输出方程。
解：
由图,令ii=x}J2=x2,uc=x3l输出量y=R2x2
Rg+L,Xj+xy=u
有电路原理可知:
L2xi+R2x2=x3
=x2+Cx3
写成矢量矩阵形式为：
14两输入也，两输出比，比的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：
系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：
令x,=y,吃=，，兀3=，，则有
相应的模拟结构图如下:
并画岀相应的模拟结构图
10£
初・117/\6（5+1）-4V3a
解:
VV（5）==+—++丄
s（s+2）（s+3y（s+3y5+3s+2s
1-7给定下列状态空间表达式
y=[001x2
_V3_
（1）画出其模拟结构图
（2）求系统的传递函数
解：
-10
（2）W（s）=（s/—A）=25+30
1—15+3
1-8求下列矩阵的特征矢量
_010_
（3）302
-12-7-6
-10
解：
A的特征方程|刀—A|=—32-2=23+6/l2+lU+6=0
1272+6
解之得：
入=—1,/?
2=—2,/?
3=—3
■0
1
0'
/Ai
P11
3
0
2
P11
=—
P21
-12
-7
-6_
■皿
■叽
当人=一1时,
Ai
-1
（或令Pll=一1,得片=
P21
=
1）
1
1・9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
'41
-2'
当人=3时，
10
2
=3
"21
1-1
3.
约旦标准型
1-10已知两系统的传递函数分别为W|（s）和W2（s）
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果
_4
1
-2
P11
Pw
T
1
0
2
"21
=3
P21
+
1
1
-1
3-
■叽
丄
当An=3时,
解之得Pl2=P12+1，P22=“32令Pl2=1
并联联结
Ml
（第3版教材）已知如图1・22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别
求系统的闭环传递函数
1-H（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数
解：
M2已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数I】的系数b（即控制列阵）为
⑴b=；
解法1:
解法2：
求T,使得厂，；得宀鳥所以T=
所以，状态空间表达式为
第二章习题答案
2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数屛‘。
⑵A二
（4ij
解：
第一种方法：
令|^-A|=0
2-1-],
则,,=°•即（几-1）「-4=0。
-42-1
求解得到人=3,A=-i
当人=3时，特征矢量/?
!
=门1
5」
可令刃=[;]
久+旳=3/“
「+如一如可令”严
〔4卩2+〃22=-〃22
第二种方法，即拉氏反变换法：
第三种方法，即凯莱一哈密顿定理
由第一种方法可知人=3,儿=-1
4/"+必严3卩2】
2-6求下列状态空间表达式的解：
初始状态A（0）=；,输入“⑴时单位阶跃函数。
因为B=；,«（/）=；（/）
2-9有系统如图所示，试求离散化的状态空间表达式。
设采样周期分别为T二和Is,而旳和“2为分段常数。
图系统结构图
解：
将此图化成模拟结构图
列出状态方程则离散时间状态空间表达式为
由G（T）=/和H（T）=[eA,dtB得：
第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。
系统中abc,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何
（1）系统如图所示：
解：
由图可得：
状态空间表达式为：
由于丄、二、；与“无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。
由于y只与勺
有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式:
解：
如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。
要使系统能控，控制矩阵b中相
对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有
要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有
3-2时不变系统
试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：
方法一：
方法二：
将系统化为约旦标准形。
T=11,T*=
1-1
丄£'
22
丄
_2~2_
T'B中有全为零的行，系统不可控。
CT中没有全为0的列，系统可观。
3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数％和Q
解：
构造能控阵：
要使系统完全能控，则勺+1工冬，即冬-勺+1工0
构造能观阵：
要使系统完全能观，则\——ctx,即+
34设系统的传递函数是
（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的
（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。
（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。
系统能控且能观的条件为w⑸没有零极点对消。
因此当a=l,或23或a=6时，系统为
不能控或不能观。
方法2:
系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。
因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
（2）当a=l,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型
（3）根据对偶原理’当a=l,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为
3-6已知系统的微分方程为:
y+6y+l\y+6y=6u
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解：
4=6,©=ILa2=6,a3=%=6
系统的状态空间表达式为传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为:
传递函数为VV（5）=
6
3・9已知系统的传递函数为
试求其能控标准型和能观标准型O解：
忤）=匚皆〉1+：
节
s+45+35"+45+3
系统的能控标准I型为
能观标准II型为
3・10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。
■010■
解:
A=
-2-30
b=
1
-11一3
2
C=[o01]
3-
11试将下列系统按能控性进行分解
解：
'-I'
o'
Ab=
0
=
1
3
0
0
R、=b=0»R1
1
其中&是任意的，只
构造奇异变换阵&
要满足人满秩。
0
-1o'
or
即&=
0
01
得心=
-1
O0
1
30
0
10
3-12试将下列系统按能观性进行结构分解
rankN=2<3,该系统不能观
构造非奇异变换矩阵鵡，有町=2-32001
「3-1
则砖2-10
001
3-
13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
rankM=3,则系统能控
rankN=3,则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
3-14求下列传递函数阵的最小实现。
B=fC=,D=
2】」UML°°,
系统能控不能观
iiiri-f
取列。
J叫。
J
所以入=瓦亦严:
°,B=^Bt=
0—1
a
10
a
0
0
C=C<&=
10
.D=
0
0_
所以最小实现为A.=1-瓦=[11]「Cn=；，=验证：
C“何-人”「瓦=士J\"CO
3-15设纭和S2是两个能控且能观的系统
（1）试分析由乙和5所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数;
（2）试分析由乙和耳所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。
解：
（1）纭和‘2串联
当5的输出”是工2的输入“2时，^3=-2®+2召+X2
'o
1
o'
"o'
-3
-4
0
.v+
1
.2
1
_2.
0
y=[00\]x
则rankM=2<3,所以系统不完全能控。
当5得输出儿是纭的输入①时
_0
1
1
O
x=
-3
-4
1
x+
0
0
0
-2
1
“y=[21o]x
001
因为M=\_bAbA2b~\=01-6
1-2-4
rankM=3则系统能控
C
"2
1
O'
因为N=
cA
=
-3
-2
1
cA2
6
5
4
rankN=2<3则系统不能观
（2）纭和工2并联
'0
1
o'
O
-3
-4
0
x+
1
0
0
_2.
1
y=[21l]x
因为rankM=3,所以系统完全能控
因为rankN=3,所以系统完全能观
现代控制理论第四章习题答案
4-1判断下列二次型函数的符号性质：
⑴
0（兀）=_彳-3,
一1lx；+2xtx2一x2x3一2召七
⑵
v（x）=x；+
+x；-2x}x2一6x2x3一2召兀
解：
（1）由已知得
一3
A,=-1<0,A,=_11=2>0,A.=1
1-]一3
（2）由已知得
因此0W不是正定的
4-2已知二阶系统的状态方程：
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：
方法
（1）:
要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。
有解，且解具有负实部。
即:
纠1+&22<0且ana22>al2a2l
方法
（2）:
系统的原点平衡状态兀=0为大范围渐近稳定，等价于ArP+PA=^Qo
取0=/,令卩=
兄』
则带入ArP+PA=-Qt得到
2“21
0
若
如
a\\+Ct22
«21
=4伽+如）（如。
22-^12^21）式0,则此方程组有唯一解。
即
0
2绚2
2如
其中detA=|A|=如如一al2a2i
要求P正定，则要求
因此你+“22V0,且detA>0
4-
3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。
解：
⑴系统唯一的平衡状态是兀.=0。
选取Lyapunov函数为V（x）=x；+x；>0,则
"⑴是负定的。
卜有U（x）ts。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
⑵系统唯一的平衡状态是兀=0。
选取Lyapunov函数为V（x）=xf+x;>0,则
M（x）是负定的。
卜||ts,有U（x）ts。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为：
试确定平衡状态的稳定性。
解：
若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：
取P=I
很明显，0X）的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。
选取Lyapunov函数为
V（x）=x,2+x；>0,贝IJ&⑴是负定的。
卜||ts,有U（Qts。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-9设非线性方程：
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。
解：
（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：
卜有
取p=i
则一二3斤］,根据希尔维斯特判据，有：
一1+3旺2
△严0,△严°，3xf_1=（3x12-l）2>0）0（x）的符号无法判断。
一1+3巧2
⑵李雅普诺夫方法：
选取Lyapunov函数为V（x）=-|a-4+-|x；>0,则
%力是负定的。
卜有U（x）ts。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数比较/（几）与八刃各对应项系数可解得：
饥=-5k严-9心=-9,则有：
K=[-5-9-9]o
5-3有系统：
（1）画出模拟结构图。
（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点
（3）若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵。
解
（1）系统模拟结构图如下：
（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统艺°=（A,b,C）完全能控。
对于系统22（）=（a,z?
c）有：
M=[bAh]=\GrankM=2,系统能控，故若系统动态性能不满足要求,
1—1
可任意配置极点。
⑶系统艺广（A,仅C）的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I型，则有大=:
：
引入状态反馈后，系统的状态方程为：
；i=（A+bK）x+/“设《=[《和，贝IJ系统工K=（A、bK,C）的特征多项式为：
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
比较/⑷与厂"）各对应项系数可解得：
心=-7人=-3,K=[-7-3]。
54设系统传递函数为
试问能否利用状态反馈将传递函数变成若有可能，试求出状态反馈K,并画出系统结构图。
解・W（s）=一*一恥+2）一=一厂+$一2—
（5+1）（5-2）（5+3）F+2疋—5$-6
由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。
能控标准I型为
令K=\k.kx心]为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为
由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征多项式为
比较/（刃与rw的对应项系数,可得
即K=[—18-21-5]
系统结构图如下：
5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。
'-I
-2
-2
2
A=
0
-1
1
上=
0
1
0
-1
1
（1）
解：
系统的能控阵为:
2
-4
0
0
1
0
rankM=3
1
1
-5
M=[bAbA2h~]=
系统能控。
由定理521可知，采用状态反馈对系统工（）=（4bC）任意配置极点的充要条件是为）=（A”，C）完全能控。
又由于rankM=3,系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。
5・7设计一个前馈补偿器，使系统
解耦，且解耦后的极点为-1,-1,-2,-2。
解：
W（S）=%（£）%（£）
5・10已知系统:
试设计一个状态观测器.
使观测器的极点为T-2r（r>0）o
c10
解：
因为“I厂。
I满秩’系统能观，可构造观测器。
于是扌=厂伽+厂%"=
引入反馈阵0=f*,使得观测器特征多项式:
L^J
根据期望极点得期望特征式：
比较/（刃与fW各项系数得:
反变换到x状态下G=TG=
观测器方程为:
55-6s2-115+6
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