中考数学 三轮专题冲刺与圆有关的位置关系含答案.docx

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中考数学三轮专题冲刺与圆有关的位置关系含答案

2021中考数学三轮专题冲刺：

与圆有关的位置关系

一、选择题

1.平面内，☉O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作☉O的切线条数为（　　）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

2.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为（　　）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是（　　）

A．1B．2C．3D．4

4.已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相交B．相切

C．相离D．无法确定

5.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长为（　　）

A．2B.

C.

D.

6.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（　　）

A．DE＝DOB．AB＝AC

C．CD＝DBD．AC∥OD

7.如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．54°B．36°C．32°D．27°

8.在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（　　）

A．E，F，GB．F，G，H

C．G，H，ED．H，E，F

二、填空题

9.如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE=　　　　. 

10.如图1，已知△ABC的外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD与ACE，连接BE，CD交于点P，则OP长的最小值是________．

11.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d的取值范围是________．

12.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．

13.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．

14.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．

15.如图，半圆的圆心O与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是________．

16.如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA＝4.若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（　　）

A．3次B．4次C．5次D．6次

三、解答题

17.如图，△ABC内接于☉O，∠B=60°，CD是☉O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.

（1）求证:

PA是☉O的切线;

（2）若PD=

，求☉O的直径.

18.已知AB是☉O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°.

（1）如图①，若D为

的中点，求∠ABC和∠ABD的大小;

（2）如图②，过点D作☉O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小.

19.如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．

（1）当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？

（离发射塔越近，信号越强）

（2）班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．

图

20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5.

（1）以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________；

（2）以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，求⊙B的半径r的取值范围；

（3）以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，求R的值．

21.定义：

只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．

（1）如图2，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段________．

（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以点O为圆心的同一个圆上？

如果有，请指出点O的具体位置；

②如图2，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不再添加任何线段或点）．

2021中考数学三轮专题冲刺：

与圆有关的位置关系-答案

一、选择题

1.【答案】C　[解析]∵☉O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d>r，∴点P与☉O的位置关系是:

P在☉O外.

∵过圆外一点作圆的切线有2条，故选C.

2.【答案】B　【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠A＝90°－∠AOB＝90°－60°＝30°.

3.【答案】D

4.【答案】C　[解析]由题意可知，圆的半径为3cm.∵圆心到直线l的距离为πcm＞圆的半径3cm，∴直线l与⊙O相离．故选C.

5.【答案】B　[解析]连接OA.因为∠ABC＝30°，所以∠AOC＝60°.因为PA为⊙O的切线，所以∠OAP＝90°，所以∠P＝90°－∠AOC＝30°.因为OA＝OC＝1，所以OP＝2OA＝1，

所以PA＝

.

6.【答案】A

7.【答案】D　[解析]∵AB为⊙O的切线，

∴∠OAB＝90°.

∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°－∠ABO＝54°.

∴∠ADC＝

∠AOB＝27°.故选D.

8.【答案】A　[解析]设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA＝

＝

.

因为OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内；

OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内；

OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内；

OH＝

＝2

＞OA，

所以点H在⊙O外．

故选A.

二、填空题

9.【答案】60°　[解析]

连接OA，

∵四边形ABOC是菱形，

∴BA=BO，

∵AB与☉O相切于点D，

∴OD⊥AB.

∵D是AB的中点，

∴OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOD=

∠AOB=30°，

同理∠AOE=30°，

∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，

故答案为60°.

1

10.【答案】5－

　[解析]∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠DAC＝∠BAE.

在△DAC和△BAE中，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴∠ADC＝∠ABE，

从而∠PDB＋∠PBD＝90°，

即∠DPB＝90°，从而∠BPC＝90°，

∴点P在以BC为直径的圆上．

如图，过点O作OH⊥BC于点H，连接OB，OC.

∵△ABC的外心为O，∠BAC＝60°，

∴∠BOC＝120°.又∵BC＝10，

∴OH＝

，∴OP长的最小值是5－

.

11.【答案】0≤d≤3　

12.【答案】4　[解析]∵R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，且直线l与⊙O相切，

∴d＝R，

∴方程有两个相等的实数根，

即Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.

13.【答案】70°　[解析]由切线长定理可知∠OBD＝

∠ABC＝20°.∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.

14.【答案】

　【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，则OD＝OA.∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝

AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，即62＋（8－r）2＝r2，解得r＝

.∴⊙O的半径为

.

解图

15.【答案】t＝

或－1≤t＜1　[解析]若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：

直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．

直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.

当点O到直线l的距离OC＝1时，直线l与半圆O相切，设直线l与y轴交于点D，则OD＝

，即t＝

.

当直线过点A时，把A（－1，0）代入直线l的解析式，得t＝y－x＝1.

当直线过点B时，把B（1，0）代入直线l的解析式，得t＝y－x＝－1.

即当t＝

或－1≤t＜1时，直线和半圆只有一个公共点．

故答案为t＝

或－1≤t＜1.

16.【答案】B　[解析]∵正方形ABCD的对角线长为6，∴它的边长为3

.

如图，⊙O与正方形ABCD的边AB，AD只有一个公共点的情况各有1次，与边BC，CD只有一个公共点的情况各有1次，

∴在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现4次．

三、解答题

17.【答案】

解:

（1）证明:

连接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是☉O的切线.

（2）在Rt△OAP中，

∵∠P=30°，

∴PO=OD+PD=2OA，

又∵OA=OD，

∴PD=OA，

∵PD=

，

∴CD=2OA=2PD=2

.

∴☉O的直径为2

.

18.【答案】

解:

（1）∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°.

又∵∠BAC=38°，

∴∠ABC=90°-38°=52°.

由D为

的中点，得

=

.

∴∠ACD=∠BCD=

∠ACB=45°.

∴∠ABD=∠ACD=45°.

（2）如图，连接OD.

∵DP切☉O于点D，

∴OD⊥DP，即∠ODP=90°.

∵DP∥AC，∠BAC=38°，

∠AOD是△ODP的外角，

∴∠AOD=∠ODP+∠P=∠ODP+∠CAB=128°.

∴∠ACD=

∠AOD=64°.

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A=38°.

∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.

19.【答案】

解：

（1）如图，过点B作BM⊥AC于点M，

则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.

∵AM＝60×0.5＝30（千米），AB＝50千米，

∴BM＝40千米．

答：

此时，班车到发射塔的距离是40千米．

（2）能．理由如下：

如图，连接BC.

∵AC＝60×2＝120（千米），AM＝30千米，

∴CM＝AC－AM＝120－30＝90（千米），

∴BC＝

＝

＝10

（千米）＜100千米，

∴到C城后还能接收到信号．

20.【答案】

解：

（1）∵AC⊥BC，而AC＞4，∴以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC相离．

故答案为相离．

（2）BC＝

＝12.

∵BC⊥AC，

∴当⊙B的半径大于BC的长时，以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，即r＞12.

（3）如图，过点C作CD⊥AB于点D.

∵

CD·AB＝

AC·BC，

∴CD＝

＝

.

即当R＝

时，以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切．

21.【答案】

解：

（1）AC

（2）①在损矩形ABCD内存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以点O为圆心的同一个圆上，O是线段AC的中点．

②答案不唯一，如损矩形ABCD是圆内接四边形，∠ADB＝∠ACB等．