2422直线与圆的位置关系之切线长定理.pptx

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直线与圆的位置关系之切线长定理,蓬莱大辛店中学徐岩,.,O,A,L,切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径,几何应用:

L是O的切线，OAL,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,几何应用:

2.与半径垂直,1.经过半径的外端；,切线的判定定理:

C,练习1：

已知：

AB是弦，AD是切线，判断DAC与圆周ABC之间的关系并证明.,E,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线与切线长的区别与联系：

（1）切线是一条与圆相切的直线,不可以度量；,

（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长,可以度量。

切线长概念,若从O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？

并证明你所发现的结论。

PA=PB,OPA=OPB,证明：

PA，PB与O相切，点A，B是切点OAPA，OBPB即OAP=OBP=90OA=OB，OP=OPRtAOPRtBOP（HL）PA=PBOPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

切线长定理,几何语言:

反思：

切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法,我们学过的切线，常有五个性质：

1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

六个,A,P,O,。

B,M,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?

并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：

PA，PB是O的切线,点A，B是切点PA=PBOPA=OPBPAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线OP垂直平分AB,A,P,O,。

B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?

并给出证明.,CA=CB,证明：

PA，PB是O的切线,点A，B是切点PA=PBOPA=OPBPC=PCPCAPCBAC=BC,C,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。

B,A,P,O,C,E,D,

（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OBPB，ABOP,（3）写出图中所有的全等三角形,AOPBOP，AOCBOC，ACPBCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABPAOB,（5）若PA=4、PD=2，求半径OA,

（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,。

P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,

（2）连结两切点,

（1）分别连结圆心和切点,反思：

在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

小结：

PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。

必须掌握并能灵活应用。

2.圆的外切四边形的两组对边的和相等,例：

如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=8cm，BC=13cm，CA=12cm，求AF、BD、CE的长。

x,12x,x,12x,8x,8x,例题选讲,例.如图，ABC中,C=90,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半径r.,例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，

（1）求PCD的周长

（2）如果P=46,求COD的度数,E,1、如图，ABC中,ABC=50，ACB=75,点O是ABC的内心，求BOC的度数。

随堂训练,变式：

ABC中,A=40，点O是ABC的内心，求BOC的度数。

BOC=90+A,2、ABC的内切圆半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积。

（提示：

设内心为O，连接OA、OB、OC。

）,O,A,C,B,r,r,r,知识拓展,若ABC的内切圆半径为r,周长为l,则SABC=lr,o,o,o,o,外切圆圆心：

三角形三边垂直平分线的交点。

外切圆的半径：

交点到三角形任意一个定点的距离。

三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心：

三角形三个内角平分线的交点。

内切圆的半径：

交点到三角形任意一边的垂直距离。

A,B,C,o,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；,4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。

1、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P，求证：

AD+BC=AB+CD,证明：

由切线长定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即AB+CD=AD+BC,补充：

圆的外切四边形的两组对边的和相等,提高题,2、如图，AB是O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,B,D,E,F,O,C,A,1、如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：

设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOCSAOC,ABODBCOEACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径r,结论,有关圆的计算问题,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求：

RtABC的内切圆的半径r.,设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：

设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。

结论,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4,O为RtABC的内切圆.

（1）求RtABC的内切圆的半径.

（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。

设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：

（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。

解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4,AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD,RtABC的内切圆的半径为1。

（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。

A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。

基础题：

1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！

切线长定理拓展,回顾反思,1.切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

回顾反思,2.三角形的内切圆、内心、内心的性质,知识拓展,拓展一：

直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心（外心）在_，半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心（内心）在_，半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,知识拓展,3.已知：

如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为O上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，P=70,求：

PEF的周长和EOF的大小。

知识拓展,4.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,知识小结,直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心（外心）在_，半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心（内心）在_，半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,课前训练,1、已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线OP交O于点D、E，交AB于C.

（1）写出图中所有的垂直关系；

（2）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,知识拓展,2.已知：

两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。

求证：

AC=BD,