人教版高中数学选修三63二项式定理精讲详细解析版.docx
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人教版高中数学选修三63二项式定理精讲详细解析版
6.3二项式定理（精讲）
思想导图
常有考法
考法一二项式定理睁开式
【例1】
（1）
求（3
x
1
）4的睁开式为
．
x
（2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）
已知Cn0
4Cn1
42Cn2
43Cn3
（
1）n4nCnn
729,则n的
值为
1
12
＋81
2
【答案】
（1）
2＋
＋54＋108
x
x
x
x
1
4
4
1
3
1
2
2
1
2
3
1
3
4
1
【详尽分析】
（1）方法一
3x＋
＝（3
4
x）·
4
x）
4
x）
4
x
x）＋C（3
＋C（3
x
＋C（3
x
＋C
x
x
4
＝81
x
2
12
1
＋108＋54＋
＋
2.
x
x
x
3
x＋
143x＋141
4
1
1
2
2
3
3
4
4
1
方法二
x
＝
x
4
4
4
4
＝x2（1＋12x＋
＝x2（1＋3x）＝x2·[1＋C
·
3x＋C（3x）＋C（3x）＋C（3x）]
54
x
2
3
x
4
1
12
x
2
＋
108＋81
）＝
2＋
＋54＋108＋81
.
x
x
x
x
（2）由Cn0
4Cn1
42Cn2
43Cn3
（1）n4nCnn
729
得
Cn01n
0
Cn11n
4
1
1n2
2
Cn3
1n
4
3
Cnn
10
4
n
4
1
Cn2
4
3
729则
n
729
即
3
n
729
3
6
14
解得n6.
【一隅三反】
1．（2021·全国课时练习）化简多项式
（2x+1）5-5（2x+1）4+10（2x+1）
3-10（2x+1）
2+5（2x+1）-1
的结果是（）
A．（2x+2）5
B．2x5
C．（2x-1）
5
D．32x5
【答案】D
多项式的每一项都可看作
C5r
2x
5
r
1
r
2x
11
5
【详尽分析】依题意可知
1
故为
的睁开式,化简
2x1
5
5
32x5.应选D.
1
2x
2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简:
32n
Cn0
Cn132n
2
Cn2
32n
4
...
Cnn1
32
_________.
【答案】10n
1
【详尽分析】（32
1）n
Cn0
32
n
0
10
Cn1
32
n
1
11
...
Cnn1
32
1
1n1
Cnn
320
1n
则32nCn0
Cn132n2
Cn232n4
Cnn1321（32
1）n
10n
因此32nCn0
Cn1
32n
2
Cn2
32n
4
...
Cnn132
10n
1故答案为:
10n
1
.
考法二二项式指定项的系数与二项式系数
【例2】
（1）（2020·全国高二单元测试）在（x-3）10的睁开式中,x6的系数是
（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式x
1
x
8
的睁开式中常数项是______（用数字作答）
30
（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）
3
x
1
的有理项共有
项
x
【答案】
（1）9C104
（2）70（3）6
【详尽分析】
（1）由Tk+1=Ckx10-k（-
3
）k
令10-k=6,解得k=4,∴系数为（-
3
）
4C4
=9
C
4
10
10
10
1
8
r
8r1
r8
2r
（2）二项式
的睁开式的通项公式
Tr1
8
2r
0
得
r
4
则常数项为
x
x
C8x
xr
C8x
令
T5C84=8
7
6
5=70,故答案为:
70
4
3
2
1
（3）3x1
x
30
30r
r
5r
的通项公式为:
T
Cr3
1
Cr
x
10
x
6,
r1
30
30
x
0
C
6
r
0,T1
C30x10,r
6,T7
30x5,
12
0
18
5
r
12,T13
C30x
r
18,T19
C30x
r
24,T25
C3024x10,r
30,T31
C3030x15,
因此有理项共有6项,应选:
C
【一隅三反】
1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式（2x21）6的睁开式中的常数项是_______.（用数字作答）
x
【答案】60
6r
【详尽分析】有题意可得,二项式睁开式的通项为:
Tr1C6r2x2
令123r0可得r4,此时T5
22C64
60.
1
6
2.（2021·上海青浦区）在2x2
二项睁开式中,常数项是_______.
x
1
r
（1）r26rC6rx123r
x
【答案】60
2x26
r
1
r
【详尽分析】睁开式的通项公式是
Tr
1
C6r
26r
C6r
x123r,
当12
3r
0时,r4
x
T41
22C64
60.故答案为60
a
8
3.．（2020·青海西宁市）若
x
的睁开式中x4的系数为7,则实数a=______.
3x
【答案】1
2
r
8
r
4r
:
Tr1
C8
rx8
ra
C8
r
rar
8
【详尽分析】依据二项睁开式的通项公式可得
rarx
3=C8
x3,
3x
令8
4r
rr
3
3
1
故答案为:
1
4,可得r3,C8
a
=C8
a=7,解得:
a
2
2
3
1
4．（2020·梁河县）已知（2x3
）n的睁开式的常数项是第
7项,则n
________.
x
【答案】8
3n61
6
【详尽分析】依据题意
6
6
2
n6
x
3n
24
而常数项是第
7项,则
可知第7项为Cn
2x
Cn
x
3n240,故n
8.故答案为:
8.
考法三多项式系数或二项式系数
1
5
【例3】
（1）（2020·福建三明市·高二期末）
x2
2的睁开式中常数项是（
）
x2
A．-252
B．-220
C．220
D．252
5
（2）．（2021·四川成都市）若
（x
a
的睁开式中常数项为
80,则a
（
）
2）
x
x
A．2
B．1
C．2
D．1
【答案】
（1）A
（2）C
【详尽分析】
（1）由（x2
1
2）5
（x
1）10
x2
x
可得二项式（x
1）10
的睁开式通项为Tr1
C10r
x10
r（
1
）r
（
1）rC10r
x102r
x
x
令102r
0
解得r=5
因此睁开式的常数项为
（
1）5C105
252.应选:
A.
a
5
C5r
1）r
a5
rx2r5
（2）
x
的睁开式的通项公式为
:
Tr1
（
明显,2r-5为奇数,
x
a
5
若求（x
2）
x睁开式的常数项,
2r
5
1
解得r
2
x
a
5
故（x2）
x
的睁开式的常数项等于
:
C52
a3
80
a
2应选:
C.
x
【一隅三反】
4
1．（2020·全国高三专题练习）
x
1
1
睁开式中常数项为（
）.
x2
A．11
B．11
C．8
D．7
【答案】B
【详尽分析】将x
1
r
1
4r
（
r
2当作一个整体,
睁开获得:
Tr1C4（x
2）
1）
x
x
（x
12）4r的睁开式为:
Tm1
C4mrx4
rmx2m
C4mrx4
r3m取
4
r
3m0
x
当m0时,r
4系数为:
C44
C00
（1）4
1当m
1时,r
1系数为:
C41C31
（1）1
12
常数项为112
11故答案选
B
2．（2020·全国高三专题练习）x2
3x
4
1
1
x
x
5
的睁开式中常数项为（）
A．30B．30C．25D．25
【答案】C
5
r
5
5
【详尽分析】
1
1
的通项为Tr1
C5r（
1）r
1
x2
3x
4
1
1
x21
1
x
x
x
x
x
1
5
4
5
1
依据式子可知当
r
4
或r
2
时有常数项,令r4
3x1
1
x
x
x
4
2
T5C51（
1）4
1
;令r
2T3
C53
（1）2
1
;故所求常数项为C51
3
C53
x
x
53025,应选C.
1
6
3．（2020·河南商丘市）
1
x4
1
的睁开式的常数项为（
）
x
A．6
B．10
C．15
D．16
【答案】D
1
6
C6r
xrr
【详尽分析】由题意得
1
的睁开式的通项为
Tr1
0,1,2,
6,
x
4,则C64
1
6
令r
15,因此
1
x4
1
的睁开式的常数项为
1
15
16.应选:
D.
x
4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在
（1
x
x
20201
）10的睁开式中,x2项的系数为（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
【答案】B
1
10
r
1
r
【详尽分析】在
（1
x
r+1
x
.
2020）
的睁开式中,通项公式为T
C10?
x2020
x
1
r
k
关于
x
通项公式为
k+1
r﹣2021k,
k
≤
r
、
k
∈,
≤10.
2020
T
Cr?
x
r
Nr
x
令r﹣2021k＝2,可得r＝2+2021k,故k＝0,r＝2,故x2项的系数为C2
C20
45,应选:
B.
10?
5．（2020·全国高二专题练习）若
x2
ax1
10
的睁开式中x6的系数为30,则a等于（
）
x
A．1
B．1
C．1
D．2
3
2
【答案】D
【详尽分析】将题中所给式子可化为
x2
1
10
x2
1
10
1
10
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