《现代控制理论》第3版课后习题答案.docx

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《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》

第一章答案

1-1试求图1・27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1・27系统方块结构图

解：

系统的模拟结构图如下:

系统的状态方程如下:

坷=心

■

•_Kp心1Kp牙3"'3Xj"1牙5•^6

*5+K]X6

•K|K\K（

X.XX.dli

K「K「心ppp

•

■01

0

0

0

0■

00

Kb

0

0

0

x,'

•

厶

人2

•

An

K

p

K“

1

Kp

尤3

•

=

UU

J

I

人

7

厶

00

1

0

0

0

•

00

一K

0

0

K\

“5

•

”0

0

1

0

0

K\

A.

•人6・

K

K

Lp

pJ

斗

AS

■

y=[1

000

0o]

兀5

所以,

系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

+

0

0

0

0

0

Al

Kp・

1・2有电路如图1・28所示。

以电压"（0为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2

上的电压作为输出量的输出方程。

R1

L1

/VVVA

L2

—

解J由图♦令人=册厶=只2"〈=兀3，输出量y=^2-^2

/?

A|+厶X,+Xy=U

有电路原理可知：

=尤3

既得

Uc

R2

图1・28电路图

•尺11

X|=—X,Xn+II

厶厶厶

•凡丄1

X2A,+—X.

厶-厶3

Xj=AS+CX、

Xi=——Xi+—XjCc-

y=Re

写成矢量矩阵形式为:

P-1

-<2

=

0

C

y=\9

L、

~c

■1•

石

兀2

+

0

卜3_

0

--

厶

0

14两输入“v“2,两输出）“儿的系统，其模拟结构图如图1・30所示，试求貝状态空间表达式和传递函数阵。

从2

图l・30双输入••双输出系统模拟结构图

齐

0

1

0

0

上2

一心一

■

6

0

-%

勺

丘3

1

0

0

1

?

4.

■0一

«5

-«4

-幻_

1_兀_

y=[1

0

10]

兀3

S

-1

0

0「

S+G0

a.

（si-A}=

■

0

1

O

-I

S

-I

0

«5

«4

«3

解：

系统的状态空间表达式如下所示:

+

0

久

0

0

0

0

0

6

W；.（$）=CCM-A）Tb=[1

S

-1

0

0"

-1

"0

o'

Ch

■

$+«,

0

«6

0

-1

0

S

-1

0

0

_0

«5

«4

«3_

0

by

01

0

S

-I

0

0"

-1

"0

0"

（h

$+«1

0

«6

肉

0

-[

0

5

-1

0

0

_0

«5

«4

5.

_0

/?

2_

AS

X3

兀2=y'

U

0

-7

U

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

（2）y+5y+7y+3y=//+3«+2u

列写英相应的状态空间表达式，并画出根应的模拟结构图。

解.令X]=y,

0

0

一3

相应的模拟结构图如下:

16⑵已知系统传递函数敗»詁諾铲试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图

解:

_10

……-4"V3

W（s}=—'r_=_+_^+_L_

5（s+2）（s+3）-（5+3）-s+3s+2

6（5+1）

+3

5

-<1

上2

九

一3

1

0

0"

0"

0

-3

0

0

I

+

0

0

-2

0

兀3

1

0

0

0

0_

如

1

n

AS

兀3

35

-4

10

T

If

01

-2-3

（1）

（2）

解：

画出其模拟结构图求系统的传递函数

（2）

W（s）=（sl-A）=

s-1

2s+3

1-7给定下列状态空间表达式

上2

>3.

si一=s{s+3）2+2（5+3）=（5+3）（$+2）（$+1）

-（5+3）（5+2）（5+!

）

（$+3『

-2（5+3）

—S—5

S+3

$（$+3）

0

0

（5+1）（5+2）

飞+3）2

5+3

0-

"o'

—2（5+3）

5（5+3）

0

1

-5-5

5-1

（5+1）（5+2）

_2_

s—

G+3）

（s+3）（5+2）（5+1）

5（S+3）（2s+1）（5+3）

（5+3）

s（$+3）

（2s+1）（5+3）

（5+3）（5+2）（5+I）

_（2s+1）

~（s+2）（s+l）

1-8求下列矩阵的特征矢量

01

（3）A=

30

0

2

-6

解：

A的特征方程

\A1-A\=

A

-3

12

-10

2-2

7Z+6

=才+6A"+11/+6=0

-12-7

解得：

g=P3\=一皿

令Pu=I

（或令Ph=T•得片

解之得：

人=一14=—24=—3

■0

I0■

Pn

Pn

当人=一1时，

3

02

Ph

=—

Pll

-12

-7-6.

•P儿

卫3\・

"0

10"

九•

当人=一2时，

3

02

P22

=-2

P22

-12

-1一6

九・

解得：

“22=-2卩12丿32=卫丿12

门2

I

（或令卩12=1，得4=

P22

=

-2

1

_Pil_

1

_2_

010

P13

Pl3

当人=-3时，

302

"23

=-3

P23

-12-7-6.

如

如

解得：

P23=-3"m"33=3加令“13=1

1・9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解〉

2

0

U

0

几一4

解：

A的特征方程

\AI-A\=

-2=（/1一1）（几一3）2=0

几一3

当人=3时,

0

令门1=1

P\

当人=3时,

4

解之得Pi2=P22+hP22=P32

41

-2"

九•

当/i3=l时，

10

2

P23

=

P23

I-1

3

033

"33

Pl3

0"

解之得门3=O，P23=2/733令“33=1

得

=

2

如

丄

"1

10"

0-1

2・

T=

I

0

2

厂]=

11

-2

1

0

1

01

-1

0-1

2"

"3

\

"8

-「

7'-'B=

11

-2

2

7

=

-5

2

01

-1

5

3

-3

4

）1

0"

■]20"

10

2

「3

14

011

2

03

10

1

—

—

CT=

约旦标准型

8

-5

一3

（s+1）（5+3）

（5+2）（5+3）（5+4）

（$+1）2

（5+1）（5+2）

1-10已知两系统的传递函数分别为WKS）和W2（s）

•1

1・

•1

1・

W©）=

5+1

0

S+2s+\

s+2.

WAs）=

$+31

_s+l

5+4

0

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，井讨论所得结果解：

（1）串联联结

1

1

1

1"

5+3I

s+4

0

5+1

0

f+2

5+1

-5+1

5*+2.

VV（S）=VV；（5）VV,（5）=

5"+55+7

（2）并联联结

I

1・

•1

I・

S+1

5+2

+

$+3

$+4

0

$+1

1

0

5+2_

■$+1

WG）=wi（$）±W|（$）=

Ml（第3版教材）已知如图1・22所示的系统，其中子系统1.2的传递函数阵分别为

$丿=

W,（s）=

-$+2.

求系统的闭环传递函数解：

•1

1・

I

I・

5+1

5

1

0

5+1

S

0

1

0

1

0

1

$+2・

5+2_

Wj（5）^21（S）=

/+w^G）w（5）=/+

-$+31■

5+1S+1

S+2S

5+25（S+3）

0$+2

0s+2

_5+1_

_5+3_

5+2

敗沪［/+怙叫吋WG=+3

5+3

1・

1

1"

s+2

s

S+1

s

0

s+2

s

I

5+1_

s+2.

5+1

$+3

1・

•1

5+1

（s+2）（5+1）

s

5+2

s（s+3）

0

1

s+L

0

1

5+3_

_$+1

S+3

Ml（第2版教材）已知如图1・22所示的系统,

其中子系统1.

2的传递函数阵分别为

W心丿=

5+2_

求系统的闭环传递函数解：

W/ss

0

I

5+1

I"

s

"1

o'

'5+2

1・

s

$+1

2

I

0

1

2

5+3

5+2_

s+2_

0

l+W,（s）W,（s）=

$+3

5（S+1）

s~+5$+2

'5+31'

11"

5（5+l）

s+2s

5+25

s~+5s+2

2$+2

1

S

5+1

5+2

-2

5+l_

W（s）=[/+G）W|（5）fW]（5）=

5+32

（$+2）25

2I2（$+2）

5+3I

+

5（5+2）5（5+2）

2I

H

S5+1

（5+1）-（35+8）

5+1

（5+2）（$+5s+2）

s'+65"+6$

s+5$+2

5+2

（5+2）（5-+55+2）

s~+5s+2

M2已知差分方程为

y{k+2）+3y伙+l）+2y伙）=2“伙+1）+3«伙）

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数U的系数b（即控制列阵）为

（1）h=

解法1：

2Z+3

X伙+1）=

-10

0-2

x（k）+]"伙）

Xi（k+l）=X2（k）

*2伙+1）=-2册伙）-3兀伙）+"

y（k）=3Xi伙）+2七伙）

x（£+l）=

"（約

01

-2-3y伙）=[32]x（k）

所以

1f

'01]「1-1]

-4o'

_01_

-2_3丄01_

-5-1

宀r=

-i]

g2。

I=[3

所以，状态空间表达式为

z（k+i}=

-40I

z（k）+tf{k）

—5—11

）'（£）=[3-1]祕）

第二章习题答案

2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数

（2）A=

U1

解：

第一种方法:

2/-A=0

A-1-1

-4A-\

=0,即（几一1）・一4=0。

求解得到人=3,入=一1

当人=3时，待征矢量门=

/A1

•"儿

'1\

All

3/A1

_41_

•P儿

现|・

由得

即巾+旳=切，可令门=

Pl2

当/U=-l时，特征矢量必=

14心+"2产3”2,

则厂=

-2

-2

4J

0

_2

13/1

一e刃+—6-

22

疋+Q

由Ap=入/人，得

1I

门2

=

一Pl2

_41

.屜一

.~^22_

屜+如=-円

",可令几=

"1・

14加+"22=-卩22

_-2_

L甩」

第二种方法，即拉氏反变换法:

sJ-A=

s-\

-45-1

5-1

（5-3）（5+I）L4

$-1

5-1

4

4\$—3S+1丿

4

2\5*—3S+1

=r"（sZ-A）"*

13/1

-e+—e

22

第三种方法，即凯莱一哈密顿;1^理

由第一种方法可知人=3,易=一1

"13■

-1

G・

I-1

e~'

（1Q\

13i,-r

"1

O'

+

（13,

亠3/

'1f

—e+—e

—e

+—e

U4）

_0

I_

4）

_41

13/I-e+—e

22

2-5

13/I-e+-e

22

下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

⑶①（r）=

O-I-2rZe—e

-r-2re—e

（4）4>（r）=

解：

（3）因为4>（0）=

=1.所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

•-2严+2^4

-4^4+2严・

"0

-2

—）

_-k+2e~-'

-4严+k_

_1

-3_

0

0

（4）因为e（o）=

所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

r1-r3引

1-r

33；1

—ed—e

—e

+—e

"1f

22

4

4

k"+3疋

41

■

2

2」

r-u

0

2-6求下列状态空间表达式的解:

"of

"o'

x=

x+

00

I

y=（l,O）x

初始状态x（0）=[

输入《（f）时单位阶跃函数。

解:

sI-A=

-1

5"

①（f）=R

因为B=x（/）=^（z）x（O）+£（z-r）Bz/（r）Jr

1z

1

1

t-r

0

+

01

1

Jo

0

1

1

dr

t+\

-r

dr

+

-r+Z+1

y=[l

0x=-r+t+\

2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。

设采样周期分别为T=O・ls和Is,而你和“2为分段常数。

+

图22系统结构图

解：

将此图化成模拟结构图

>]

列出状态方程

•-1o'

0"

Hj

x=

_IO_

x+

_O

_L

$=兀+2比

y=[2

则离散时间状态空间表达式为

x（k+l）=G（T）x（R）+H（7>（k）y[k）=ex（k）+Du（k）

由G（7'）=严和H（r）=£5b得:

0

-1

-10

10

{si-A）

-I

-1

H=re^'dt=

Jo

J:

■f-*o'

eft

'k0「

■1-戶0「

'k0「

•£（12）0'

」-尸1

0-1_

了-1+尸T

0-1

左（7'-1+戶）-T

0

当T=1时

x（k+l）=

"『o'

心）+

i—e1

y（R+l）=[2\]x{k）

从1-『）

k（r'

-I

当T=0」时

x（k+l）=

严'0

1-宀1

4一严）

R（严-0.9）

-0.1

第三章习题

3J判断下列系统的状态能控性和能观测性。

系统中久bed的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取

值条件如何?

（1）系统如图3」6所示:

图3・16系统模拟结构图

X,=+U

・兀2=一如

Xj=-CVj+无+JV,=Xy+Xy-CXy

状态空间表达式为:

•

•

•

•

>'=[0

0

0

0■

"f

0

—b

0

0

0

■

+

1

1

-C

0

巧

0

0

0

1

-d_

?

4_

0

U

1ok

0

山于£、屯、尤4与"无关，因而状态不能完全能控,

为不能控系统。

山于y只与心有关，因而系统为不完全

能观的，为不能观系统。

（3）系统如下式:

解：

如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。

要使系统能控9控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行

•

•

'-110■

~2r

£

=

0-10

兀2

+

a0

•

兀3

00-2_

h0

U

元素不能为0,故有《工0/工0。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有chOMhO。

3-2时不变系统

一31

1-3

试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：

方法一:

-31

1-3

m=[bab]=J

•2-2

・2-2

raitkM=1<2■系统不能控。

C

CA

-2

-4

-1

-2

4

rankN=2.系统能观。

方法二：

将系统化为约旦标准形。

zI-A=

2+3

-1

-1

/1+3

=（A+3）"—I=0

人=-2,A=-4

则状态矢量：

A|R=入片nR=]

"1

2

1

2

~-3

1"

"1r

■-2

o'

I

_2

1

~2_

1

-3_

1-1

0

-4

T」AT=

2_

J

1

1'

2

2

「1f

"1f

1

1

11

00

2

"2_

r'B=

■''p「

"20"

J-ill-1_

_02

CT=

T」B中有全为零的行，系统不可控。

CT中没有全为0的列，系统可观。

3・3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数务和Q

b=

（1）A=

解：

构造能控阵:

M=\hAlj\=J

要使系统完全能控，则5+心《2，即e-a^+lHO

构造能观阵:

"C■

"1

-1"

CA

Pl

1-G

■

N=

要使系统完全能观，贝IJ1-即仪|一6+1工°3・4设系统的传递函数是

“（$）?

+105-+27s+18

（I）

当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？

（2）

当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

解：

⑴方法「叫）H）（山）加心6）系统能控且能观的条件为W（s）没有零极点对消。

因此当a=l■或23或26时，系统为不能控或不能观。

方法2：

a-1（1-3a-6

y（s）s+aIo".百

u{s）{s+1）（$+3Xs+6）s+1s+3s+6

兄2=—3,^3=—6

X

0

0

«-1

系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。

因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当213=3或a=6时，系统可化为能控标准I型

■0

1

0・

"o'

x=

0

0

1

x+

0