初二上期中数学清华附中平行班试题.docx

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初二上期中数学清华附中平行班试题

2018-2019学年北京市海淀区清华附中平行班八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．（2a2）3＝6a6B．2a2+4a2＝6a4

C．a3•a2＝a5D．（a+2b）2＝a2+4b2

3．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（　　）

A．点AB．点BC．点CD．点D

4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　）

A．14B．18C．20D．26

5．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）

A．12xy2＝3xy•4yB．（x+1）（x+2）＝x2﹣2x﹣3

C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）

6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm

7．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（　　）

A．3B．6C．9D．12

8．已知如图：

△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（　　）

A．2∠AB．90°﹣2∠AC．90°﹣∠AD．

二.填空题侮题3分共24分

9．计算（﹣3a2b）3的结果是　　．

10．在边长为1的正方形网格中，如图所示，△ABC中，AB＝AC，若点A的坐标为（0，﹣2），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为　　．

11．若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　　．

12．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为　　．

13．如果（2x+m）（x﹣5）展开后的结果中不含x的一次项，那么m＝　　．

14．如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于　　．

15．设x﹣

＝1，则x2+

＝　　．

16．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为　　．

三、解答题（共52分）

17．（9分）计算：

（1）（x4y+6x3y2﹣x2y3）÷3x2y

（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+

）2

（3）（x+2y﹣3）（x+2y+3）

18．（12分）因式分解：

（1）x2﹣5x﹣6

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

（3）y2﹣x2+6x﹣9

（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2

19．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．

20．（5分）已知x+y＝8，xy＝12，求：

①x2y+xy2；

②x2﹣xy+y2；

③x﹣y的值．

21．（4分）已知x2+x﹣1＝0，求2x3﹣x2﹣5x+7的值．

22．（5分）如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：

OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？

并证明你的结论．

23．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

24．（6分）阅读以下材料：

利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：

“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和”

设a，b，c，d为有理数，则

（a2+b2）（c2+d2）

＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）

＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2

请你解决以下问题

（1）填空：

（a2+b2）（c2+d2）＝（ac﹣bd）2+（　　）2

（2）根据阅读材料，

130＝13×10＝（22+32）（12+32）＝（2×1+3×3）2+（2×3﹣3×1）2＝112+32

仿照这个过程将650写成两个正整数的平方和

（3）将20182018表示成两个正整数的平方和（直接写出一种答案即可）．

四、附加题（1-3每小题3分，第4题5分，第5题6分共20分

25．若实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣4）＝5，则x2+y2＝　　．

26．等腰三角形两腰上的高所在直线相交所成的锐角为80°，则顶角的度数为　　．

27．（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）（28+1）+1＝　　．

28．（5分）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2﹣21b2﹣c2+4ab+10bc＝0，请你探究a，b，c之间满足的等量关系，并说明理由．

29．（6分）在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．

（1）如图1，若∠PAB＝30°，则∠ACE＝　　；

（2）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．

2018-2019学年北京市海淀区清华附中平行班八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共24分）

1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

【解答】解：

A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选：

B．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．下列运算正确的是（　　）

A．（2a2）3＝6a6B．2a2+4a2＝6a4

C．a3•a2＝a5D．（a+2b）2＝a2+4b2

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式分别化简得出答案．

【解答】解：

A、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；

B、2a2+4a2＝6a2，故此选项错误；

C、a3•a2＝a5，故此选项正确；

D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；

故选：

C．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（　　）

A．点AB．点BC．点CD．点D

【分析】直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置．

【解答】解：

如图所示：

原点可能是D点．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键．

4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　）

A．14B．18C．20D．26

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵DE是BC的垂直平分线，

∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，

∵△ABC的周长为22，

∴AB+BC+AC＝22，

∴AB+AC＝14，

∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，

故选：

A．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

5．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）

A．12xy2＝3xy•4yB．（x+1）（x+2）＝x2﹣2x﹣3

C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）

【分析】把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，根据因式分解的定义判断即可．

【解答】解：

A、左边不是多项式，故本选项错误；

B、是整式的乘法运算，不是因式分解；

C、右边不是积的形式，故本选项错误；

D、是因式分解，故本选项正确．

故选：

D．

【点评】此题主要考查因式分解的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm

【分析】分已知边4cm是腰长和底边两种情况讨论求解．

【解答】解：

4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，

∵4+4＝8，

∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；

4cm是底边时，腰长为

（16﹣4）＝6cm，

4cm、6cm、6cm能够组成三角形；

综上所述，它的腰长为6cm．

故选：

B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．

7．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（　　）

A．3B．6C．9D．12

【分析】将所求的代数式变形处理，将已知条件整体代入即可．

【解答】解：

∵a+b＝3，

∴a2﹣b2+6b

＝（a+b）（a﹣b）+6b

＝3a﹣3b+6b

＝3（a+b）

＝3×3

＝9．

故选：

C．

【点评】考查了平方差公式，解题时，利用了“整体代入”数学思想，简化了繁琐的计算过程．

8．已知如图：

△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（　　）

A．2∠AB．90°﹣2∠AC．90°﹣∠AD．

【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．

【解答】解：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵BD＝CF，BE＝CD

∴△BDE≌△CFD，

∴∠BDE＝∠CFD，

∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝∠C，

∵∠A+∠B+∠C＝180°．

∴∠A+2∠EDF＝180°，

∴∠EDF＝

．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．

二.填空题侮题3分共24分

9．计算（﹣3a2b）3的结果是　﹣27a6b3　．

【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，求解即可．

【解答】解：

（﹣3a2b）3，

＝（﹣3）3×（a2）3×b3，

＝﹣27×a6×b3，

＝﹣27a6b3．

【点评】本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．

10．在边长为1的正方形网格中，如图所示，△ABC中，AB＝AC，若点A的坐标为（0，﹣2），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为　（3，﹣1）　．

【分析】根据A、B两点的坐标即可判断原点的位置，从而建立平面直角坐标系即可求出点C的坐标．

【解答】解：

由题意可知：

原点的位置如图所示，

故C的坐标为：

（3，﹣1），

故答案为：

（3，﹣1）

【点评】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是正确找出原点的位置，本题属于基础题型．

11．若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　5或﹣7　．

【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．

【解答】解：

依题意，得

（m+1）x＝±2×3x，

解得：

m＝5或﹣7．

故答案为：

5或﹣7．

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．

12．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为　10　．

【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．

【解答】解：

∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，

∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，

∵MN∥BC，

∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，

∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，

∴MB＝MO，NC＝NO，

∴MN＝MO+NO＝MB+NC，

∵AB＝4，AC＝6，

∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，

故答案为：

10

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

13．如果（2x+m）（x﹣5）展开后的结果中不含x的一次项，那么m＝　10　．

【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含x的一次项，即可确定出m的值．

【解答】解：

（2x+m）（x﹣5）＝2x2﹣10x+mx﹣5m＝2x2+（m﹣10）x﹣5m，

∵结果中不含有x的一次项，

∴m﹣10＝0，解得m＝10．

故答案为：

10．

【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于　60°　．

【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．

【解答】解：

∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，

∴∠BCA＝∠A＝15°，

∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，

∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，

∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，

∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，

∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．

故答案为：

60°．

【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．

（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；

（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．

15．设x﹣

＝1，则x2+

＝　3　．

【分析】根据x﹣

＝1，可以求得x2+

的值，本题得以解决．

【解答】解：

∵x﹣

＝1，

∴x2+

＝

＝12+2＝1+2＝3，

故答案为：

3．

【点评】本题考查完全平方式，解题的关键是可以将所求式子与已知式子建立关系．

16．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为　8　．

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．

【解答】解：

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，

则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，

MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2

∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，

∴△OP1P2是等边三角形．

△PMN的周长＝P1P2，

∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．

故答案为：

8．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明△OP1P2是等边三角形是关键．

三、解答题（共52分）

17．（9分）计算：

（1）（x4y+6x3y2﹣x2y3）÷3x2y

（2）（x+2）（x﹣2）﹣（x+

）2

（3）（x+2y﹣3）（x+2y+3）

【分析】

（1）原式利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；

（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；

（3）原式利用平方差公式及完全平方公式化简即可求出值．

【解答】解：

（1）原式＝

x2+2x﹣y2；

（2）原式＝x2﹣4﹣x2﹣2﹣

＝﹣6﹣

；

（3）原式＝（x+2y）2﹣9＝x2+4xy+4y2﹣9．

【点评】此题考查了分式的加减法，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（12分）因式分解：

（1）x2﹣5x﹣6

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

（3）y2﹣x2+6x﹣9

（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2

【分析】

（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；

（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可；

（3）直接将后三项分组进而利用公式法分解因式即可；

（4）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：

（1）x2﹣5x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）

＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；

（3）y2﹣x2+6x﹣9

＝y2﹣（x2﹣6x+9）

＝y2﹣（x﹣3）2

＝（y+x﹣3）（y﹣x+3）；

（4）（a2+4b2）2﹣16a2b2

＝（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）

＝（a+2b）2（a﹣2b）2．

【点评】此题主要考查了公式法以及分组分解法和十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键．

19．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50°，进而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，进而求出结论．

【解答】解：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠B＝50°，

∴∠C＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，

∵∠BAD＝55°，

∴∠DAE＝25°，

∵DE⊥AD，

∴∠ADE＝90°，

∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．

20．（5分）已知x+y＝8，xy＝12，求：

①x2y+xy2；

②x2﹣xy+y2；

③x﹣y的值．

【分析】①原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；

②原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值；

③原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

①∵x+y＝8，xy＝12，

∴原式＝xy（x+y）＝96；

②∵x+y＝8，xy＝12，

∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝64﹣36＝28；

③（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣48＝16，

∴x﹣y＝±4．

【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

21．（4分）已知x2+x﹣1＝0，求2x3﹣x2﹣5x+7的值．

【分析】在x2+x﹣1＝0的两边同时乘以2x，得到2x3﹣2x＝﹣2x2，然后将其整体代入所求的代数式进行解答．

【解答】解：

由x2+x﹣1＝0得到：

2x3+2x2﹣2x＝0，由x2+x＝1，

∴2x3﹣2x＝﹣2x2，

∴2x3﹣x2﹣5x+7

＝2x3﹣2x﹣3x﹣x2+7

＝﹣2x2﹣3x﹣x2+7

＝﹣3（x2+x）+7

＝﹣3×1+7

＝4．

即2x3﹣x2﹣5x+7＝4．

【点评】考查了因式分解的应用，难度较大，难点在于对已知方程进行变形处理．

22．（5分）如图，已知：

E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：

OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？

并证明你的结论．

【分析】

（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD＝OC，DE＝CE，OE＝OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；

（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°可得出∠AOE＝∠BOE＝30°，由直角三角形的性质可得出OE＝2DE，同理可得出DE＝2EF即可得出结论．

【解答】解：

（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE＝CE，OE＝OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD＝OC，

∴△DOC是等腰三角形，

∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，

∴∠AOE＝∠BOE＝30°，

∵EC⊥OB，ED⊥OA，

∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，

∴∠EDF＝30°，

∴DE＝2EF，

∴OE＝4EF．

【点评】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

23．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

【分析】

（1）正确画图；

（2）根据对称得：

CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；

（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，如右图，连接CF．先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE．根据线段的和可得结论．

【解答】

（1）如右图所示，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

（2）解：

∵点A与点D关于CN对称，

∴CN是AD的垂直平分线，

∴CA＝CD．

∵∠ACN＝α，

∴∠ACD＝2∠ACN＝2α．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∵等边△ABC，

∴CA＝CB＝CD，∠ACB＝60°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．

∴∠BDC＝∠DBC＝

（180°﹣∠BCD）＝60°﹣α．﹣﹣﹣﹣