与圆有关的位置关系专题讲解及同步训练Word文档格式.docx
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从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；
有一个公共点则相切；
有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?
可能不可能有三个公共点?
结论：
在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．
3、分析、研究
1、相切两圆的性质．
让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．
这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明
2、两圆位置关系的数量特征．
设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，则两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．
两圆外切d＝R+r；
两圆内切d＝R-r（R＞r）;
两圆外离d＞R+r；
两圆内含d＜R-r（R＞r）;
两圆相交R-r＜d＜R+r．
说明：
注重“数形结合”的思想．
（一）
图形的对称美
相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?
（二）观察、猜想、证明
1、观察：
同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．
2、猜想：
“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．
3、证明：
已知：
⊙O1和⊙O2相交于A，B．
求证：
Q1O2是AB的垂直平分线．
分析：
要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．
证明：
连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1点在AB的垂直平分线上．
又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．
因此O1O2是AB的垂直平分线．
也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：
∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．
∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．
∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，
∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．
定理：
相交两圆的连心线垂直平分公共弦．
注意：
相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．
【例题选讲】
例1、
已知：
⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、5，且两两相切，
求AB、BC、CA的长
解：
分类讨论：
（1）当⊙A与⊙B外切时，分4种情况：
①如图1，AB=5，BC=8，CA=7；
②如图2，AB=5，BC=2，CA=3；
③如图3，AB=5，BC=8，CA=3；
④如图4，AB=5，BC=2，CA=7；
（2）当⊙A与⊙B内切时，分2种情况：
①如图5，AB=1，BC=2，CA=3；
②如图6，AB=1，BC=8，CA=7．
说明：
此题需要两次分类，但关键是以什么为标准进行分类，才能不重不漏．
例2、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。
求∠OlAB的度数．
由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由∠OlAO2＝60°
，推得∠OlAB＝30°
．
⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1AO2=60°
，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB=30°
例3、已知R1、R2为两圆半径，圆心距d＝5，且R1，R2，R1－R2是方程x3－6x2＋11x－6＝0的三个根，试判断以R1，R2为半径的两圆的位置关系。
分析：
通过解方程，把R1，R2，R1－R2都求出来以后，根据两圆位置关系的判定方法，即可作出结论。
解：
将方程x3－6x2＋11x－6＝0变形得：
（x－1）（x－2）（x－3）＝0
解得：
x1＝1，x2＝2，x3＝3
∵R1，R2，R1－R2是方程的根
∴
（1）当R1＝3，R2＝2，R1－R2＝1时，两圆外切。
（2）当R1＝3，R2＝1，R1－R2＝2时，两圆外离。
故由
（1）
（2）可得：
两圆的位置关系是外切或外离。
例4、已知：
如图，⊙O1和⊙O2外切于P，直线APC交⊙O1于点A，交⊙O2于C，AB切⊙O2于B，设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2。
求证：
分析：
因为AB为⊙O2的切线，故AB2＝AP·
AC，欲证，只须证，连结O1O2，可知点P在O1O2上，通过△O1AP∽△O2CP即可获证。
证明：
连结AO1，O2C，O1O2
∵⊙O1与⊙O2外切于点P，∴P点在连心线O1O2上。
∵O1A＝O1P，O2C＝O2P
∴∠O1AP＝∠O1PA，∠O2CP＝∠O2PC
又∠O1PA＝∠O2PC
∴∠O1AP＝∠O2CP
∴△O1AP∽△O2CP
∴＝＝
∵AB切⊙O2于B点，∴AB2＝AP·
AC
∴＝＝＝1＋＝1＋
∴
例5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PT切⊙O1于A，交⊙O1于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E是⊙O1上一点，且AE＝AC，EB的延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、FD。
（1）△PAD为等腰三角形；
（2）DF∥PA；
（3）AF2＝PB·
EF
（1）要证△PAD为等腰三角形，可连结AB，利用公共弦将两圆中的角有机地联系起来，不难得到∠DAP＝∠TAC＝∠ABC＝∠PDA
（2）要证DF∥PA，可设法证明∠FDP＝∠DPA，易知∠EDP＝∠EBP＝∠EBC＝∠EAC，连结EC，证明△ADP∽△EAC即可。
（3）由切割线定理可得PA2＝PB·
PC，可设法证明AF＝AP，EF＝PC，即可获证。
连结AB、EC
（1）∵AT切⊙O1于A，
∴∠TAC＝∠ABC（弦切角定理）
又∠ABC＝∠PDA（圆内接四边形的性质定理）
∴∠TAC＝∠PDA
∵∠TAC＝∠PAD（对顶角）
∴∠PDA＝∠PAD
∴PD＝PA
∴△PDA为等腰三角形。
（2）∵AE＝AC
∴△AEC为等腰三角形
又△PDA为等腰三角形，且∠AEC＝∠ABC，∠ABC＝∠PDA
∴∠AEC＝∠PDA
∴△AEC∽△PDA（相似三角形判定定理1）
∴∠EAC＝∠DPA
又∠EAC＝∠EBC＝∠FBP＝∠FDP∠EFP＝∠DPADF∥PA
（3）∵AE＝AC∠AEF＝∠ACP∠APC＝∠AFE
∴△APC∽△AFE
∴AF＝AP，EF＝PC又PA2＝PB·
PC（切割线定理）
∴AF2＝PB·
例6、如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，过A作直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，M是CD中点，直线BM交⊙O1于E，交⊙O2于F。
ME＝MF。
要证ME＝MF，结合已知MC＝MD，若连结CE、DF，只需证△CME∽△DMF，连结公共弦AB，以两圆的公共圆周角∠ABE为“桥梁”，可证得∠C＝∠D。
证法一：
连结CE、DF、AB，
∵∠C＝∠ABE，∠D＝∠ABE，
∴∠C＝∠D
又∵CM＝DM，∠CMF＝∠DMF
∴△CME∽△DMF
∴ME＝MF
分析二：
考虑到ME是⊙O1中相交两弦CA、EB被交点分成的一段，MF是M向⊙O2所引割线，因此可用圆幂定理来证明。
证法二：
在⊙O1中，
∵弦CA、EB相交于点M
∴EM·
MB＝CM·
MA
在⊙O2中，∵MAD、MFB是⊙O2的两割线
∴MF·
MB＝MA·
MD
∵MC＝MD
∴ME·
MB＝MF·
MB
例7、已知两圆半径之比是5:
3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?
解：
设大圆半径R=5x
∵两圆半径之比为5:
3，∴小圆半径r=3x，
∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3，
∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，
当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，∴此时两圆外切；
当两圆圆心距d2=5时，有d2<
R-r,∴此时两圆内含；
当两圆圆心距d3=20时,有R-r<
d3<
R+r,∴此时两圆相交；
当两圆圆心距d4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆．
注重两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力和数形结合能力．
例8、（武汉市，2002）已知：
如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足为E．求证：
（1）CD＝DE；
（2）若将两圆内切改为外切，其他条件不变，
（1）中的结论是否成立?
请证明你的结论．
（1）连结DF、AD，
∵AF为⊙O1的直径，∴FD⊥AD，又DE⊥AB，
∴∠DFE=∠EDA，
∵BC为⊙O1的切线，∴∠CDA=∠DFE，
∴∠CDA=∠EDA，
连结AC，∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，又AD公共，
∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
∴CD＝DE．
（2）当两圆外切时，其他条件不变，
（1）中的结论仍成立．证法同
（1）．
①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；
②第
（2）问是开放性问题．
例9、已知两相交圆的半径分别为8cm和5cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距．
分两种情况：
（1）如图1，设⊙O1的半径为r1=8cm，⊙O2的半径为r2=5cm．
圆心Ol，02在公共弦的异侧．
∵O1O2垂直平分AB，∴AD=AB=3cm．
连O1A、O2A，则,
．
（cm）．
（2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求
02D=4cm，01D=（cm）．（cm）．
本题要求我们自己作图计算，究竟两圆的圆心在公共弦的同侧，还是异例题设中没有交待，需要我们自己去研究．因此，凡做到没有图形的几何题时，要特别当心，有可能有几种位置形状的图形．
【巩固练习】
（一）填空
1．已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，连结O1O2交⊙O1于C．若∠ACB=120°
，AC=6cm，则AB的长是________．
2．已知⊙O1与⊙O2交于A，B两点，若⊙O1的半径为5，AB=6，O1O2=7，则∠BO2A=______度．
3．若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个圆的半径分别是______．
4．设⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，则∠AO1B=______度．
5．已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是________cm．
6．如果两个圆的一个公共点关于连心线有对称点（对称点不是公共点本身），那么这两圆的位置关系是______．
7．如果两个圆有一个公共点在连心线上，则这两个圆的位置关系是______．
8．已知⊙O1与⊙O2是等圆，相交于A，B两点．若∠AO1B=60°
，O1A=1cm，则O1O2的长是______．
9．若两个圆有且只有一个公共点，则这个公共点一定在______直线上．
10．已知两圆相交于A、B两点，连心线交AB于E，若AE=cm，则AB=______cm．
11．相切两圆的______，经过切点．
12．相交两圆的连心线______两圆的公共弦．
（二）计算
13．已知⊙M与⊙N相切时，NM＝12cm，如果⊙N的半径为5cm，求⊙M的半径．
wan
14．已知：
如图，⊙O与⊙O；
交于A，B两点，⊙O的弦AC切⊙O1于A，过C作直线顺次交两圆于M，N，D．若AD=6cm，DN=3cm，AM=AN，求CN的长．
15．已知：
如图，⊙O与⊙A交于B，C两点，A在⊙O上，AD是⊙O直径，AD交BC于M，AE是⊙O的弦，AE交BC于N．若AM=4cm，AN=6cm，AE=24cm，求⊙O的半径．
16．已知：
如图，⊙O与⊙O1内切于A，⊙O的弦AB交⊙O1于C，P是⊙O上一点．若∠AO1C=110°
，求∠P的度数．
17．已知：
如图，⊙O1与⊙O2交于A，B两点，AC是⊙O1的弦，CE切⊙O2于E，交⊙O1于D、若∠CAE=55°
，求∠DBE的度数．
18．已知：
如图，⊙O1与⊙O2外切于A，⊙O1的弦BC延长切⊙O2于D，延长BA交⊙O2于E．若∠ADE=60°
，∠E=55°
，求∠CAD的度数．
19．已知：
如图，⊙O与⊙O'
内切于A点，O在⊙O'
上，B是OA上一点，BD⊥OA交⊙O于D，交⊙O'
于C．若AC=5cm，求AD的长．
20．已知：
如图，⊙O1与⊙O2交于A，B两点，O1A切⊙O2于A．若O1A=2cm，⊙O2半径为1cm，求AB的长．
（三）解答题
21、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。
过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。
AM=AN．
22、已知：
如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．
23、（宁波市，2002）如图，⊙O’经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO’交⊙O于点Q、D，交⊙O’于点P，交EF于点C且EF=，sin∠P=．
（1）求证：
PE是⊙O的切线；
（2）求⊙O和⊙O’的半径的长；
（3）点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连结PA交于点B，3、连结BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y．求y关于x的函数关系式．
24、如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米
求：
（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?
（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?
25、已知：
如图，△ABC中，∠C＝90°
，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．
⊙O与⊙B相外切．
【探究活动】
问题1：
已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn．
（1）当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系；
（2）当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系；
（3）当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?
证明你的结论．
问题2：
有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？
【参考答案】
1．6cm2。
903。
2，4，6
4．120
5．96．相交
7．相切8。
cm9。
经过两圆圆心的
10．111．连心线12．垂直平分
13．7cm或17cm．
14．9cm．
提示：
∠D=∠MAC，∠AND=∠AMC，所以∠DAN=∠C，从而△DAN∽△DCA，由此得AD2=CD·
DN，从而求出CD=12．所以CN=CD－DN=12－3=9（cm）．
15．18cm．
由于△AMN∽△AED，所以AM·
AD=AN·
AE，从而求出，所以⊙O的半径为18（cm）
16．55°
连接OB，OA．由⊙O与⊙O1内切于A点，所以OA过点O1．因为OA=OB，O1C=O1A，所以∠ABO=∠BAO=∠ACO1，所以OB//O1C，由此得∠AOB=∠AO1C=110°
．所以∠P=55°
17．125°
连接AB，则∠BDE=∠CAB，∠BED=∠BAE，
18．65°
过A作公切线AF，与BD交于F，则∠CAD=∠CAF+∠FAD=∠B+∠E=∠EDG（∠BDE的邻补角）=65°
19．cm。
延长AO交⊙O于E，连接ED，OC。
先证明
AC2=AB·
AO．同理AD2=AB·
AE=AB·
2AO，所以AD2=2AC2．
又AC=5，所以AD=（cm）
20．cm。
连接O2A，O1O2，交AB于C，则AC=CB，
显然O1A⊥O2A，从而求出O1O2=。
又所以，因此就有AB=2AC=（cm）
21．证明：
过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，
则OlC∥PA∥O2D，
且AC=AM，AD=AN．
∵OlP=O2P，
∴AD=AM，∴AM=AN．
22、求证：
EC∥DF
连结AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF．
23、证明：
（1）连结OE，∵OP是⊙O’的直径，
∴∠OEP=90°
，∴PE是⊙O的切线．
（2）设⊙O、⊙O’的半径分别r、r’．
∵⊙O与⊙O’交于E、F，
∴EF⊥OO’，．
∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE．
∴sin∠OEC=sin∠OPE=，
∴sin∠OEC=，即，
，得r=4．
在Rt△POE中，sin∠OPE=，∴r’=8．
（3）按题意画图，连结OA，∵∠OEP=90°
，CE⊥OP，
∴PE2=PC·
PO．又∵PE是⊙O的切线，∴PE2=PB·
PA，∴PC·
PO=PB·
PA，
即，又∵∠CPO=∠APO，∴△CPB∽△APO，∴，
∴BC=60/PA．由相交弦定理得BC·
CG=EC·
CF，∴BC=15/CG，
∴PA=4CG，即y=4x（＜x＜5）．
24、解：
（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA
∴PA=3cm．
（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则PB=PO+OB
∴PB=13cm．
25、证明：
连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，
∴⊙O的半径，且O是AC的中点
∴，∵∠C=90°
且BC=8，
∴，
∵⊙O的半径，⊙B的半径，
∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．
【探究活动提示】
1、提示：
假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得
（1）Cl+C2=C；
（2）Cl+C2+C3=C；
（3）Cl十C2十…十Cn=C．
2、提示：
1、实验：
用硬币作初步实验；
结果硬币一共转了4转．
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